Ticktacktoe
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Was ist Ticktacktoe?
Strategien des Spiels
Etwas Mathematik
Varianten
Ticktacktoe im Internet
Referenzen.
 
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Was ist Ticktacktoe?
Ticktacktoe ist ein Schreibspiel für zwei Personen. 
Es wird von großen und kleinen Spielern gerne gespielt, vor allem von Schülern als Pausenfüller.


Auf einem Blatt Papier werden neun Felder durch zwei Parallelenpaare bereitgestellt. Der Spieler, der beginnt, setzt in irgendein Feld ein Kreuz. Der zweite setzt einen Kreis. Abwechselnd zeichnen beide Spieler weitere Kreuze und Kreise. Derjenige, der es als erster schafft, drei Kreuze bzw. drei Kreise nebeneinander, untereinander oder diagonal zu setzen, hat gewonnen. 

Ein möglicher Spielverlauf 
Der erste Spieler hat nach sieben Zügen die dritte Spalte mit Kreuzen gefüllt und damit gewonnen. 
Der zweite Spieler wehrt sich vergeblich und gerät in eine Zwickmühle.

Gelingt es keinem der Spieler, drei gleiche Zeichen in einer Reihe zu setzen, so geht das Spiel unentschieden aus. 

Das Spiel heißt auch Drei Gewinnt oder Tic-Tac-Toe.
Im Englischen findet man neben Tic-Tac-Toe auch die Namen Noughts and Crosses und Tit Tat Toe. Letzterer kommt in einem alten "nursery rhyme" vor.
Die Schreibweise Ticktacktoe verwendet Martin Gardner, auf dessen Artikel Ticktacktoe in Buch (1) diese Seite zurückgeht. 

Strategien des Spiels  top
Es gibt für den ersten Spieler drei Möglichkeiten, das Spiel zu eröffnen.


Der erste Fall wird ausführlich untersucht. 
... Also angenommen, der erste Spieler setze sein Kreuz unten links.

...... Dann hat der zweite Spieler acht Möglichkeiten, einen Kreis zu platzieren. 
Die acht Fälle reduzieren sich aus Symmetriegründen auf die fünf Fälle A, B, C, D und E.

Es ergeben sich für A bis D die folgenden Spielverläufe, gesteuert vom ersten Spieler.
A
B

C
D

In den Fällen A bis D gewinnt also der erste Spieler, wenn er seine Kreuze geschickt setzt. Der zweite Spieler hat keine Wahl und muss seinen Kreis jedes Mal so setzen, dass keine Dreierreihe entsteht. Er kann aber nicht verhindern, dass sie am Ende doch entsteht. 

E
Es hat den Anschein, dass ein Spiel auch verlorengeht, wenn der zweite Spieler seinen Kreis in die Mitte setzt. Das muss aber nicht sein. 

Setzt der zweite Spieler nämlich sein erstes Zeichen in die Mitte, bringt er den ersten Spieler x in die Defensive und erzwingt ein Unentschieden. 

Es stellt sich die Frage, ob der Spielverlauf auch auf ein Unentschieden hinausläuft, wenn der erste Spieler sein zweites Kreuz an eine andere Stelle setzt. 
...... Der erste Spieler hat sieben Möglichkeiten, sein zweites Kreuz zu setzen. 
Die sieben Fälle reduzieren sich aus Symmetriegründen auf die vier Fälle a, b, c und d.

In den Fällen a bis d erreicht der zweite Spieler ein Unentschieden, wenn er sein Zeichen geschickt platziert. Der erste Spieler hat keine Wahl und muss sein Zeichen jedes Mal so setzen, dass keine Dreierreihe aus Kreisen entsteht. Das zeigen die folgenden Spielverläufe.
a
...
b

c
......
Das ist noch einmal die Zugfolge von oben.

d
...

Blieben noch die beiden anderen Fälle rechts. Da belasse ich es bei einer Mitteilung.

