Quadrate legen
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Was heißt Quadrate legen?
Quadrate zerlegen
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Trugschlüsse
Würfel bauen
Quadrate legen im Internet
Referenzen
Kommentar.
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Was heißt Quadrate legen?
Es geht um Puzzles, bei denen man aus gleichen oder verschiedenen Stücken ein Quadrat legen soll. 


Ein erstes Beispiel ist das Tangram-Spiel.

1

2

3

4
Man zerlegt ein Quadrat (1) in sieben Teile (2) und - das ist das Puzzle - setzt sie wieder zu einem Quadrat zusammen (3). In diesem Falle ist es auch möglich, Quadrate mit einem oder zwei Löchern zu legen (4). 

2.Beispiel
Es gibt viele Puzzles, bei denen eine Figur zerlegt und dann zu einem Quadrat zusammengesetzt wird. 
Hier wird ein Doppelquadrat in vier gleiche Teile zerlegt und zu einem Quadrat zusammengesetzt.

Quadrate zerlegen top
Es folgen einige Aufteilungen von Quadraten. Wenn man will, kann man die Figuren auf kariertes Papier übertragen, auf Pappe kleben und ausschneiden. So erhält man einfache Puzzles.

Beschreibungen:
1 Mit vier Schnittlinien erhält man 8 gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.
2 Mit drei Schnittlinien erhält man vier 1-2-sqrt(5)-Dreiecke. 
3 Mit zwei Schnittlinien ergeben sich zwei Quadrate und zwei kongruente Rechtecke. Zur Zerlegung gehört die binomische Formel (a+b)²=a²+2ab+b².
4 Vier L-Tetrominos bilden ein Quadrat.
5 Vier T-Tetrominos bilden ein Quadrat.
6 Man trägt von jeder Ecke aus in eine Richtung die Strecke e ab und verbindet die gegenüberliegenden freien Endpunkte dieser Strecken. Es entstehen vier kongruente Vierecke mit rechten Gegenwinkeln. 
7, 8, 9 Drei Aufteilungen aus Buch (5).

Das hat man als Kind vielleicht schon einmal gemacht und das sollte hier nicht fehlen:
Man zerschneidet ein Quadrat, besser ein quadratisches Bild, nach Belieben.

Figuren zerlegen top
Die folgenden Figuren kann man so zerlegen, dass man die Stücke zu einem Quadrat zusammensetzen kann. (Dieses ist nur eine kleine Auswahl.)

Wer will, kann sich an den Figuren selbst versuchen. Unter den Figuren steht die Anzahl der Schnitte. Die Lösungen sind nicht immer einfach zu finden.

Lösungen
Zwei Quadrate
Man trägt die Seite b des kleineren Quadrates auf der Seite a des größeren Quadrates ab. Es entsteht Punkt P. Diesen Punkt verbindet man mit den oberen Eckpunkten der Quadrate.
Die Figur ist unter dem Namen "Stuhl der Braut" bekannt. (siehe auch Formeln im Bild)

Lateinisches Kreuz 1
Man verbindet die Eckpunkte A und  B und zeichnet durch Punkt A die Senkrechte zu AB.
(1, 28.April), (2, Problem 34), (4, Seite 29) 

Lateinisches Kreuz 2
Man halbiert vier sich entsprechende Seiten und verbindet gegenüberliegende Halbierungspunkte.
(2, Problem 34), (4, Seite 29) 

13-Quadrate-Figur
Man halbiert vier sich entsprechende Seiten und verbindet gegenüberliegende Halbierungspunkte.
(1, 3.July), (3, Seite122)

Buchstabe E
Man zeichnet drei Diagonalen. - Legt man ein Quadrat, muss man zwei Stücke umdrehen bzw. spiegeln.
(3, Seite 52 und 117), (4, Seite 36) 

Anmerkung:
Diese Puzzles haben den folgenden mathematischen Hintergrund:
Man kann jedes Polygon in ein flächengleiches Quadrat verwandeln. Dazu zerlegt man das Polygon in Dreiecke, die man in ein Parallelogramm, dann ein Rechteck und schließlich in ein Quadrat verwandeln kann. 
Der dreidimensionale Fall, nämlich ein Tetraeder in einen volumengleichen Würfel zu verwandeln, ist nicht lösbar (Problem 3 bei David Hilbert, siehe Linkliste).

Treppenfigur
...... Denksportaufgaben, bei denen eine Treppenkurve zu einer Lösung führt, findet man häufiger. Hier ein Beispiel.
(1, 20.Mai)

Von der Vase zum Quadrat
...... Sechs Viertelkreise bilden eine Vase.

