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Was ist ein Heptagramm?
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Ein Heptagramm ist ein regelmäßiger Stern
mit sieben Zacken. Es gibt zwei Heptagramme. |
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Es gibt nämlich zwei Möglichkeiten, die Punkte
eines Siebenecks durch Diagonalen zu verbinden.
Die kurzen und die mittleren Diagonalen bilden jeweils
geschlossene Linien. |
Unregelmäßiges
Heptagramm
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Wenn man vom Wort her kommt, muss man auch den nebenstehenden
Stern als Heptagramm bezeichnen, denn Heptagramm heißt "mit sieben
Strichen". |
Siebenzackstern
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Ein allgemeiner siebenzackiger Stern entsteht, wenn man
auf ein konvexes Siebeneck beliebige Dreiecke stellt. Diesen Stern sollte
man nicht mehr als Heptagramm bezeichnen. Er besteht nicht aus sieben,
sondern aus 21 Strichen oder Strecken.
Er könnte Siebenzackstern, Siebeneckstern oder Siebenstern
heißen. |
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Das Heptagramm gehört zu den Polygrammen,
die durch Brüche gekennzeichnet werden. |
Die erste Zahl gibt die Anzahl der
Eckpunkte des erzeugenden Vielecks an, die zweite die "Sprungweite" beim
Verbinden der Eckpunkte.
Verschiedenes top
Linien im Heptagramm
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Stern auf Stern
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Drachenvierecke
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Verbindet man die Talpunkte der Sterne mit dem Mittelpunkt,
so enstehen sieben Drachenvierecke. |
Räumlich
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Verbindet man die Spitzen und Täler der Sterne und
färbt Dreiecke, so hat man einen räumlichen Eindruck. |
Sterne im Stern
...
Keltischer Knoten
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Zeichnet man die Linien des Heptgramms dicker und dann
abwechselnd Brücken und Unterführungen, so entsteht ein geflochtener
Stern. |
Überschlagene
regelmäßige Siebenecke top
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Die Heptagramme kann man auch als überschlagene
Siebenecke ansehen, bei dem die sieben Eckpunkte durch Linien verbunden
werden, die sich überschneiden. |
Es gibt noch weitere, zum Teil bizarre
Figuren.
...
Die Figuren sind Hamiltonkreise,
da die Punkte durch eine geschlossene Linie verbunden werden.
Es stellt sich die Frage,
wie viele überschlagene Siebenecke es gibt.
Formeln top
Auf meiner Seite Polygramm werden Formeln für den
p/q-Stern hergeleitet.
In diesem Kapitel geht es um Formeln für die beiden
speziellen Heptagramme, den 7/2-Stern und den 7/3-Stern.
In einem Heptagramms werden
bekannte Größen eines Polygramms angezeigt.
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alpha - Winkel an der Spitze
s - Seitenlänge
c - Grundseite einer Zacke
b - Schenkel einer Zacke |
R - Radius des Umkreises
r - Radius des Inkreises
A - Flächeninhalt des Sterns
a - Seitenlänge des umfassenden Fünfecks |
Wenn die Seite a des umfassenden
Vielecks oder Polygons gegeben ist, so gelten für den p/q-Stern die
folgenden Formeln.
Winkel an der Spitze alpha
Seitenlänge s
Grundseite einer Zacke c
Schenkel einer Zacke b
Radius des Umkreises R
Radius des Inkreises r
Flächeninhalt des Sterns A |
alpha = [(p-2q)/p]*180°
s = a*sin(180°q/p)/sin(180°/p)
c = a*{sin[(p-2q)/2p]*180°}/{cos[(q-1)/p]*180°}
b = (a/2)/{cos[(q-1)/p]*180°}
R = (a/2)/sin(180°/p)
r = (a/2)/tan(180°/p)
A = (1/4) {1/tan(180°/p)-tan[(q-1)/p*180°]}pa² |
...
Für den 7/2-Stern, also für p=7 und q=2 gilt:
| Winkel an der Spitze alpha = [(p-2q)/p]*180° = 3/7*180
= 540°/7 = (77 1/7)°
Seitenlänge s = a*sin(180°q/p)/sin(180°/p)
= a*sin (360°/7)/sin (180°/7)
Grundseite einer Zacke c = a*{sin[(p-2q)/2p]*180°}/{cos[(q-1)/p]*180°}=
a*[sin (270°/7)/cos (180°/7)]
Schenkel einer Zacke b = (a/2)/{cos[(q-1)/p]*180°}
= (a/2)/ cos (180°/7)
Radius des Umkreises R = (a/2)/sin(180°/p)
= (a/2)/sin(180°/7)
Radius des Inkreises r = r = (a/2)/tan(180°/p)
= (a/2)/tan (180°/7)
Flächeninhalt A = (1/4) {1/tan(180°/p)-tan[(q-1)/p*180°]}pa²
= (7/4) (1/tan 180°/7-tan 180°/7)a² |
.Gerundete Werte.
.
.s = 1,80a ...........
.
.c = 0,69a
.
.b = 0,55a
.
.R = 1,15a
.
.r = 1,04a
.
.A = 2,79a² |
Für den 7/3-Stern, also für p=7 und q=3 gilt:
| Winkel an der Spitze alpha = [(p-2q)/p]*180° = (1/7)*180
= 180°/7 = (25 5/7)°
Seitenlänge s = a*sin(180°q/p)/sin(180°/p)
= a*sin (540°/7)/sin (180°/7)
Grundseite einer Zacke c = a*{sin[(p-2q)/2p]*180°}/{cos[(q-1)/p]*180°}=
a*[sin (90°/7)/cos (180°/7)]
Schenkel einer Zacke b = (a/2)/{cos[(q-1)/p]*180°}
= (a/2)/ cos (360°/7)
Radius des Umkreises R = (1/2)a/sin(180°/p)
= (a/2)/sin(180°/7)
Radius des Inkreises r = (1/2)a/tan(180°/p) =
(a/2)/tan (180°/7)
Flächeninhalt A = (1/4) {1/tan(180°/p)-tan[(q-1)/p*180°]}pa²
= (7/4) (1/tan 180°/7-tan 360/7)a² |
.Gerundete Werte
.
s = 2,25a ...........
.
.c = 0,24a
.
.b = 0,80a
.
.R = 1,15a
.
.r = 1,04a
.
.A = 1.44a² |
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01/2024 Jürgen Köller
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