Quadrat
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Quadrat?
Größen des Quadrats
Eine Formel zum Quadrat
Quadratzahlen
Halbieren eines Quadrats
Ein Viereck im Quadrat
Eine Folge von Quadraten
Parkettierungen mit Quadraten
Eine geometrische Reihe
Größte und kleinste Rechtecke
Darstellung von Ziffern durch Quadrate
Optische Täuschungen
Spiele mit Quadraten
Quadrate auf meiner Homepage
Quadrate im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite   "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Quadrat?
.
Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleichen Seiten.


....... Die gleiche Figur steht auf der Spitze. 

Man nennt sie ein Karo, auch wenn man weiß, dass es ein Quadrat ist. 
Man will mit diesem Wort die Lage des Quadrates ausdrücken.


Größen des Quadrats top
...... Das Quadrat hat 4 gleiche Seiten. 
2 Seiten treffen sich in einer Ecke und stehen aufeinander senkrecht.
Die Länge einer Seite sei a.
Das Quadrat hat 2 Diagonalen der Länge d=a*sqr(2). 
Der Flächeninhalt beträgt A=a², der Umfang 4a.
Der Umkreis hat den Radius R=a*sqr(2)/2, der Inkreis den Radius  r=a/2.


Eine Formel zum Quadrat top
......
Es ist möglich, ein Quadrat in einem Koordinatensystem nur durch eine Gleichung zu beschreiben.

  |x|+|y|=2 oder abs(x)+abs(y)=2


Quadratzahlen  top
Man erhält die Quadratzahlen, wenn man die natürlichen Zahlen mit sich selbst multipliziert. 
...... Die Quadratzahlen lassen sich durch Quadrate aus gleichen Figuren darstellen.


Jede Quadratzahl ist gleich der Summe zweier Dreieckszahlen.
Formel: n²=[1+2+3+...+n] + [1+2+3+...+(n-1)]

Jede Quadratzahl n² ist gleich der Summe der n ersten ungeraden Zahlen.
Formel: n²=1+3+5+...+(2*n-1)

Ein Quadrat kann in zwei kleinere Quadrate und zwei gleiche Rechtecke zerlegt werden. 
Es gilt nämlich die erste binomische Formel (a+b)²=a²+2*a*b+b².

......
Ein Quadrat kann man in Streifen in Diagonalrichtung zerlegen. 
Es gilt 1+2+3+...+n+...3+2+1=n².

Mehr findet man auf meiner Seite Quadratzahlen.

Halbieren eines Quadrats top
Es gibt viele Möglichkeiten die Fläche eines Quadrates zu halbieren. Hier sind fünf.

Zu 1 und 2: Normalerweise wird ein Quadrat durch eine Diagonale oder Mittellinie halbiert. So kann ein quadratisches Stück Papier gefaltet werden. 
Zu 3: Jede Gerade durch den Mittelpunkt des Quadrates teilt es in zwei kongruente Trapeze. 
Zu 4: An Stelle der Geraden kann man auch andere Linien, z.B. zwei Halbkreise, nehmen.
Zu 5: Die Figur in der Mitte besteht aus vier kongruenten Dreiecken, das ganze Quadrat aus acht. Also ist die Halbierung gesichert. Hat das Ausgangsquadrat die Länge 2, so hat das grüne Quadrat die Länge sqr(2). Die Bedeutung dieser Figur liegt darin, dass das äußere Quadrat eine rationale, das innere eine irrationale Seitenlänge hat.

Quadrate im Quadrat top
Das Quadrat durch Teilpunkte
....... Trägt man eine Strecke (rot) von jeder Ecke aus immer in die gleiche Richtung ab, so entstehen vier Punkte. Verbindet man diese vier Punkte, so entsteht ein Viereck. 
Behauptung: Das Viereck ist ein Quadrat
Beweis: Die vier Dreiecke sind nach SWS kongruent. W kennzeichnet den rechten Winkel. Folglich sind die Hypotenusen gleich und das sind gerade die Quadratseiten. Eine einfache Winkelbetrachtung führt zu rechten Winkeln des Vierecks.


Ein Quadrat im Inneren
...... Verbindet man die vier Teilpunkte jeweils mit einem Eckpunkt, so entsteht im Inneren ein Quadrat.

Sind die Seite des Quadrats mit a und das Teilverhältnis mit  r:(a-r) gegeben, so ist die Seitenlänge b des inneren Quadrates

b = (a²-ar)/sqrt(a²+r²).


