Oktagramm

Inhalt dieser Seite

Was ist ein Oktagramm?
Spielereien
Überschlagene regelmäßige Achtecke
Stern von Lakshmi

Formeln
Fünf Achtzacksterne
Origami
Oktagramm im Internet.

Diese Webseite hat den gleichen Aufbau wie meine Seiten Pentagramm, Hexagramm, Heptagramm und Nonagramm.
Eine Übersicht findet man auf der Webseite Polygramm.

Zur Hauptseite "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Oktagramm?

... Ein Oktagramm ist ein regelmäßiger Stern mit acht Zacken.

Entstehung

...

Der Stern entsteht, indem man die Eckpunkte des Achtecks so verbindet, dass man jeweils drei Punkte überspringt. Dabei entsteht eine geschlossene Linie.
Die Seiten des Sterns sind die mittleren Diagonalen des Achtecks.

Stern von Lakshimi

...

Neben dem Oktagramm gibt es noch einen zweiten regelmäßigen Stern.
Der Stern entsteht, indem man jeden zweiten Punkt des Achtecks verbindet.
Es besteht aus zwei Quadraten.

Das zusammengesetzte Oktagramm wird von den kurzen Diagonalen gebildet.

Unregelmäßiges Oktagramm

...

Wenn man vom Wort her kommt, müsste man auch den nebenstehenden Stern als Oktagramm bezeichnen, denn Oktagramm heißt "mit acht Strichen".

Achtzackstern

...

Ein allgemeiner achtzackiger Stern entsteht, wenn man auf ein konvexes Achteck beliebige Dreiecke setzt. Diesen Stern sollte man nicht mehr als Oktagramm bezeichnen. Er besteht nicht aus acht, sondern aus 24 Strichen oder Strecken.

Er könnte achteckiger Stern, Achtzackstern, Achteckstern oder Achtstern heißen.

Einordnung

...

Das Oktagramm gehört zu den Polygrammen, die durch Brüche gekennzeichnet werden.

Die erste Zahl gibt die Anzahl der Eckpunkte des erzeugenden Vielecks an, die zweite die "Sprungweite" beim Verbinden der Eckpunkte.

Der Stern von Lakshimi 8/2 ist ein zusammengesetztes Polygramm und besteht aus zwei Quadraten.

Spielereien top
Rauten

... Gibt man acht 45°-Rauten vor, so kann man aus ihnen ein Oktagramm bilden.

Räumlich

...	Zeichnet man die langen Diagonalen und färbt Dreiecke, so erscheint die Sterne räumlich. Auch mit Teilabschnitten der Diagonalen entstehen ansehnliche Sterne.

Keltischer Knoten

...

Zeichnet man die Linien des Oktagramms dicker und dann abwechselnd Brücken und Unterführungen, so entsteht ein geflochtener Stern.

Stern im Stern

Linien im Achteck und im Oktagramm
...

...

Kopiert aus meiner Webseite Regelmäßiges Achteck

Parkettierungen

...	Fliese aus Sevilla......................

Schülerarbeit, 10 Jahre, 1950

Mehr au meiner Seite Begegnungen mit Parkettierungen

Überschlagene regelmäßige Achtecke top

...... Das Oktagramm kann man auch als ein regelmäßiges Achteck ansehen, bei dem die acht Eckpunkte durch Linien verbunden werden, die sich überschneiden.

Es gibt noch weitere überschlagene Achtecke, darunter sind bizarre Figuren.
...

Es stellt sich die Frage, wie viele überschlagene Achtecke es gibt.

Sie sind Hamiltonkreise, da die Punkte durch eine geschlossene Linie verbunden werden.

Stern von Lakshmi top

... Das ist der zweite Stern im Achteck. Seine Zacken sind kürzer.

