Inhalt dieser Seite
Diese Webseite hat den gleichen
Aufbau wie meine Seite Hexagramm.
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Was ist ein Pentagramm?
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Ein Pentagramm ist ein regelmäßiger Stern
mit fünf Zacken. |
Entstehung
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Der Stern entsteht, indem man in ein regelmäßiges
Fünfeck die Diagonalen einzeichnet. |
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Der Stern entsteht auch, wenn man die Seiten eines regelmäßigen
Fünfecks bis zu den Schnittpunkten verlängert. |
.. . |
Das Pentagramm entsteht auch, wenn man auf ein regelmäßiges
Fünfeck fünf gleichschenklige Dreiecke mit einem Winkel von 36°
(s.u.) an der Spitze stellt. |
Unregelmäßiges
Pentagramm
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Wenn man vom Wort her kommt, muss man auch den nebenstehenden
Stern als Pentagramm bezeichnen, denn das griechische Wort pentágrammos
heißt "mit fünf Linien" (1) oder mit fünf Strichen.
Im Sprachgebrauch ist ein Pentagramm das regelmäßige. |
Fünfzackstern
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Ein allgemeiner fünfzackiger Stern entsteht, wenn
man auf ein konvexes Fünfeck beliebige Dreiecke stellt.
Diesen Stern sollte man nicht mehr als Pentagramm bezeichnen.
Er besteht nicht aus fünf, sondern aus 15 Strichen oder Strecken.
Er könnte fünfzackiger Stern oder Fünfzackstern
heißen.
Meist findet man den Namen Fünfeckstern. |
Formeln top
Winkel
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Im Grunddreieck ABC des regelmäßigen Fünfecks
ist der Mittelpunktswinkel gleich 360°/5 = 72°.
Damit sind die beiden Basiswinkel gleich 54°. Der
Innenwinkel des Fünfecks ist dann gleich 108°. |
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Nimmt man an, dass das Fünfeck im Inneren des Pentagramms
auch regelmäßig ist, so ist der gekennzeichnete Scheitelwinkel
gleich 108°. Der Zacken ist ein gleichschenkliges 72-36-72-Dreieck.
Unten liegt schräg ein zweites kleineres 72-36-72-Dreieck. |
Goldener Schnitt
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Die beiden gelben Dreiecke sind wegen entsprechender,
gleicher Winkel einander ähnlich. So gelangt man im Folgenden zu Formeln. |
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Wegen der Ähnlichkeit der gelben Dreiecke gilt PQ:QS=QS:QR
oder a:x=x:(a-x).
Diese Gleichung kann auf die Strecke PQ und den Teilungspunkt
R bezogen werden. Die ganze Strecke verhält sich zum größeren
Abschnitt wie dieser größere Abschnitt zum kleineren. Man kann
auch sagen: Der größere Abschnitt ist die mittlere Proportionale
des ganzen und des kleineren Abschnitts, in Formeln x=sqrt[a(a-x)]. |
Man sagt: In einem regelmäßigen
Fünfeck schneiden sich die Diagonalen im Goldenen Schnitt. Das Teilungsverhältnis
kann aus der Proportion a:x=x:(a-x) berechnet werden. Nach
der Produktengleichung ist a(a-x)=x². Dann ist x²+ax-a²=0.
Löst man diese quadratische Gleichung auf, so ergibt sich als positive
Lösung x:a =1/2*sqr(5)-1/2. Das ist ungefähr 0,62.
Dies und das top
Zwei Figuren
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So wie das Hexagramm aus zwei Dreiecken entsteht, so
ergibt sich das Pentagramm aus einem konkaven Viereck und einem Dreieck. |
Buchstabe
A
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Im Pentagramm steckt fünfmal der große Buchstabe
A. |
Keltischer
Knoten
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Zeichnet man die Linien des Pentagramms dicker und dann
abwechselnd Brücken und Unterführungen, so entsteht ein geflochtener
Stern. |
Drachenvierecke
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Zeichnet man die Diagonalen des Pentagramms, so gelangt
man zu fünf Drachenvierecken. |
Unikursale
Figuren
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Unikursale Linien sind geschlossene Linien durch gegebene
Punkte.
Es gibt durch die fünf Eckpunkte des Pentagons vier
Figuren. |
Die Fragestellung ist beim
Hexagramm interessanter, denn da stößt man auf einen zweiten
sechszackigen Stern, das unikursale Hexagramm.
Fertige
Pentagramme
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Zu Windows 10 gehört das Zeichenprogramm MSPaint.
Es bietet die Möglichkeit, fertige Pentagramme aufzurufen.
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Es gibt auch die Unicode-Zeichen Pentagramm (U+26E4)
und umgekehrtes Pentagramm (U+26E7). |
Zehnecksterne
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Im Zehneck liegen drei regelmäßige
Sterne.
