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Was sind archimedische Körper?
Archimedische Körper sind konvexe Körper gebildet
aus verschiedenen regelmäßigen Vielecken, die an den Ecken in
gleicher Weise aufeinandertreffen.
>Es gibt fünf Körper, die aus einer Sorte regelmäßiger
Vielecke gebildet werden. Das sind die fünf platonischen Körper.
>Lässt man mehrere Vielecke zu, gibt es 13 archimedische
Körper.
Über jeden dieser Körper gibt es auf meiner
Homepage eine Seite, die man über die Hauptseite erreicht.
Hier findet man eine Zusammenfassung.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder |
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01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
10 Abgeschrägtes Hexaeder
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
13 Abgeschrägtes Dodekaeder |
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Bezeichnungen
archimedischer Körper top
Deutsch
01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
10 Abgeschrägtes Hexaeder
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
13 Abgeschrägtes Dodekaeder |
Lateinisch
01 cubus truncus
02 tetraedron truncum
03 dodecaedron truncum
04 icosaedron truncum
05 octaedron truncum
06 cuboctaedron truncum
07 icosidodecaedron truncum
08 cuboctaedron
09 icosidodecaedron
10 cubus simus
11 rhombiicosidodecaedron
12 rhombicuboctaedron obliquum
13 dodecaedron simum |
Englisch
01 truncated cube
02 truncated tetrahedron
03 truncated dodecahedron
04 truncated icosahedron
05 truncated octahedron
06 truncated cuboctahedron
07 truncated icosidodecahedron
08 cuboctahedron
09 icosidodecahedron
10 snub cube
11 rhombicosidodecahedron
12 rhombicuboctahedron
13 snub dodecahedron |
Erzeugung
archimedischer Körper top
Sieben Körper entstehen
aus platonischen Körpern, indem man die Ecken passend abstumpft.
01 Abgestumpfter Würfel
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02 Abgestumpftes Tetraeder
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03 Abgestumpftes Dodekaeder
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| 04 Abgestumpftes Ikosaeder
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05 Abgestumpftes Oktaeder
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08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
Zwei
Körper heißen nicht ganz korrekt auch abgestumpftes
Kuboktaeder und
abgestumpftes Ikosidodekaeder. Das sind das
große Rhombenkuboktaeder und das große Rhombenikosidodekaeder.
Schneidet man von Kuboktaeder und Ikosidodekaeder
die Ecken ab, so entstehen aus topologischer Sicht die betreffenden Körper.
Aber statt der Quadrate bilden sich Rechtecke.
Man muss die Körper noch so verformen, dass die
Rechtecke zu Quadraten werden.
Zwei
Körper erhält man, indem man beim Oktaeder bzw. Pentagondodekaeder
die Kanten und Ecken passend abflacht.
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
Zwei
Körper erhält man, indem man eine Seitenfäche dreht
und gleichzeitig verkleinert, so dass die Zwischenräume mit gleichseitigen
Dreiecken ausgefüllt werden.
| 10 Abgeschrägter Würfel
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13 Abgeschrägtes Dodekaeder
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Catalanische Körper
top
... ... |
Wenn man die Mittelpunkte der Vielecke eines archimedischen
Körpers verbindet, entsteht ein neuer Körper, der catalanische
Körper.
Jeder Fläche wird ein Eckpunkt zugeordnet, deshalb
tauschen sich die Anzahl der Ecken und Flächen aus. Die Anzahl der
Kanten bleibt.
So hat der abgestumpfte Würfel 14 Flächen und
24 Ecken, der zugehörige catalanische Körper 24 Flächen
und 14 Ecken. Die Anzahl der Kanten ist für beide Körper 36. |
Der catalanische Körper wird von kongruenten Drei-,
Vier- oder Fünfecken begrenzt.
Es folgen Stereobilder der archimedischen und der zugeordneten
catalanischen Körper.
Hinzugefügt sind die Art der Vielecke, ihre Reihenfolge
an einer Ecke, die Anzahl f der Flächen, e der Ecken und k der Kanten.
