Pentagramm
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Was ist ein Pentagramm?
Formeln
Verschiedenes
Besondere Fünfzacksterne
Sternpyramide
Verschiedenes
Pentagramm im Internet
Referenzen.

Diese Webseite hat den gleichen Aufbau wie meine Seiten Hexagramm, Heptagramm, Oktagramm und Nonagramm.
Auf der Seite Nonagramm findet man unten eine Übersicht über die ersten Polygramme.
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Was ist ein Pentagramm?
... Ein Pentagramm ist ein regelmäßiger Stern mit fünf Zacken. 


Entstehung
...... Der Stern entsteht, indem man in ein regelmäßiges Fünfeck die Diagonalen einzeichnet. 

...... Der Stern entsteht auch, wenn man die Seiten eines regelmäßigen Fünfecks bis zu den Schnittpunkten verlängert.

... Das Pentagramm entsteht auch, wenn man auf ein regelmäßiges Fünfeck fünf gleichschenklige Dreiecke mit einem Winkel von 36° (s.u.) an der Spitze stellt.

Unregelmäßiges Pentagramm
...... Wenn man vom Wort her kommt, muss man auch den nebenstehenden Stern als Pentagramm bezeichnen, denn pentagramm heißt "mit fünf Strichen". 

Im Sprachgebrauch ist ein  Pentagramm das regelmäßige.


Fünfzackstern
...... Ein allgemeiner fünfzackiger Stern entsteht, wenn man auf ein konvexes Fünfeck beliebige Dreiecke stellt. 
Diesen Stern sollte man nicht mehr als Pentagramm bezeichnen. Er besteht nicht aus fünf, sondern aus 15 Strichen oder Strecken. 

Er könnte fünfzackiger Stern oder Fünfzackstern heißen. Meist findet man den Namen Fünfeckstern.


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Winkel
...... Im Grunddreieck ABC des regelmäßigen Fünfecks ist der Mittelpunktswinkel gleich 360°/5 = 72°. 

Damit sind die beiden Basiswinkel gleich 54°. Der Innenwinkel des Fünfecks ist dann gleich 108°.


...... Nimmt man an, dass das Fünfeck im Inneren des Pentagramms auch regelmäßig ist, so ist der gekennzeichnete Scheitelwinkel gleich 108°. Der Zacken ist ein gleichschenkliges 72-36-72-Dreieck. 
Unten liegt schräg ein zweites kleineres 72-36-72-Dreieck.

Goldener Schnitt

......
Die beiden gelben Dreiecke sind wegen entsprechender, gleicher Winkel einander ähnlich. So gelangt man im Folgenden zu Formeln. 

...... Wegen der Ähnlichkeit der gelben Dreiecke gilt PQ:QS=QS:QR oder a:x=x:(a-x). 
Diese Gleichung kann auf die Strecke PQ und den Teilungspunkt R bezogen werden. Die ganze Strecke verhält sich zum größeren Abschnitt wie dieser größere Abschnitt zum kleineren. Man kann auch sagen: Der größere Abschnitt ist die mittlere Proportionale des ganzen und des kleineren Abschnitts, in Formeln  x=sqrt[a(a-x)].

Man sagt: In einem regelmäßigen Fünfeck schneiden sich die Diagonalen im Goldenen Schnitt. Das Teilungsverhältnis kann aus der Proportion a:x=x:(a-x) berechnet werden. Nach der Produktengleichung ist a(a-x)=x². Dann ist x²+ax-a²=0. Löst man diese quadratische Gleichung auf, so ergibt sich als positive Lösung x:a =1/2*sqr(5)-1/2. Das ist ungefähr 0,62.

Flächenvergleich
Die drei Flächeninhalte stehen im Verhältnis 
1: (phi^4) : (phi^8) = 2:[7+3sqrt(5)]:[47+21sqrt(5)]

oder angenähert 1 : 6,85 : 47,0.

Dabei gilt phi = (1/2)[1+sqrt(5)].

Formeln zum Nachrechnen findet man auf der Seite Online-Rechner (URL unten).

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Zwei Figuren
... ...... So wie das Hexagramm aus zwei Dreiecken entsteht, so das Pentagramm aus einem konkaven Viereck und einem Dreieck.


Buchstabe A
...... Im Pentagramm steckt fünfmal der große Buchstabe A. 

Keltischer Knoten
......
Zeichnet man die Linien des Pentagramms dicker und dann abwechselnd Brücken und Unterführungen, so entsteht ein geflochtener Stern. 

Drachenvierecke
...... Zeichnet man die Diagonalen des Pentagramms, so gelangt man zu fünf Drachenvierecken.

Unikursale Figuren
......
Unikursale Linien sind geschlossene Linien durch gegebene Punkte.

Es gibt durch die fünf Eckpunkte des Pentagons vier Figuren.

Die Figuren heißen auch Hamiltonkreise.

Die Fragestellung ist beim Hexagramm interessanter, denn da stößt man auf einen zweiten sechszackigen Stern, das unikursale Hexagramm.

Fertige Pentagramme
...... Zu Windows 10 gehört das Zeichenprogramm MSPaint. Es bietet die Möglichkeit, fertige Pentagramme aufzurufen.

...... Es gibt die Unicode-Zeichen Pentagramm (U+26E4) und Umgekehrtes Pentagramm (U+26E7).

Zehnecksterne
  ...... Im Zehneck liegen drei regelmäßige Sterne. 

Ein Stern besteht aus zwei Pentagrammen. 


Kepler-Poinsot-Körper
... Das Kleine Sterndodekaeder und das Große Sterndodekaeder werden von je 12 Pentagrammen erzeugt. 