Ein Stern besteht aus zwei Pentagrammen. |
Kepler-Poinsot-Körper
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Das Kleine Sterndodekaeder und das Große
Sterndodekaeder werden von je 12 Pentagrammen erzeugt.
Näheres erfährt man auf meiner Seite Kepler-Poinsot-Körper. |
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Hier wird beim Großen Dodekaeder ein Pentagramm
betont.
Auf einem Pentagramm steht eine fünfseitige Pyramide. |
Magischer
Stern
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Mehr auf meiner Seite Magische
Quadrate.................................................... |
Fünfzacksterne
top
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Es geht in diesem Kapitel um Sterne aus regelmäßige
Fünfecken, auf dessen Seiten gleichseitige Dreiecke stehen. |
Drei
Johnson-Körper
Es gibt eine Reihe von Körpern, die diese
Sterne enthalten, wobei die Zacken hochgeklappt werden.
Da wird man bei den Johnson-Körpern fündig.
1 Fünfeckkuppel J02
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Die Spitzen der Zacken werden hochgeklappt bis sie sich
berühren. Der Körper ist eine fünfseitige gerade Pyramide
und heißt als Johnson-Körper Fünfeckkuppel. |
Körper, die nur von regelmäßigen Vielecken
begrenzt werden, heißen m.E. Johnson-Körper.
2 Fünfeckrotunde
J06
Der Körper entsteht, wenn man ein Ikosidodekaeder
halbiert.
Die beiden nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen
eine dreidimensionale Ansicht.
3 Pentagonale
Bipyramide J13
Der Körper wird nur von Dreiecken begrenzt und zählt
deshalb auch zu den Deltaedern.
Man könnte diese Reihe
von Johnson-Körpern fortsetzen. Davon kann man sich auf meiner Seite
Johnson-Körper
überzeugen.
Pentagonales
Antiprisma
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Für die Bildung des Pentagonalen Antiprismas
benötigt man zwei Sterrne. |
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Schaut man auf das Antiprisma, so erkennt man, dass die
Zacken beim Hochklappen nicht ganz 90° erreichen. |
Sternzahlen
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Bei dieser Folge von Sternen werden die Kreise gezählt.
Mehr auf meiner Seite Figurierte
Zahlen |
Basteln
eines Sterns aus Perlen
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Man benötigt für diesen Stern 25 Holzperlen
und einen etwa 100 cm langen Draht mit einem Durchmesser von etwa 0,3 mm.
(Ich habe beides bei Kik gekauft.)
Der Draht wird zu drei geschlossenen Ringen gebogen und
nimmt dabei Perlen auf..
Für den ersten Umlauf zieht man 10 Perlen auf den
Draht auf und verdrillt die beiden Enden, wobei man das eine Ende kurz
wählt. Es entsteht der blaue Ring.
Beim zweiten Umlauf kommt 5x ein rotes Perlenpaar dazu.
Bei dritten Umlauf werden fünf rote Einzelperlen
hinzugefügt, die die Spitze einer Zacke bilden.
Zum Schluss werden die Drahtenden verdrillt und abgeschnitten. |
Bild
dazu
Schnell gemacht
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Verschiedenes
top
Fadenspiel
Freihand
zeichnen
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Man kann das Pentagramm oder Sterne mit 5, 7, 9 , ...
Zacken mit etwas Übung aus freier Hand zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. |
Gefalteteter
Fünfeckstern
Sterne
im Fünfeck
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Kunstvolle fünfstrahlige Faltarbeit..................................................................... |
Mehr auf meiner Seite Fünfstrahlige
Figuren
Anmerkung
Das Pentagramm heißt auch Drudenfuß oder
Hexenstern.
Das ist ein Hinweis auf eine bestimmte Thematik, die
man im Internet stundenlang erforschen kann.
Mein Beitrag wäre: Ich habe in den fünfziger
Jahren auf einem Bauernhof an der Tür des kombinierten Pferde-/Kuhstalls
ein Pentagramm gesehen. Es sollte Krankheiten vom Vieh fernhalten.
Pentagramm im
Internet top
Deutsch
Online-Rechner
Pentagramm
Wikipedia
Pentagramm,
Pentagon,
Stern
(Geometrie)
Englisch
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Pentagram,
Pentagrammic
Prism, Pentagrammic
Antiprism,
Pentagrammic
Dipyramid, Star
Polygon
Wikipedia
Pentagram,
Pentagon,
Pentagonal
pyramid,
Pentagrammic
prism, Pentagrammic
antiprism, Pentagrammic
crossed-antiprism,
Star
polygon
Referenzen top
(1) https://de.wikipedia.org/wiki/Hexagramm
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©
11/2023 Jürgen Köller
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