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Was ist ein gleichseitiges Dreieck?
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Wie der Name sagt, ist das gleichseitige Dreieck ein
Dreieck mit gleich langen Seiten.
Die Aussage, dass die Innenwinkel die Größe
60° haben, ist damit gleichwertig. |
Wenn auf dieser Seite vom Dreieck die Rede ist, so ist das
gleichseitige Dreieck gemeint.
Formeln zum Dreieck
top
Größen des Dreiecks sind die Seite a, die
Höhe h, der Radius des Umkreises R, der Radius des Inkreises r, der
Umfang U und der Flächeninhalt A.
Ist die Seite a gegeben,
so lassen sich die übrigen Größen aus ihr errechnen.
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Es gilt nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+h²
= a². Daraus folgt h = (1/2)sqrt(3)a.
Für den Flächeninhalt A = (1/2)ah ergibt sich
A = (1/4)sqrt(3)a². - Der Umfang ist 3a. |
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Im Dreieck fallen die Höhen, die Winkelhalbierenden
(r), die Seitenhalbierenden und die Mittelsenkrechten (R) zusammen. Sie
schneiden sich im Mittelpunkt M des Dreiecks. |
Die Mittellinien (Verbindungslinie zweier Seitenmitten) liegen
parallel zu einer Seite und sind halb so groß wie sie.
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Die Seitenhalbierenden teilen sich im Verhältnis
1:2.
Beweis: ED ist Mittellinie und parallel zu AB. Es gilt
nach dem zweiten Strahlensatz: MA:MD=AB:ED. Daraus folgt mit AB=a und ED=a/2
die Beziehung MA:MD=2:1, qed. |
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Der Radius des Umkreises und der des Inkreises sind Abschnitte
der Höhe.
Es gilt damit R = (2/3)h = (1/3)sqrt(3)a und r = (1/3)h=(1/6)sqrt(3)a. |
Ein Punkt im Dreieck
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Invarianz der Summe der Abstände
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Der Satz von Viviani lautet: Ist P ein beliebiger Punkt
im Inneren des gleichseitigen Dreiecks, so ist die Summe der Abstände
dieses Punktes von den Seiten konstant. |
Dieser Satz gilt auch für den Mittelpunkt des Dreiecks,
also für P=M. In diesem Falle sind die Abstände gleich den Radien
r des Inkreises.
Also heißt der Satz von Viviani in der Formelsprache:
s + t + u = 3r. Es gilt auch 3r = h.
Beweis
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Der Beweis ergibt sich, wenn man den Punkt P mit den
Eckpunkten des Dreiecks verbindet und eine Flächenbilanz zieht. |
Gleiche Flächen
Für die Figur gibt es noch einen Satz.
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Zeichnet man von einem Punkt im Dreieck aus die Lote
auf die Seiten und die Verbindungslinien zu den Eckpunkten, so entstehen
sechs Dreiecke. |
Die Summe der Flächeninhalte dreier voneinander getrennter
Dreiecke ist gleich.
Beweis
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Zum Beweis zeichnet man durch den Punkt P die drei Parallelen
zu den Dreiecksseiten. Dann entstehen an den Ecken Parallelogramme und
in der Mitte gleichschenklige Dreiecke. Beide werden halbiert, woraus sich
die Flächengleichheit ergibt. |
3-4-5-Punkt
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Gegeben ist ein Punkt P, der in einem gleichseitigen
Dreieck ABC liegt und der von den Eckpunkten die Entfernungen 3,4 und 5
hat. Wie groß ist die Seitenlänge des Dreiecks?
Lösung: a = sqrt[25+12sqrt(3)] |
Herleitung bei The Math Forum (URL unten)
Quadrat und Dreieck
top
Quadrat im Dreieck 1
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Man kann in ein gleichseitiges Dreieck ein auf der Spitze
stehendes Quadrat legen, so dass es die Seiten berührt. |
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Es sei a die Seite des Dreiecks und b die Seite des Quadrates.
Dann gilt: b = (1/4)[3sqrt(2)-sqrt(6)]a (ungefähr
0,448a). |
Diese Formel leitet man mit Hilfe des Strahlensatzes (blau)
und den Beziehungen
h = (1/2)sqrt(3)a und b = sqrt(2)x her.
Quadrat im Dreieck 2
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Dieses ist ein anderes Quadrat, das in das Dreieck passt.
Es steht auf der Grundseite. Es hat die Seitenlänge x=[2sqrt(3)-3]a
oder gerundet x=0,464a. |
Es ist etwas größer als das Quadrat oben mit 0,448a.
Herleitung der Formel
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Nach dem zweiten Strahlensatz gilt h:(a/2)=(h-x):(x/2)
oder h:a=(h-x):x. Die Produktgleichung ist hx=a(h-x). Dann ist hx=ah-ax
oder (h+a)x=ah oder x=(ah)/(h+a). |
Setzt man h=(1/2)sqrt(3)a, so erhält man x=[(1/2)sqrt(3)a]/[(1/2)sqrt(3)+1]
oder x=[sqrt(3)a]/[sqrt(3)+2)].
