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Was ist ein Stern?
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Auf dieser Webseite findet man eine persönliche
Auswahl von Sternen.
Der linke Stern ist ein regelmäßiges Sechseck,
auf dessen Seiten sechs gleichseitige Dreiecke sitzen.
In diesem Sinne ist ein Stern allgemeiner eine Figur,
die aus einem konvexem Vieleck besteht, auf dessen Seiten Dreiecke gesetzt
werden. - Die Dreiecke heißen Zacken. |
Erzeugung von Sternen
top
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten Sterne zu
erzeugen.
1.Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck vor und
setzt auf die Seiten gleichseitige Dreiecke.
Diese Prozedur führt bei einem Dreieck als Ausgangsfigur
nicht zu einem Stern.
2. Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck vor und
spiegelt die Grunddreiecke der Vielecke an einer Seite.
Diese Prozedur führt bei Drei- und Vierecken nicht zu
Sternen.
3. Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck mit n Ecken
vor und dreht es um 180/n. Ursprung und Bild bilden zusammen einen Stern.
4. Möglichkeit:
Man gibt ein Vieleck vor und zeichnet bestimmte Diagonalen.
Sie bilden dann Sterne. Speziell regelmäßige Vielecke führen
zu Sternen mit vielfältiger Symmetrie. Das Pentagramm und das Hexagramm
unten sind Beispiele.
5. Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck vor und
setzt auf die Seiten gleichschenklige Dreiecke, die eine große Höhe
verglichen mit der Grundseite haben. Das Vieleck, das die Zacken trägt,
kann auch zu einem Kreis ausarten (ganz rechts).
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Es entstehen ansehnliche Sterne. Man erwartet offenbar, dass
Sterne spitze Zacken haben.
6. Möglichkeit:
Man gibt ein beliebiges Vieleck vor und setzt auf die
Seiten beliebige Dreiecke.
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Dieser Stern ist dem Logo der Zeitschrift "Stern" nachempfunden. |
HMATISSE
Basteln von Sternen
top
Der Stern ist für den Bastler
ein beliebtes Thema mit einer Unzahl von Variationen.
Scherenschnitt
Stern als Scherenschnitt
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Fröbelstern
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Der erste achtzackige
Stern entsteht durch einen Scherenschnitt.
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Man faltet ein quadratisches Blatt Papier immer wieder
längs der roten Linie, bis Bild 5 entsteht. Dann schneidet man Stücke
längs der blauen Linien mit einer kräftigen Küchenschere
ab. Es entsteht Bild 6. Durch Entfalten ergibt sich der Stern. |
Dieser Stern kann vielfältig abgewandelt werden. Man
schneidet nicht einfach einen Keil heraus, sondern wählt andere Formen
oder lässt Stege stehen. - Man kann auch schwarzes Tonpapier verwenden
und die Öffnungen mit farbigem Seidenpapier schließen. Dann
entstehen Fensterbilder.
Fröbelstern
Der Fröbelstern wird kunstvoll aus vier Streifen
geflochten wird. Er wird an anderer Stelle
erklärt.
Origami-Blüten
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Hannah bastelte nach einer Anleitung bei besserbasteln.de
(URL unten)
die schönen Blüten.
Hannah, danke für den Hinweis. |
Bascetta-Stern
und Sonobe-Stern
Pentagramm top
Das Pentagramm ist zweifellos der Star unter den Sternen
(Entschuldigung, ein Kalauer). Er heißt auch Drudenfuß oder
Hexenstern.
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Er entsteht, wenn man in einem regelmäßigen
Fünfeck (rot) alle Diagonalen einzeichnet. |
Welche mathematischen Zusammenhänge tauchen auf?
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Im Grunddreieck ABC des regelmäßigen Fünfecks
ist der Mittelpunktswinkel gleich 360°/5 = 72°.
Damit sind die beiden Basiswinkel gleich 54°. Der
Innenwinkel des Fünfecks ist dann gleich 108°. |
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Nimmt man an, dass das kleine Fünfeck im Inneren
des Pentagramms auch regelmäßig ist, so ist der gekennzeichnete
Scheitelwinkel gleich 108°. Der Zacken ist ein gleichschenkliges 72-36-72-Dreieck.
Unten liegt schräg ein zweites kleineres 72-36-72-Dreieck. |
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Die beiden gelben Dreiecke sind wegen entsprechender,
gleicher Winkel einander ähnlich. So gelangt man im Folgenden zu Formeln. |
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Wegen der Ähnlichkeit der gelben Dreiecke gilt PQ:QS=QS:QR
oder a:x=x:(a-x).