01 Abgestumpfter Würfel
[8 Dreiecke, 6 Achtecke, (3,8,8), f=14, e=24, k=36]
02 Abgestumpftes Tetraeder
[4 Dreiecke, 4 Sechsecke, (3,6,6), f=8, e=12, k=18]
03 Abgestumpftes Dodekaeder
[20 Dreiecke, 12 Zehnecke, (3,10,10), f=32, e=60, k=90]
04 Abgestumpftes Ikosaeder
[12 Fünfecke, 20 Sechsecke, (5,6,6), f=32, e=60, k=90]
05 Abgestumpftes Oktaeder
[6 Quadrate, 8 Sechsecke, (4,6,6), f=14, e=24, k=36]
06 Großes Rhombenkuboktaeder
[12 Quadrate, 8 Sechsecke, 6 Achtecke, (4,6,8), f=26, e=48, k=72]
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
[30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke, (4,6,10), f=62, e=120, k=180]
08 Kuboktaeder [8 Dreiecke, 6 Quadrate, (3,4,3,4), f=14,
e=12, k=24]
09 Ikosidodekaeder [20 Dreiecke,
12 Fünfecke, (3,5,3,5), f=32, e=30, k=60]
10 Abgeschrägter Würfel
[32 Dreiecke, 6 Quadrate, (3,3,3,3,4), f=38, e=24, k=60]
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
[20 Dreiecke, 30 Quadrate, 12 Fünfecke, (3,4,5,4), f=62, e=60, k=120]
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
[8 Dreiecke, 18 Quadrate, (3,4,4,4), f=26, e=24, k=48]
13 Abgeschrägtes Dodekaeder
[80 Dreiecke, 12 Fünfecke, (3,3,3,3,5), f=92, e=60, k=150]
Größen top
Alle archimedischen Körper haben ein Volumen V,
eine Oberfläche O und eine Umkugel R.
Außerdem gibt es noch Abstände gegenüberliegender
Flächen.
Es gelten die folgenden Formeln. Die Kantenlänge
a ist gegeben.
01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
10 Abgeschrägtes Hexaeder
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
13 Abgeschrägtes Dodekaeder
O={20sqrt(3)+3sqrt[25+10sqrt(5)]}a²
Prismen,
Antiprismen und Johnson-Körper top
Neben den platonischen und archimedischen Körpern
gibt es weitere
konvexe Körper, die von regelmäßigen
Vielecken begrenzt werden.
Da sind die Prismen
und die Antiprismen. Bei ihnen werden parallel liegende, regelmäßige
Vielecke durch kongruente regelmäßige verbunden. Da es beliebig
viele n-Ecke gibt, gibt es auch beliebig viele Prismen und Antiprismen.
Es folgen zwei Beispiele.
Dreiecksprisma
Antiprisma
mit quadratischen Grundseiten
Die restlichen, konvexen
Körper aus regelmäßigen Vielecken heißen Johnson-Körper.
Es gibt 92.
Es folgen einige Beispiele
als Stereobilder. Rechts sind die Netze abgebildet.
Quadratische Pyramide J
1
Dreieckshebosphenorotunde
J 21
Doppelt
erweitertes Dreiecksprisma J 50
Verlängerte
Fünfecksrotunde J 92
Verlängertes
verdrehtes Quadratsdoppelkuppel J 37 (oder verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)
... ... |
Man könnte meinen, dieser Körper sei eine Variation
des kleinen Rhombenkuboktaeders, denn er hat die gleichen Daten:
8 Dreiecke, 18 Quadrate, (3,4,4,4), f=26, e=24,
k=48.
An jeder Ecke treffen ein Dreieck und drei Quadrate aufeinander.
Man erhält diesen Körper, indem man beim Rhombenkuboktaeder
eine Kappe entfernt, um 45° dreht und wieder aufsetzt.
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Betrachtet man das Netz der "verlängerten
verdrehten Quadratsdoppelkuppel", so ist zwar die Umgebung zweier Punkte
A und B gleich (ein Dreieck, drei Quadrate), aber die weitere Umgebung
zeigt Unterschiede: Um A liegen vier aufeinander folgende Quadrate zwischen
zwei Dreiecken, um B höchstens drei. |
Diesen Körper J 37 bezeichnet man nicht
als archimedischen Körper, obwohl an den Ecken ein Dreieck und drei
Quadrate aufeinander treffen. Man verlangt auch eine gleiche "Fernordnung".
Das ist zu Beginn dieser Seite in der Einführung mit "Vielecke treffen
in gleicher Weise aufeinander" gemeint.
Archimedische
Körper im Internet top
Deutsch
Friedrich Cordes
Fraktale
archimedischer Körper
H.B.Meyer
Polyeder
aus Flechtstreifen
U. Mikloweit
Polyedergarten
Werner Brefeld
Platonische
Körper und Archimedische Körper
Wikipedia
Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper, Prisma
(Geometrie), Johnson-Körper
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Archimedean
Solid, Catalan
Solid
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour
la Physique )
Polyhedra
(Applets)
G. Korthals Altes
Paper Models
of Polyhedra
Poly (Pedagoguery Software Inc.)
A program
for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
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Wikipedia
Archimedean
solid, Catalan
solid, Prism
(geometry), Johnson
solid
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961
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2008 Jürgen Köller
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