Herleitung
Es werden die Hilfsvariablen x, y und z eingeführt.
Es gilt nach dem Satz des Pythagors r² = x²+y².
Es gilt nach dem 2. Strahlensatz y:x = a:r. Daraus folgt y = (ax)/r.
Das sind zwei Gleichungen mit den Variablen x und y.
Sie haben die Lösung x = r²/sqrt(a²+r²) und y = (ar)/sqrt(a²+r²).
Für die Verbindungslinie eines Teilpunktes mit dem Eckpunkt gilt z² = a²+r². Dann ist z = sqrt(a²+r²). 

Die Seitenlänge des inneren Quadrates ist 
b = z-x-y = sqrt(a²+r²)-r²/sqrt(a²+r²)-(ar)/sqrt(a²+r²) = (a²+r²-r²-ar)/sqrt(a²+r²) = (a²-ar)/sqrt(a²+r²), wzbw.

Eine Folge von Quadraten top
...... Das rote Quadrat habe die Seitenlänge a und es hat somit den Flächeninhalt a². 
Für die Summe der Flächeninhalte der inneren Quadrate ergibt sich
A= a²/2 + a²/4+a²/8+a²/16+... = a²(1/2+1/4+1/8+1/16+...). 
In der Klammer steht eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert 1.
Ergebnis: Die Summe der Flächeninhalte der inneren Quadrate strebt gegen den Flächeninhalt des großen Quadrates.


Auch die binomischen Formeln und der Satz des Pythagoras behandeln Quadrate. 
Ich verweise dazu auf meine Webseite Formeln im Bild.

Parkettierungen mit Quadraten top
Es ist leicht, ein Quadrat in gleiche Quadrate aufzuteilen. 
Es ist aber schwer, verschiedene Quadrate zu finden, die das leisten. 
...... Man braucht mindestens 21 Quadrate, die ein Quadrat bilden (Duijvestijn 1962, 1978).
Lösung
112² = 50²+42²+37²+35²+33²+29²+27²+25²+24²+19²+18²+17²+16²+15²+11²+9²+8²+7²+6²+4²+2²
Mit diesem Problem haben sich viele Mathematiker (und Computer) beschäftigt (Buch 2). Mehr findet man auf der Homepage von Erich Friedmann (URL unten).


Eine geometrische Reihe  top
...... Die geometrische Reihe 1/4+1/16+1/64+... hat den Grenzwert 1/3.
Nachweis: s=a0[1/(1-q)]=(1/4)[1/(1-(1/4)]=1/3
Links ist eine bemerkenswerte Veranschaulichung.
Entdeckt bei http://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadrature_of_the_Parabola


Größte und kleinste Rechtecke    top
Das Quadrat ist ein Grenz-Rechteck. Das drückt sich in den Lösungen der folgenden Extremwertaufgaben aus.
Aufgabe 1) Welches der Rechtecke mit gleichem Umfang hat den größten Flächeninhalt?
Aufgabe 2) Welches der Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt hat den kleinsten Umfang?
Aufgabe 3) Welches Rechteck im gleichseitigen Dreieck hat den größten Flächeninhalt?
Aufgabe 4) Welches Rechteck im Quadrat hat den größten Flächeninhalt?
Aufgabe 5) Welches Rechteck im Kreis hat den größten Flächeninhalt?

In allen Fällen ist ein Quadrat das gesuchte Rechteck.
Das größte Quadrat im Würfel findet man in meiner Würfelseite.

Darstellung von Ziffern durch Quadrate    top
Matrix aus Quadraten für Zeichen
Die Pixel zur Darstellung der Zeichen eines Schriftsatzes bilden eine Matrix kleiner Quadrate, die erst bei hinreichender Vergrößerung sichtbar werden. 
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Beispielsweise verwendet man für das Bild der Zahl 2 eine Rechteck mit 9x14 Pixels im Schriftsatz "Times New Roman" von Winword.
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......
Verdoppelt man ein Quadrat, so erhält man die Figur links, mit der die zehn Ziffern gut dargestellt werden können (rechts). 
Diese Anzeige kennt man vom Taschenrechner.
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Ring des Salomon
......
Nach einer alten Legende erzählt Lucas, dass auf einem Ring Salomos ein Quadrat mit den Diagonalen eingraviert war (links). 
In diesem Zeichen stecken die zehn Ziffern (rechts) [Buch 1].
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Tastatur eines Taschenrechners
In diesem Zusammenhang kann man auch die Tastatur eines Taschenrechners anführen. Die Ziffern 1 bis 9 stehen auf quadratischen Tasten. Sie bilden ein 3x3-Quadrat. Merkwürdigerweise laufen die Zahlen von unten links nach oben rechts. Die Tastatur des Tastentelefons oder des Handys laufen von links oben nach rechts unten wie unsere Schrift.
Ich kann mich erinnern, dass man versuchte, eine einheitliche Tastatur zu schaffen, zumal die Tastentelefone zuerst da waren. Das misslang. Die ersten erschwinglichen Rechner kamen aus Fernost, die Anordnung der Ziffern entsprang den dortigen Vorstellungen. 
...... Etwas Nostalgie:
Ich besitze noch einen funktionierenden Tischrechner von 1971 von Quelle ("Privileg"), der damals fast 300 DM kostete. Er wird an 220V angeschlossen. Die Ziffern werden mit Glimmlampen angezeigt. Der Rechner berücksichtigt noch nicht Punkt- vor Strichrechnung, hat aber schon eine Vornullen-Unterdrückung. 