Der Nenner wird rational, wenn man den Bruch mit 2-sqrt(3)
erweitert. Das führt zu x=[2sqrt(3)-3]a.
Dreieck im
Quadrat 1
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Man kann ein gleichseitiges Dreieck in ein Quadrat
legen, so dass es eine Ecke mit dem Quadrat gemeinsam hat und zwei Seiten
berührt. |
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Es sei a die Seite des Quadrates und b die Seite des
Dreiecks. Dann gilt: b = [sqrt(6)-sqrt(2)]a (ungefähr 1,035a). |
Diese Formel leitet man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras
(blau und grün) her. Man gelangt zu einer quadratischen Gleichung,
deren positive Lösung man nehmen muss.
Quadrat im
Dreieck 2
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Dieses ist ein anderes Dreieck, das in das Quadrat passt.
Seine Grundseite ist die Quadratseite. Es hat eine Seitenlänge
von a und ist deshalb ein wenig kleiner als das Dreieck oben mit 1,035a. |
Quadrat
neben Dreieck
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Man setzt ein passendes Quadrat so in ein Dreieck, dass
eine Seite auf der Grundlinie und ein Eckpunkt auf der Seite des Dreiecks
liegt. Passend heißt, dass das Quadrat die Seitenlänge x = (1/2)[(3-sqrt(3)]a
oder ungefähr 0,63a hat. |
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Beschreibung einer Lösung
Man bestimmt mit Hilfe je zweier gekennzeichneter Punkte
die Gleichungen der Geraden g und h.
Die Geradengleichungen sind g: y = x und h: y = -sqrt(3)x+sqrt(3).
Der Schnittpunkt S hat den x-Wert x = (1/2)[(3-sqrt(3)]a,
wzbw. |
Dreiecke im Dreieck
top
Gedrehtes und gestauchtes Dreieck
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Sucht man Punkte, die die Seiten im Verhältnis 1:2
teilen, und verbindet sie,
erhält man ein kleineres (gleichseitiges) Dreieck
der Seitenlänge x = (1/3)sqrt(3)a. |
Beweis
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Man berechnet die Dreiecksseite x im gelben Dreieck nach
dem Kosinussatz. In der Zeichnung ist k=1/3. |
Man erhält allgemein die Dreiecksseite als x = sqrt(3k²-3k+1)a.
Das innere
Dreieck
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Verbindet man die Punkte, die die Seiten im Verhältnis
1:2 teilen, mit den gegenüber liegenden Eckpunkten, entsteht in der
Mitte ein (gleichseitiges) Dreieck der Seitenlänge x = sqrt(7)/7a.
(3, Seite 67ff.) |
Ersetzt man die Zahl 1/3
durch k, so ist die Seitenlänge x=(1-2k)/sqrt(1-k+k²)a.
Beweis des allgemeinen Falles,
zugesandt von Erhard Schuller
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Es sei AB=a. Dann ist BD=ka.
Nach dem Kosinussatz ist CD²=BC²+BD²-2BC*BD*cos(60°)
oder
CD²=a²+(ka)²-2a(ka)(1/2)=a²+k²a²-ka²
oder CD=sqrt(1-k+k²)a.
Die Dreiecke BCD und BED sind ähnlich,
da sie in entsprechenden Winkeln übereinstimmen.
Es gelten zwei Proportionen, nämlich
BC:CD=BE:BD oder a:[sqrt(1-k+k²)a]=BE:ka
oder BE=(ka)/sqrt(1-k+k²) und
BC:BD=BE:DE oder a:ka=[(ka)/sqrt(1-k+k²)]:DE
oder DE=(k²a)/sqrt(1-k+k²). |
x=CD-DE-FC=AE-BE-TE=sqrt(1-k+k²)a-(ka)/sqrt(1-k+k²)-(k²a)/sqrt(1-k+k²)=(1-2k)/sqrt(1-k+k²)*a,
wzbw.
Napoleons
Dreieck
Die folgende interessante Figur wird Napoleon zugeschrieben.
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Zeichne ein beliebiges Dreieck (schwarz).
Zeichne über den drei Seiten gleichseitige Dreiecke.
Suche ihre Mittelpunkte.
Verbinde die Mittelpunkte dieser Dreiecke.
Ergebnis: Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden. |
Die Dreiecke können auch nach innen gelegt werden.
Die Umkreise der gleichseitigen Dreiecke schneiden sich
in einem gemeinsamen Punkt (3, Seite 67ff.).
Morleys Dreieck
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Zeichne ein beliebiges Dreieck
Teile die drei Innenwinkel in drei gleiche Teile.
Verbinde passende Schnittpunkte der Teilungslinien.