Diese Gleichung kann auf die Strecke PQ und den Teilungspunkt
R bezogen werden. Die ganze Strecke verhält sich zum größeren
Abschnitt wie dieser größere Abschnitt zum kleineren. Man kann
auch sagen: Der größere Abschnitt ist die mittlere Proportionale
des ganzen und des kleineren Abschnitts, in Formeln x=sqrt[a(a-x)]. |
Man sagt: In einem regelmäßigen Fünfeck schneiden
sich die Diagonalen im Goldenen Schnitt. Das Teilungsverhältnis kann
aus der Proportion a:x=x:(a-x) berechnet werden. Nach der
Produktengleichung ist a(a-x)=x². Dann ist x²+ax-a²=0. Löst
man diese quadratische Gleichung auf, so ergibt sich als positive Lösung
x:a =1/2*sqr(5)-1/2. Das ist ungefähr 0,62.
(Referenz für diese Rechnung: Joachim Mohr, URL
unten)
Das Pentagramm heißt auch Drudenfuß oder Hexenstern.
Das ist ein Hinweis auf eine bestimmte Thematik, die man im Internet gut
erforschen kann. Ich empfehle das Bilderverzeichnis von google.com mit
dem Suchwort "pentagramm" bzw. "pentagram". Man kommt sich allerdings
manchmal so vor, als habe man sich ins Mittelalter verirrt. (Das gilt auch
für das Hexagramm im nächsten Abschnitt.)
Mein Beitrag wäre: Ich habe in den fünfziger
Jahren auf einem Bauernhof an der Tür des kombinierten Pferde-/Kuhstalls
ein Pentagramm gesehen. Es sollte Krankheiten vom Vieh fernhalten.
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Man kann das Pentagramm oder Sterne mit 7, 9 , ... Zacken
mit etwas Übung aus freier Hand zeichnen, ohne den Stift abzusetzen.
Damit habe ich schon öfter Eindruck gemacht :-). |
Fadenspiel
Hexagramm top
Ein zweiter Stern, der es verdient hervorgehoben zu werden,
ist das Hexagramm. Er heißt auch Davidstern oder das Siegel Salomos.
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Das Hexagramm besteht aus gleichseitigen Dreiecken und
gehört damit zu den Polyiamonds. |
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Man kann das Hexagramm auch als eine Figur ansehen, die
aus zwei gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. Ein Dreieck steht auf
dem Kopf. |
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Etwas Nostalgie:
Früher waren Salmiakpastillen in Rautenform in Mode.
Man feuchtete den (sauberen?) Handrücken an und legte aus sechs Pastillen
einen Stern. Dann leckte man die Pastillen weg. |
Zwei Quilts
von Karen Koeller top
Sterne fern und nah
top
fern
Viele Nationen haben in ihren Nationalflaggen einen oder
mehrere Sterne. Hier ist eine kleine Auswahl:
nah
In Lippe gibt es noch viele Fachwerkhäuser mit einem
großen Deelentor, durch das früher ein Pferdewagen in das Haus
fahren konnte. Über dem Tor befindet sich im allgemeinen eine Hausinschrift,
seitlich daneben oder darunter der Stern von Burg Sternberg (hier siebenzackig)
und auf der anderen Seite die sternförmige lippische Rose.
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Oben als ein Beispiel ein Haus auf Gut Hovedissen in Leopoldshöhe,
Kreis Lippe.
Ein Unikum befindet sich im Stadtwappen der Stadt Barntrup
in Lippe (rechts). "Der halbe Stern erinnert an die Gründung der Stadt
durch die Grafen zu Sternberg. Die halbe lippische Rose wurde von der Stadt
nach dem Übergang der Grafschaft Sternberg an die Herrschaft Lippe
in das städtische Siegel übernommen."
Quelle: http://www.lippe.de/new/allgemein/show.php3?s=3&n=wappen
Stern und Rose findet man auch am historischen
Rathaus von 1546 meiner Heimatstadt Bad Salzuflen.
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Die lippische Rose befindet sich übrigens
auf der Flagge des Landes Nordrhein-Westfalen.
Sie ist ein Hinweis auf die Eingliederung des Landes Lippe
an NRW nach dem zweiten Weltkrieg. |
Sterne an anderen Stellen meiner Homepage
Kepler-Poinsot-Körper
Gefalteter Fünfeckstern
Sterne im Internet
top
Deutsch
HERRNHUTER STERNE GMBH
Bauanleitungen
für Herrnhuter Sterne
Joachim Mohr
Die stetige Teilung
oder der goldene Schnitt und die Konstruktion des regelmäßigen
Fünfecks
Lena Pauline Hönisch Jurado (besserbasteln.de)
Videoanleitung:
Spitze Fleurogami Blüte falten
origamiseiten.de
Bildergalerie
nachgefalteter Modelle (Sterne)
Wikipedia
Stern
(Geometrie)
Englisch
BETSY ROSS
How
to Cut a 5-Pointed Star in One Snip
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Star
Polygon,
Kepler-Poinsot
Solid
Wikipedia
Star
polygon
Referenzen top
(1) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Berlin 1988
(ISBN 3550076924)
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
Diese
Seite ist auch in Englisch vorhanden.
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2003 Jürgen Köller
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