Er ersparte mir seinerzeit viel Rechenarbeit ;-). 


Optische Täuschungen top
Die linken Quadrate unterscheiden sich in Breite und Höhe, die rechten in der Größe.
Man ahnt es: Die Quadrate sind gleich groß.


Vier Vierecke liegen vor einer Kreis-, Quadrat-, oder Geradenschar. Die Seiten sind verzerrt.
Man ahnt es:  Bei allen vier Figuren handelt es sich um Quadrate!

Beide Gitter haben an den Kreuzungspunkten graue Flecken, links im weißen, rechts im schwarzen Bereich.
Man ahnt es: Die grauen Flecken sind nur Hirngespinste.

Eine Anordnung von vier Dreiviertelkreisen
...... Es wird gar kein Quadrat gezeichnet, trotzdem sieht man es.

Spiele mit Quadraten top
Sieht man sich die gängigen Spiele unter dem Gesichtspunkt an, ob in ihnen Quadrate in irgendeiner Form vorkommen, wird man fündig. Fast alle Spiele verwenden Quadrate, sei es als Form des Spielbrettes, des Spielfeldes oder des Spielsteins. 

Ich nenne hier nur die Spiele in alphabetischer Reihenfolge, die ich an anderen Stellen dieser Homepage beschreibe: 

Domino-Puzzle, Fröbelstern, Fünfzehnerspiel, Himmel und Hölle, Magische Quadrate, Mühle, Rubik's Magic, Solitär, Tic-Tac-Toe, Tangram


Das Thema Quadrat legen findet man an anderer Stelle.


Quadrate auf meiner Homepage   top
Polyominos
Man kann Quadrate zu immer komplexeren Figuren zusammensetzen. Man fordert, dass sich zwei Quadrate immer in mindestens einer Seite verbunden sind. Die Figuren hat man gezählt (bis 28-ominos).


Man könnte sich den Weg zu den Pentominos (Mehrzahl auch Pentominoes) so vorstellen: 

Mehr findet man in meinen Webseiten Domino Puzzle, Pentominos und Hexominos.


Lässt man auch Körper zu, so entstehen Monoide. 
...... Als Beispiel werden drei Quadrate vorgegeben. Aus ihnen lassen sich neben den beiden Triominos acht räumliche Monoide bilden.
Der bekannteste Monoid ist der Würfel, der aus sechs Quadraten besteht.

Mehr findet man auf meiner Seite Rubik's Magic. Mit diesem Puzzle kann man zahlreiche Körper aus acht Quadraten finden. 

Parkettierung der Ebene

 

Mehr findet man auf meiner Seite Homogene Parkettierungen.

Körper
Der Würfel wird von 6 Quadraten gebildet.

Die Bildpaare ermöglichen eine dreidimensionale Sicht.


Das größte Quadrat im Würfel
Das rote Quadrat ist das größte Quadrat, das in einen Würfel passt. 
Die Eckpunkte des Quadrates teilen die Kanten im Verhältnis 1:3. (Buch 3) 


Quadratische Pyramide

Quadratisches Antiprisma

7 der 13 Archimedischen Körper werden u.a. von Quadraten begrenzt.

Abgestumpftes Oktaeder

Großes Rhombenkuboktaeder 

Großes Rhombenikosidodekaeder

 

Kuboktaeder

 Abgeschrägter Würfel

Kleines Rhombenikosidodekaeder



Kleines Rhombenkuboktaeder

Quadrate im Internet 

Deutsch

Wikipedia
Quadrat (Geometrie)Quadratur des Quadrates, Quadratur des Kreises


Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Square, Square Packing, Perfect Square Dissection

Kevin L. Gong
counting polyominoes

Erich Friedman
Erich's packing center

Wikipedia
Square, Squaring the circle



Referenzen   top
(1) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1969
(2) Friedrich L. Bauer: Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München 1999
(3) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Ullstein Berlin 1977 (Seite 61)

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Diese Seite ist auch in Englisch vorhanden.

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2002 Jürgen Köller

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