Der zweite Spieler erreicht zumindest ein Unentschieden, wenn er nach Maßgabe der Lage des Kreuzes seinen Kreis an die folgenden Stellen setzt.
Sonst muss der zweite Spieler damit rechnen, dass er verliert, ohne dass er sich wehren kann.

Ergebnis
Es zeigt sich, dass der erste Spieler im Vorteil ist. 
Er kann dann gewinnen, wenn der zweite Spieler seinen Kreis nicht an eine richtige Stelle setzt.
Ticktacktoe geht unentschieden aus, wenn beide Spieler die Theorie kennen (1).
......
Zum Studium des Spiels habe ich ein kleines Programm in Visual Basic 3 geschrieben, das die Züge simuliert. 

Man benötigt vbrun300.dll. 

Download

Einfacher ist es, sich das Herunterladen zu schenken und ein Onlinespiel aufzurufen.


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Anzahl der Züge
Der erste Spieler hat zu Beginn 9 Möglichkeiten, sein Kreuz zu setzen. Der zweite findet 8 freie Felder vor, der erste dann 7 und so fort. 
Es gibt z.B. für die ersten fünf Durchgänge 9*8*7*6*5 = 15120 mögliche Züge. 


Alle Muster aus 5 Kreuzen und 4 Kreisen
Es wird untersucht, wie viele Möglichkeiten es gibt, 9 Felder mit 5 Kreuzen und 4 Kreisen zu füllen. Zu diesem Zweck werden die Muster durch eine neunstellige Zahl im Zweiersystem dargestellt.
........................  = 011 100 101.....................................................................
Ein Computer zählt im Dualsystem von 0 bis 111 110 000 und siebt dabei alle Zahlen mit 5 Einsen und 4 Nullen aus und registriert diese. Das Ergebnis ist: Es gibt 126 verschiedene Muster. 

Diese Anzahl n = 126 ergibt sich auch aus der Theorie. Es handelt sich um eine "Permutation von 9 Elementen auf 2 Arten". Von der einen Art sind 5, der anderen Art 4 vorhanden. 
Dafür gilt die Formel: n= 9! / (4! * 5!) =126.

Varianten   top
Umkehrspiel
Das Spiel Ticktacktoe bekommt einen neuen Reiz, wenn man die Gewinnregel umkehrt.
Derjenige hat verloren, der als erster 3 Kreuze in eine Reihe setzen muss.


3D Tic Tac Toe
Da weise ich auf das Online-Spiel von Chris Malumphy hin (URL unten).
Eine Variante ist Sogo (URL unten bei de.wikipedia)

Vier gewinnt
.......
Rot gewinnt im nächsten Zug
Jeder Spieler erhält 21 Chips.
Sie werfen abwechselnd einen Chip ihrer Farbe in einen Schacht zwischen zwei Platten.
Gewonnen hat der, dem es als erster gelingt, vier Chips nebeneinander in diagonaler, vertikaler oder diagonaler Richtung zu positionieren.

Diese Version heißt Quattro und ist "Ein Präsent von Ihrer Sparkasse".


Mühlespiel
... Ein verwandtes Spiel ist das Mühlespiel.

Bejeweled
Bejeweled ist ein schönes Online-Spiel mit Suchtgefahr (URL unten).

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Deutsch

Arndt Brünner
Tic-Tac-Toe(Online Spiel)

Birgit Bachmann und Stefan R. Müller (Die Blinde Kuh)
Tic-Tac-Toe(Online Spiel)

Wikipedia
Tic Tac Toe, Vier gewinnt, Sogo


Englisch

Popcap Games
bejeweled  (Online-Spiel)

Chris Malumphy 
3D Tic Tac Toe  (Applet)

Eric W. Weisstein (MathWorld) 
Tic-Tac-Toe

Stephen Ostermiller 
Tic-Tac-Toe Strategy

Wikipedia
Tic tac toe, Connect Four, Score Four


Referenzen  top
(1) Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1959
(2) Bild der Wissenschaft 4-1977


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2000, überarbeitet 2012, Jürgen Köller

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