"Der Stern von Lakshimi wird im Hinduismus verwendet, um Ashta-lakshmi, die acht Formen des Reichtums zu symbolisieren."
[Quelle: https://mathworld.wolfram.com/StarofLakshmi.html]

Entstehung

...	Er entsteht, indem man in ein regelmäßiges Achteck die kurzen Diagonalen einzeichnet.

...

Er entsteht auch, indem man zwei Quadrate übereinander legt und dann ein Quadrat um den gemeinsamen Mittelpunkt um 45° dreht.

Linien im Stern von Lakshmi ...

Formeln top
Auf meiner Seite Polygramm werden Formeln für den p/q-Stern hergeleitet.
In diesem Kapitel geht es um Formeln für die beiden Oktagramme, den 8/2-Stern und den 8/3-Ster.

An einem Heptagramm werden bekannte Größen eines Polygramms angezeigt.

...

alpha - Winkel an der Spitze
s - Seitenlänge
c - Grundseite einer Zacke
b - Schenkel einer Zacke

R - Radius des Umkreises
r - Radius des Inkreises
A - Flächeninhalt des Sterns
a - Seitenlänge des umfassenden Fünfecks

Wenn die Seite a des umfassenden Vielecks oder Polygons gegeben ist, so gelten für den p/q-Stern die folgenden Formeln.

Winkel an der Spitze alpha
Seitenlänge s
Grundseite einer Zacke c
Schenkel einer Zacke b
Radius des Umkreises R
Radius des Inkreises r
Flächeninhalt des Sterns A

alpha = [(p-2q)/p]*180°
s = a*sin(180°q/p)/sin(180°/p)
c = a*{sin[(p-2q)/2p]*180°}/{cos[(q-1)/p]*180°}
b = (a/2)/{cos[(q-1)/p]*180°}
R = (a/2)/sin(180°/p)
r = (a/2)/tan(180°/p)
A = (1/4) {1/tan(180°/p)-tan[(q-1)/p*180°]}pa²

...

Für den 8/2-Stern, also für p=8 und q=2 gilt:

Winkel an der Spitze alpha = [(p-2q)/p]*180° = (1/2)*180° = 90°

Seitenlänge s = a*sin(180°q/p)/sin(180°/p)
= a*sin 45°/sin 22,5° = a*(1/2)sqrt(2)/{sqrt[2-sqrt(2)]/2} = ... = sqrt[2+sqrt(2)]a

Grundseite einer Zacke c = a*{sin[(p-2q)/2p]*180°}/{cos[(q-1)/p]*180 °}= a*sin 45°/cos 22,5° = sqrt[2-sqrt(2)]

Schenkel einer Zacke b = (a/2)/{cos[(q-1)/p]*180°} = (a/2)/cos 22,5° = (1/2)sqrt[4-2sqrt(2)]

Radius des Umkreises R = (a/2)/sin(180°/p) = (a/2)/sin 22,5° = (1/2)sqrt[4+2sqrt(2)]

Radius des Inkreises r = r = (a/2)/tan(180°/p) = (a/2)/tan 22,5° = (1/2)[sqrt(2)+1]

Flächeninhalt A = (1/4) {1/tan(180°/p)-tan[(q-1)/p*180°]}pa² = 2a²(1/tan 22,5°-tan 22.5°) = 4

.
.Gerundete Werte
.
.s = 1,85a ...........
.
.c = 0,76a
.
.b = 0,54a
.
.R = 1,31a
.
.r = 1,21a
.
.A = 4a²

...