Näheres erfährt man auf meiner Seite Kepler-Poinsot-Körper


... Hier wird beim Großen Dodekaeder ein Pentagramm betont.
Auf ihm steht eine fünfseitige gerade Pyramide.

Magischer Stern
... Mehr auf meiner Seite Magische Quadrate....................................................

Sterne im Fünfeck

Besondere Fünfzacksterne   top
... Es geht in diesem Kapitel um Sterne aus regelmäßigen Fünfecken, auf dessen Seiten gleichseitige Dreiecke stehen. 


Drei Johnson-Körper
Es gibt eine Reihe von Körpern, die diese  Sterne enthalten, wobei die Zacken hochgeklappt werden. 
Da wird man bei den Johnson-Körpern fündig.
1 Fünfeckkuppel J02
...... ... Die Spitzen der Zacken werden hochgeklappt bis sie sich berühren. Der Körper ist eine fünfseitige gerade Pyramide und heißt als Johnson-Körper Fünfeckkuppel.
Körper, die nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden, heißen m.E. Johnson-Körper.

2 Fünfeckrotunde J06
... ...............
Der Körper entsteht, wenn man ein Ikosidodekaeder halbiert.
Die beiden nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht. 

3 Pentagonale Bipyramide J13
...
Der Körper wird nur von Dreiecken begrenzt und zählt deshalb auch zu den Deltaedern.

Man könnte diese Reihe von Johnson-Körpern fortsetzen. Davon kann man sich auf meiner Seite Johnson-Körper überzeugen. 

Pentagonales Antiprisma
...... Für die Bildung des Pentagonalen Antiprismas benötigt man zwei Sterrne. 

......  Schaut man auf das Antiprisma, so erkennt man, dass die Zacken beim Hochklappen nicht ganz 90° erreichen. 

Sternzahlen
..... Bei dieser Folge von Sternen werden die Kreise gezählt. 

Mehr auf meiner Seite Figurierte Zahlen


Basteln eines Sterns aus Perlen
...... Man benötigt für diesen Stern 25 Holzperlen und einen etwa 100 cm langen Draht mit einem Durchmesser von etwa 0,3 mm. (Ich habe beides bei Kik gekauft.)

Der Draht wird zu drei geschlossenen Ringen gebogen und nimmt dabei Perlen auf.. 

Für den ersten Umlauf zieht man 10 Perlen auf den Draht auf und verdrillt die beiden Enden, wobei man das eine Ende kurz wählt. Es entsteht der blaue Ring.
Beim zweiten Umlauf kommt 5x ein rotes Perlenpaar dazu. 
Bei dritten Umlauf werden fünf rote Einzelperlen hinzugefügt, die die Spitze einer Zacke bilden. 

Zum Schluss werden die Drahtenden verdrillt und abgeschnitten. 


Bild dazu


Schnell gemacht
...

Sternpyramide top
...... Vorgegeben ist eine gerade fünfseitige Pyramide. Sie ist der Johnsonkörper J7.


Man zeichnet in das Fünfeck das Pentagramm.
...

Dann verbindet man die Eckpunkte des Pentagramms mit der Spitze der Pyramide und löscht die Seiten des Fünfecks. Es ist eine Pyramide mit einem Pentagramm als Grundfläche entstanden. Rechts wurden die unsichtbaren Linien gelöscht.
...

...... Zeichnet man in ein Pentagramm die Diagonalen ein und färbt jedes zweites Dreieck grau, so hat man den Eindruck, die Sternpyramide von oben zu sehen. 

...... Diese Faltfigur aus einem Fünfeck ist ein Hinweis darauf, dass die Sternpyramide, meist als Doppelpyramide, ein häufig gefalteter Stern ist. Im Internet findet man viele Faltanleitungen.

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Freihand zeichnen
...... Man kann das Pentagramm oder Sterne mit 5, 7, 9 , ... Zacken mit etwas Übung aus freier Hand zeichnen, ohne den Stift abzusetzen. 


Fadenspiel

Gefalteteter Fünfeckstern
... Mehr auf meiner Seite Gefalteter Fünfeckstern

Kunstvolle fünfstrahlige Faltarbeit.....................................................................
Mehr auf meiner Seite Fünfstrahlige Figuren

Anmerkung
Das Pentagramm heißt auch Drudenfuß oder Hexenstern. 
Das ist ein Hinweis auf eine bestimmte, außerhalb der Mathematik liegende Thematik, die man im Internet stundenlang erforschen kann. 
Mein Beitrag wäre: Ich habe in den fünfziger Jahren auf einem Bauernhof an der Tür des kombinierten Pferde-/Kuhstalls ein Pentagramm gesehen. Es sollte Krankheiten vom Vieh fernhalten.


Es folgt noch ein Hinweis auf meine Seite Regelmäßiges Fünfeck.

Pentagramm im Internet   top

Deutsch

alamy
Fünfeckstern

deschdanja
5 zackiger Stern

Online-Rechner
Pentagramm Sternpyramide

Wikipedia
Pentagramm, Pentagon, Stern (Geometrie)

Youtube
schaeresteipapier
Origami Stern


Englisch

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Pentagram, Pentagrammic Prism, Pentagrammic Antiprism, Pentagrammic Dipyramid, Star Polygon

Harvey Heinz
Order 5 Magic Stars

Wikipedia
Pentagram, Pentagon, Pentagonal pyramid, Pentagrammic prism, Pentagrammic antiprism, Pentagrammic crossed-antiprism, Star polygon


Referenzen   top
(1) https://de.wikipedia.org/wiki/Hexagramm



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© 11/2023 Jürgen Köller

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