Aufgabe:

Die Figur soll durch zwei gerade Schnitte so aufgeteilt werden, so dass man aus den Stücken ein flächengleiches Quadrat legen kann. 

Lösung
Mitgeteilt von Dietmar Viertel 

Vom Kreis zum Quadrat
...... Es wird ein Kreis in ein Quadrat verwandelt. 

Wenn man die Aussage weglässt, dass die Flächeninhalte gleich sein sollen, so ist dieses eine Scherzlösung der Quadratur des Kreises.


Trugschlüsse top
Schachbrett-Paradoxon
Die folgende Figur ist sehr bekannt.

Das Problem liegt darin, dass ein Quadrat mit den Maßen 8x8=64 zerschnitten wird und das Rechteck, das man aus den vier Stücken legen kann, dann die Maße 13x5=65 hat. Woher kommt der Unterschied 65-64? 
Oben wurden die vier Stücke isoliert, gedreht und zu einem Rechteck zusammengeschoben. Guckt man genau hin, so ist die "Diagonale" des Rechtecks doppelt. Diese Aussage wird oft verschleiert, indem man nur die übliche Diagonale des Rechtecks zeichnet. Wenn man will, kann man den Trugschluss auch durch Rechnung mit einer Winkelbetrachtung aufdecken.
(3), Seite 97 und 132/133

Vom gleichseitigen Dreieck zum "Quadrat"
Man teilt die Grundseite in vier gleiche Teile und halbiert die anderen. Man erhält die vier Punkte E, F, A und B. Dann verbindet man E und B und fällt von den Punkten A und E die Lote auf FB. So entsteht Figur 2.
Aus den vier Teilen des Dreiecks legt man ein "Quadrat".

Genau genommen ist aber kein Quadrat entstanden. Das zeigt die folgende Rechnung. 
Es wird gezeigt, dass die beiden im Quadrat unten liegenden Seiten 2AD und DB+CB nicht gleich lang sind. 
...... Sie werden im gleichseitigen Dreieck mit Farbe gekennzeichnet. 
Man legt das Dreieck in ein Koordinatensystem und bestimmt die Länge dieser Strecken. 

Es zeigt sich, dass sie sich nur um 1% unterscheiden.

Diese Zerlegung geht auf  H. E. Dudeney (1847-1930) zurück. Dudeney hat allerdings die Grundseite nicht wie eben beschrieben in 1:2:1 geteilt. Er hat die Teilpunkte unten so gelegt, dass Dreieck und Quadrat exakt den gleichen Flächeninhalt haben. Das Teilungsverhältnis ist angenähert 0,98:2:1,018.

Würfel bauen top
Das Problem "Quadrate legen" kann auf die dritte Dimension übertragen werden. 
Dann heißt es "Würfel bauen". Es folgen drei Beispiele, die an anderer Stelle abgehandelt werden. 

Somawürfel

Schlangenwürfel

Würfel aus 9 Triwürfeln


Quadrate legen im Internet   top

Englisch

Ina Kersten
Hilbert's Problems

Eric W. Weisstein (Mathworld)
Dissection

Torsten Sillke
Geometrical Paradox  ("A Chessboard Paradox")

Wikipedia
Dissection puzzle



Deutsch

Ina Kersten
Hilberts Mathematische Probleme

A. Schreiber, T. Ehmke
Dudeney-Puzzle



Französisch

Th. Eveilleau
Le découpage de Dudeney (L'animation, Le secret du découpage, Théorème général)


Referenzen   top
(1) PAST TIMES: 366 BAFFLING BRAIN TEASERS & CUNNING CONUNDRUMS FOR EVERY DAY OF THE YEAR, Oxford 1999
(2) Sam Loyd, Martin Gardner: Noch mehr mathematische Rätsel und Spiele, Köln 1979 [ISBN 3-8321-1145-x]
(3) Heinz Haber: Mathematisches Kabinett, dtv 10121,  München 1967 und 1970 [ISBN 3-423-10121-0]
(4) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1998 [ISBN 3-88034-87-0] 
(5) Anthony S. Filipiak: Mathematical Puzzles and other Brain wisters, New York MCMXLII


Kommentar   top
In einer Mathematik-Ecke des Museums "Universum" in Bremen liegen Dudeneys Figuren als Holzstücke aus (November 2003). Sie haben mich veranlasst, dieses schöne Problem weiter zu verfolgen. So entstand diese Seite. - Übrigens ist in diesem empfehlenswerten Museum ein besonderes Highlight der Irrgarten für Kinder. 


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©  2004 Jürgen Köller

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