Was ist eine Quadratzahl?
Umgekehrt entsteht eine Quadratzahl, wenn man eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert. Formeln: a*a=a²=k (k and a stehen für natürliche Zahlen.) Der gleiche Faktor heißt Grundzahl. Das sind die ersten 100 Quadratzahlen.  Der Name erklärt sich aus der Veranschaulichung der Quadratzahlen:
Man stellt fest: In der Tabelle kommen nur die Einerziffern 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 vor. Dazu eine Überlegung: Man greift z.B. zunächst die dreistelligen Zahlen heraus. Sie lassen sich darstellen als 100c+10b+a, wobei a, b und c einstellige Zahlen sind. Es gilt (100c+10b+a)² = [(100c+10b)+a]² = (100c+10b)²+2(100c+10b)a+a² = 100(10c+b)²+10(20c+2b)a+a² = 10{[10(10c+b)²]+(20c+2b)a}+a². Das bedeutet, dass sich das Quadrat einer dreistelligen Zahl in der Form 10x+a² schreiben lässt. Die Einerziffer des Quadrates wird also allein durch a² bestimmt, und das sind 0, 1, 4, 9 oder die letzten Ziffern von 16, 25, 36, 49, 64 und 81. Diese Überlegungen können auf alle mehrstelligen Quadratzahlen
übertragen werden.
Quadratwurzel top
Die Bestimmung einer Quadratwurzel ist heute kein Problem mehr.
An Hand des Beispiels sqrt(17424) werden weitere Methoden besprochen.
1 Bestimmung über eine Intervallschachtelung Die Zahl muss zwischen 100 und 200 liegen (100²=10000,200²=40000) Die Zahl liegt zwischen 130 und 140 (130²=16900 und 140²=19600) Die Einerziffer von 17424 ist 4. Dann kommen nur 132 und 138 in Frage. Es gilt sqrt(17424)=132. 2 Bestimmung über eine Faktorenzerlegung Man zerlegt die Zahl in Faktoren und entwickelt daraus die Quadratzahl. 17428 = 8*2178 = 16*1089 = 16*9*121. Dann ist die Wurzel 4*3*11=132. 3 Schulmethode aus vergangenen Zeiten Auch von der Form her ist es eine Art schriftliches Dividieren. 1
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Die Erklärung dieser Methode ergibt sich aus der "trinomischen Formel" (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc.
Bevor es Taschenrechner gab, war diese Methode die Standard-Methode in der Schule und wurde ausgiebig geübt. Heute wird sie in manchen Lehrbüchern noch als Unikum geführt. (5, Seite 47 "Wurzelziehen per Hand") 4 Bestimmung nach dem Newtonschen Verfahren (bzw. Heron-Verfahren) Bei diesem Verfahren wird mit Hilfe der konvergenten Folge x1=1 und xk=(xk-1+n/xk-1)/2 die Wurzel x=sqrt(n) immer genauer bestimmt. Vielleicht ist es für Jüngere interessant zu sehen, wie früher das Verfahren programmiert und veranschaulicht wurde. Die vorherrschende Programmiersprache war in der 1970er Jahren BASIC.
