Goldener Schnitt

Goldener Schnitt oder die stetige Teilung

Inhalt dieser Webseite

Was ist der Goldene Schnitt?
Das Teilverhältnis Phi
Die stetige Teilung
Konstruktion des Goldenen Schnitts
Darstellungen von Phi und phi
Äußere Teilung

Das goldene Dreieck und Rechteck
Ein Maß für die Schönheit?
Ausklang
Goldener Schnitt im Internet
Referenzen
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Was ist der Goldene Schnitt?

...... Eine Strecke wird s=AB wird im goldenen Schnitt durch den Punkt T geteilt, wenn die gesamte Strecke sich zum größeren Abschnitt so verhält wie diese zum kleineren.

In Formelsprache heißt das AB:AT=AT:TB.
Man sagt auch:
"Die Strecke AB wird durch T stetig geteilt" oder
"Die Strecke AT ist die mittlere Proportionale zu AB und TB".
Aus der Proportion AB:AT=AT:TB folgt die Produktgleichung AT²=AB*TB oder auch AT=sqrt(AB*TB).
Dann ist auch die Deutung möglich: "Die Strecke AT ist das geometrische Mittel von AB und TB".

Das Teilverhältnis Phi top

...... Führt man die Variablen s=AB und x=AT ein, so heißt die Proportion s:x=x:(s-x).

Die Länge der Strecke s sei gegeben. Dann lässt sich die Teilstrecke x wie folgt berechnen.
Die Proportion ist s:x=x:(s-x), die Produktgleichung s(s-x)=x².
Das ist die quadratische Gleichung x²+sx-s²=0 mit den Lösungen x₁=(1/2)[sqrt(5)-1]s und x₂=(1/2)[-sqrt(5)-1]s.
Es gilt x>0. Somit ist x=x₁die einzige Lösung. Es gibt also genau einen Teilpunkt.
Das führt zum Verhältnis s/x=s/{(1/2)[sqrt(5)-1]}=(1/2)[sqrt(5)+1] oder gerundet s/x=1,618.
Man bezeichnet dieses Verhältnis oft mit dem großen griechischen Buchstaben Phi.

Das umgekehrte Verhältnis ist x/s=(1/2)[sqrt(5)-1] oder gerundet x/s=0,618. Es heißt dann konsequenterweise phi.

Schreibt man die Phi und phi als Dezimalzahlen, so habe die beiden Zahlen die gleichen Dezimalen: phi = 0,618033989... und Phi = 1,618033989... D.h., es gilt Phi = 1+1/Phi oder Phi² = Phi+1 oder Phi²-Phi-1 = 0. Das bedeutet aber, dass Phi die Gleichung x²-x-1 = 0 löst, was der Fall ist.

Die stetige Teilung top
Der Goldene Schnitt heißt auch stetige Teilung. Der Name ergibt sich aus der folgenden Eigenschaft.
Trägt man den kleineren Abschnitt s-x auf der größeren Teilstrecke x ab, so wird diese Strecke x durch den neuen Teilpunkt ebenfalls stetig geteilt.
Nachweis:
Es gilt x:(s-x)=(s-x):[x-(s-x)] oder x:(s-x)=(s-x):[2x-s].
Daraus folgt die Produktgleichung x(2x-s)=(s-x)² oder 2x²-sx=s²-2sx+x² oder x²+sx-s²=0. Das ist die quadratische Gleichung von oben. Somit ist es die gleiche Teilung.

Die Teilung kann beliebig oft wiederholt werden.

Konstruktion des Goldenen Schnitts top
Das ist die Standard-Konstruktion.

(1) Gegeben sei die Strecke AB, die geteilt werden soll.
(2) Zeichne zu AB die Senkrechte durch B der Länge BC=(1/2)AB.
(3) Zeichne die Strecke AC.
(4) Zeichne einen Kreis um Punkt C mit dem Radius BC. Nenne den Schnittpunkt mit der Strecke Punkt S.
(5) Zeichne einen Kreis um Punkt A mit dem Radius AS. Nenne den Schnittpunkt mit der Strecke AB Punkt T.
Ergebnis: T teilt AB (innen) im Goldenen Schnitt.
Beweis:
Es sei AB=a. Es ist nach dem Satz des Pythagoras AC²=AB²+BC²=a²+[(1/2)a]²=(5/4)a². Dann ist AC=(1/2)sqrt(5)a.
Für das gesuchte Verhältnis gilt
AT:AB=AS:AB=(AC-CS):AB=[(sqrt(5)a-a]:2a=(1/2)[sqrt(5)-1] wzbw..

Weitere Konstruktionen mit Begründungen findet man bei Michael Holzapfel und Bernhard Peter (URL unten).

Äußere Teilung top
Der Vollständigkeit halber soll noch gezeigt werden, dass es allgemein - unabhängig vom Goldenen Schnitt - neben einem inneren Teilpunkt T auch einen äußeren Teilpunkt U gibt. Es sei denn, die Strecke AB wird halbiert.

...... Das ist die bekannte Konstruktion eines Teilpunktes T, der die Strecke AB im Verhältnis AC zu DB teilt.

Diese Zeichnung wird erweitert.

...

Man zeichnet die Gerade DB und trägt auf ihr von B aus die Strecke DB nach oben hin ab. Man erhält Punkt D'. Man zeichnet die Gerade CD'. Sie schneidet die Gerade AB in Punkt U.
Punkt U ist der gesuchte äußere Teilpunkt.

Beweis:
Mit BD=BD' und zweimaliger Anwendung des 2.Strahlensatzes gilt AT:TB=AC:BD=AC:BD'=AU:UB.
Man kann also in AT:TB den Punkt T durch Punkt U ersetzen.
Ergebnis: Punkt T teilt Strecke AB innen, Punkt U die Strecke AB außen.