Für den 8/3-Stern, also für p=8 und q=3, gilt:

Winkel an der Spitze alpha = [(p-2q)/p]*180° = (1/4)*180° = 45°

Seitenlänge s = a*sin(180°q/p)/sin(180°/p) = a*sin 67,5°/sin 22,5° = ... = (1+sqrt(2)a

Grundseite einer Zacke c = a*{sin[(p-2q)/2p]*180°}/{cos[(q-1)/p]*180°}= a*sin 22,5°/cos 45° = (1/2)sqrt[4-2sqrt(2)]

Schenkel einer Zacke b = (a/2)/{cos[(q-1)/p]*180°} = (a/2/cos 45°) = ... = (1/2)sqrt(2)a

Radius des Umkreises R = (a/2)/sin(180°/p) = (a/2)/sin 180°/8 = ... = (1/2)[sqrt(4+2sqrt(2)]a

Radius des Inkreises r = (a/2)/tan(180°/p) = (a/2)/tan 180°/8 = (a/2)/tan 22,5° = (1/2)[sqrt(2)+1]a

Flächeninhalt A = (1/4) {1/tan(180°/p)-tan[(q-1)/p*180°]}pa² = 2*(1/tan 22,5°-tan 45°)a² = ... = 2sqrt(2)a²

.
.Gerundete Werte
.
.s = 2,41a
.
.c = 0,54a
.
.b = 0,71a
.
.R = 1,31a
.
.r = 1,21a
.
.A = 2,83a²

Für die Berechnungen verwendet man u.a. sin 22,5° = (1/2)sqrt[2-sqrt(2)], cos 22,5° = (1/2)sqrt[2+sqrt(2)] und tan 22,5° = sqrt(2)-1.

Fünf Achtzacksterne top
Eins

... Es geht zuerst um Sterne, die entstehen, wenn man auf ein regelmäßiges Achteck gleichseitige Dreiecke stellt.

Antiprisma
Das Antiprisma besteht, wie der Grundriss zeigt, aus zwei regelmäßigen Achtecken und 16 gleichseitigen Dreiecken.
Das Bildpaar ermöglicht eine räumliche Sicht des Körpers.

...

Ein Stern ergibt sich, wenn man acht Zacken nach oben bzw. nach unten klappt.

Zwei
Abgeschrägtes quadratisches Antiprisma
Das ist der Johnson-Körper 85. Zwischen zwei quadratischen Grundflächen liegt ein Geflecht aus 24 gleichseitigen Dreiecken.
Wird er parallel zu den Quadraten projeziert, so erkennt man in der Parallelprojektion zwei Sterne.

Stereobild

Parallelprojektion

Grundriss

...	Die beiden Sterne sind gefärbt. Links steht der Stern von Lakshmi, rechts ein Stern, der dem Oktagramm nahe kommt.

Drei
Regelmäßiger Stern

...

...

Das ist ein regelmäßiger Stern, der entsteht, wenn man auf die Seiten eines regelmäßigen Achtecks gleichschenklige Dreiecke setzt. Er wird durch drei Stücke festgelegt, z.B. durch den Durchmesser d des Sterns, die Basis b der Zacke und seine Höhe h.

Auf der Webseite Online-Rechner (URL unten) heißt der Stern Doppelstern. Es kann sogar - noch allgemeiner - jede zweite Zacke kürzer sein.

...

Wenn die Zacken hinreichend spitz sind, kann man sie hochklappen und eine achtseitige Pyramide bilden...............................................................

Vier

...

Zeichnet man in ein griechisches Kreuz in die äußeren Quadrate die Diagonalen, so entsteht ein achtzackiger Stern. .

...

Auf den ersten Blick sieht er aus wie das Oktagramm. Stellt man sie nebeneinander, erkennt man Unterschiede.

Die Flächeninhalte z.B. stehen im Verhältnis [(1/2)*27*sqrt(2)-18]:1 oder ungefähr 1,09:1.

Fünf
Ein Stern im Quadrat

...	Ein Stern entsteht dadurch, das man die Eckpunkte eines Quadrats mit den Seitenmitten verbindet.

...

...

Auf meiner Webseite Regelmäßiges Achteck werden diese Figuren in einem Quadrat ausführlich besprochen.

Origami top

Hannah faltete diesen Weihnachtsstern aus (4+4)-Quadraten anhand des Videos
Easy and awesome origami star von ZIZ Origami.
Danke, Hannah!