Da staunt man: Erst nach elf Schritten ergibt sich die Wurzel 132. Der Grund ist der ungünstige Anfangswert A=1. Er sollte möglichst nahe an der Wurzel liegen. Der "Heron-Ansatz" ist A=Y. Folgen top
Zur ersten und zweiten Folge  Man kann nicht übersehen, dass es bis zu einer bestimmten Zahl mehr Quadratzahlen als natürliche Zahlen gibt. Diese Aussage erfasst man in einer ersten Annäherung an das Problem durch eine Sprechweise die Mengenlehre: Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen. Zur zweiten Folge Die Folge der Quadratzahlen bezeichnet man auch als arithmetische Folge 2.Ordnung.  Die Formel dazu lautet qn-qn-1=2n-1. Zur dritten Folge  s1=1²=1 s2=1²+2²=5 s3=1²+2²+3²=14 s4=1²+2²+3²+4²=30, ... Allgemein gilt sn=1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 . Mögliche Herleitung
(4, Seite 28f.) Zur vierten und fünften Folge Die vierte Folge ist 1/1, 1/4, 1/9, 1/16, ... , 1/n². Sie hat für n gegen Unendlich den Grenzwert 0. Interessant ist die zugehörige unendliche Reihe 1/1+1/4+1/9+1/16+, ... Sie ist konvergent und hat den Grenzwert pi²/6 (nach Euler) oder gerundet 1,65. (3, Seite 93f.und Seite 241) Die entsprechende Reihe gebildet aus den Primzahlen, nämlich "Summe aus 1/p", ist divergent. Daraus schließt man, dass die Primzahlen dichter liegen als die Quadratzahlen (2, Seite 322). Summen top
Differenz zweier Quadratzahlen Jede Primzahl p>2 läßt sich eindeutig als Differenz zweier Quadratzahlen darstellen. Beispiel: 37=361-324=19²-18² Division durch 8 Die Quadrate der ungeraden Zahlen lassen bei Division durch 8 den Rest 1. Beispiel: 19² : 8 =361 : 8=45+1/8 Satz von Lagrange Jede natürliche Zahl n läßt sich als Summe von höchstens vier Quadratzahlen darstellen. Beispiel: 85=64+16+4+1 Fermat-Eulerschsche Primzahlsatz oder Fermatscher Zwei-Quadrate-Satz Eine Primzahl von der Form 4n+1 ist als Summe von zwei Quadraten darzustellen. Beispiele: 5=1²+2², 13=2²+3², 625=7²+24²=15²+20² Pythagoräische Zahlen Es gibt Zahlentripel, die die Formel a²+b²=c² erfüllen. Darüber kann man auf meiner Seite 3-4-5-Dreieck mehr nachlesen. Zahlenspielereien top
Berechnung von 51² bis 59² Beispiel: 56²=3136 (50+E)²=(25+E)100+E² Umsetzung: Addiere zur Einerziffer 25 und hänge das Quadrat der Einerziffer an. Berechnung dreistelliger Zahlen mit einer 0 als Zehnerziffer Beispiel: 203²=042809, 609²=370881 (H0E)²=H²*10000+2HE*100+E² Umsetzung: Das Quadrat ist sechsstellig. Die beiden Plätze außen werden von den Quadraten der Hunderterziffer und der Einerziffer gebildet. In der Mitte steht das doppelte Produkt aus Hunderter und Einer. Ist das doppelte Produkt dreistellig, so muss zum Quadrat der Hunderter noch der Übertrag 1 addiert werden. Quadrate aus den Ziffern 0 bis 9. Jede Ziffer kommt genau einmal vor. Es gibt 77 Zahlen. 1026 753 849=32043² ist die kleinste Zahl. 9814072356=99066² ist die größte Zahl. Die zehnstelligen Zahlen aus verschiedenen Ziffern heißen im Englischen "Pandigital numbers". Quadratzahlen aus den Ziffern 1 bis 9. Jede Ziffer kommt genau einmal vor. Zwei Beispiele: 139845276=11826² und 923187456=30384² Die neunstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 9 heißen im Englischen "zeroless pandigital numbers". Spiegelzahlen
Aufeinanderfolgende Zahlen
Palindrome unter den Quadratzahlen
Fünf Folgen von Quadratzahlen
Kaprekarzahlen Eine Zahl wie 703 heißt Kaprekarzahl, weil sie folgende merkwürdige Eigenschaft hat: Quadriert man die Zahl 703²=494209 und teilt das Quadrat in 494 und 209 auf, so ist die Summe 494+209 wieder 703. Die Kaprekarzahlen unter 10000 sind 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777 und 9999. Figurenzahlen top
Bei Mathworld findet man
Mehr über Quadratzahlen steht an anderen Stellen meiner Homepage.
... Quadratzahlen im Internet top Deutsch Tino Hempel
Andreas Göbel
Wikipedia
Englisch Eric W. Weisstein (MathWorld)
Patrick De Geest (World of Numbers)
N. J. A. Sloane (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)
Wikipedia
Referenzen top
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© 2005 Jürgen Köller |
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