Mehr findet man bei Wikipedia unter dem Stichwort "Harmonische Teilung" (URL unten).

Darstellungen von Phi und phi top
Für die Zahlen phi=(1/2)[sqrt(5)-1] und Phi=(1/2)[sqrt(5)+1] gibt es u.a. drei bemerkenswerte Grenzwert-Darstellungen.

Für die Fibonacci-Folge [a₁=1, a₂=1, a_n=a_n-1+a_n-2, n>2] gilt

Herleitungen (Sie bleiben nur formal.)
Die Zahl phi erfüllt die quadratische Gleichung x²+sx-s²=0 für s=1. Das heißt (phi)²+(phi)-1= 0.
Die Zahl phi erfüllt also die quadratische Gleichung x²+x-1=0.
Dann ist x(1+x)=1 oder x=1/(1+x). Für das rote x kann man wieder x=1/(1+x) setzen usw.. So entsteht der Kettenbruch.

Die Zahl phi erfüllt die quadratische Gleichung x²+x-1=0.
Die Zahl phi=1/Phi erfüllt die quadratische Gleichung x²+x-1=0 für s=1. Dann gilt (1/Phi)²+(1/Phi)-1= 0 oder 1+Phi-(Phi)²=0.
Die Zahl Phi erfüllt also die quadratische Gleichung x²-x-1=0.
Dann ist x²=x+1 oder x=sqrt(1+x). Für das rote x kann man wieder x=sqrt(1+x). setzen usw.. Das ist die Wurzelkette.

Es gilt a_n+1/a_n=(a_n+a_n-1)/a_n.=1+a_n-1/a_n.=1+1/(a_n/a_n-1).
Es sei q_n die Folge der Quotienten. Dann gilt also q_n =1+1/q_n-1.
Für den Grenzwert q bei n gegen Unendlich gilt analog q=1+1/q. Daraus folgt q²=1+q oder q²-q-1=0. Das ist aber die Bestimmungsgleichung für Phi.

Das goldene Dreieck und Rechteck top
Das goldene Dreieck ist ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem das Seitenverhältnis von Schenkel zu Grundseite Phi ist.

...... .... Nachweis: Zeichnet man eine Winkelhalbierende ein, entsteht ein zum Dreieck ähnliches Teildreieck. Es gilt a:x=x:(a-x). Das ist das Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Die Zeichnung ist nur möglich, wenn man ein Dreieck mit den Innenwinkeln 72°, 72° und 36° vorgibt.
Mehr über dieses goldene Dreieck und den Goldenen Schnitt findet man auf meinen Seiten Zehneck, Fünfeck, Doppelquadrat und Sterne.

...

Das goldene Rechteck ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis Phi.
Zeichnet man ein Quadrat ein, so entsteht wieder ein goldenes Rechteck. Es gilt nämlich a:x=x:(a-x). Das ist die Proportion des Goldenen Schnitts.

Noch mehr über dieses Rechteck findet man auf meiner Seite Ikosaeder.

Ein Maß für die Schönheit? top
Bisher habe ich grundlegende Tatsachen zum Goldenen Schnitt dargestellt. Sie sind bemerkenswert. Trotzdem ist erstaunlich, dass es im Internet zu kaum einem anderen mathematischen Thema so viele Seiten gibt wie zum Goldenen Schnitt. Dabei ist die Zahl Phi=(1/2)[sqrt(5)+1] eine schlichte irrationale Zahl, nicht zu vergleichen mit den transzendenten Zahlen pi oder e, die einen umfangreichen mathematischen Hintergrund haben. Mathematische Lexika z.B., die die gängige Mathematik umfassen, erwähnen den Goldenen Schnitt meist gar nicht oder nur mit einer kurzen Bemerkung. Nach längerem Suchen fand ich im Bronstein (1) eine kurze Bemerkung von acht Zeilen.
Gerne beschäftigen sich mit diesem Thema Liebhaber der Unterhaltungsmathematik (so wie ich es hier tue).

Meine Sicht des Goldenen Schnitts ist kritischer geworden, nicht zuletzt auch wegen eines Artikels der MAA online in der Reihe Devlin's Angle. Hinter MAA steht die renommierte "The Mathematical Association of America".
Keith Devlin: Good stories, pity they're not true (Gute Geschichten, aber schade, sie sind nicht wahr) (2004)
Der Autor erwähnt darin den folgenden Aufsatz, der auch im Internet zugänglich ist.
George Markowsky: Misconceptions About the Golden Ratio (Fälschliche Annahmen zum Goldenen Schnitt) (1992)
Die Titel lassen erkennen, welche Tendenz die Artikel haben, aber es werden reizvolle Eigenschaften des Goldenen Schnitts beileibe nicht verschwiegen.

Ausklang top
Das ist wahr: Der Goldene Schnitt spielt in der Natur und in der Kunst eine Rolle.
Ich beschränke mich auf ein Beispiel aus der Kunst.

Im März 2008 besuchten wir Leipzig und bewunderten auch das historische Leipziger Rathaus. Es wurde 1556 unter dem regierenden Bürgermeister und Großkaufmann Hieronymus Lotter errichtet und gehört heute wohl zu den bedeutenden Bauten aus der Zeit der Renaissance. Der Turm teilt das Gebäude im Verhältnis des Goldenen Schnitts. Ich nehme an, es gibt entsprechende Baupläne, die das belegen.

Es folgt zur Illustration eine Aufnahme dieses Rathauses, gesehen vom Dach des City-Hochhauses.
Ich habe den Dachfirst rot gekennzeichnet und diese Linie nach dem Goldenen Schnitt geteilt.