Ergebnis: Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden. |
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Man erhält schöne Muster,
wenn man das Dreieck
in gleiche Dreiecke aufteilt. |
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Zeichnet man in das Dreieck alle Höhen ein, so entstehen
sechs 30-60-90-Dreiecke. Man kann sie als Tangram-Steine benutzen.(2) |
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Lässt man den kürzeren Abschnitt einer Höhe
weg, so entstehen drei 30-120-30-Dreiecke.
Die Figur links kann als Aufsicht auf ein Tetraeder gedeutet
werden. |
Setzt man an das Dreieck noch zwei 30-120-30-Dreiecke, so
erhält man ein Dreieck aus fünf ähnlichen Dreiecken.
Kreis und Dreieck
top
Kreisfiguren
Es gibt eine Reihe von Kreisfiguren,
die zu einem gleichseitigen Dreieck in Beziehung stehen.
....... ....... ....... ....... .......
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.
Malfattis Problem
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Es geht darum, in einem Dreieck drei sich berührende
Kreise zu finden, die zusammen einen möglichst großen Flächeninhalt
haben. Ein Sonderfall ist: Die Kreise sind gleich groß. |
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Es gilt h=2r+sqrt(3)r+r. Mit h=(1/2)sqrt(3)a ergibt sich
r=(1/4)[sqrt(3)-1]a. |
Malfatti glaubte, dass dies
die Lösung ist. Das ist nicht richtig.
Näheres siehe z.B. bei de.wikipedia unter Malfatti-Kreis
(URL unten)
Das Dreieck
auf drei Parallelen top
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Sind drei Parallelen mit den Abständen a, b und
a+b gegeben, so ist es leicht, ein Dreieck zu finden, dessen Eckpunkte
auf den Parallelen liegen. Es ist gar nicht so einfach, ein oder besser
das gleichseitige Dreieck zu finden. |
Beweis
x sei die Seitenlänge des
gesuchten Dreiecks.
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Man kann zweimal die Sinusformel anwenden und erhält
zwei Gleichungen in x und alpha.
Löst man sie auf, erhält man x=(2/3)sqrt(3)sqrt(a²+ab+b²).. |
Zwei Fraktale
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Koch-Kurve (Schneeflockenkurve)
Ausgangsfigur für die Koch-Kurve
ist ein gleichseitiges Dreieck der Seite a (1.Figur). Teilt man die Seiten
des Dreiecks in drei gleiche Teile und setzt auf die mittlere Strecke ein
gleichseitiges Dreieck mit der Seite a/3, so entsteht Figur 2. Man wiederholt
diese Regel: Man teilt jede der 12 Strecken mit der Länge a/3 in drei
gleiche Teile und setzt in die Mitte wieder ein Dreieck, dieses Mal mit
der Länge a/9, so entsteht Figur 3. Figur 4 entsteht durch den nächsten
Schritt. Man muss sich vorstellen, dass die Regel beliebig oft wiederholt
wird.
Begleitet man die Bilder mit Rechnungen, so gelangt man
zu zwei merkwürdigen Aussagen: Der Umfang U(n) wächst über
alle Grenzen, der Flächeninhalt A(n) nähert sich der Zahl 8/5A.
Der Name Koch-Kurve geht auf den schwedischen Mathematiker
Helge von Koch (1870-1924) zurück, der sie 1904 als erster beschrieb.
Sierpinski-Dreieck
Ausgangspunkt für das Sierpinski-Dreieck ist ein
gleichseitiges Dreieck (Figur 1). Man schneidet das Mittendreieck aus (Figur
2). Es bleiben drei (rote) Dreiecke zurück. Aus ihnen schneidet man
wiederum die Mittendreiecke heraus. Es entsteht Figur 3. In Figur 4 werden
nochmals die Mittendreiecke herausgenommen. Diese Prozedur wiederholt man
beliebig oft, so dass das Ausgangsdreieck immer mehr durchlöchert
wird.
Die Rechnung führt zu merkwürdigen Aussagen: Der
Umfang der Dreiecke wächst über alle Grenzen, der Flächeninhalt
geht gegen 0.
Waclaw Franciszek Sierpinski (1882-1969) war ein polnischer
Mathematiker, der sich mit (mengentheoretischer) Topologie beschäftigte.
Erzeugen eines
Dreiecks top
Es ist üblich, ein gleichseitiges Dreieck mit Zirkel
und Lineal zu konstruieren.
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Man zeichnet eine Strecke, die später Seite des
Dreiecks wird, dann je eine Kreislinie um ihre Endpunkte mit dem
Radius der Strecke. Einen Schnittpunkt der Kreise verbindet man mit den
Endpunkten der Strecke. |
Ein Dreieck kann man auch durch Falten
erzeugen.
1 Gegeben ist ein Streifen Papier.
2 Man halbiert den Streifen.
3 Man legt die obere linke Ecke auf die Mittellinie und
sorgt gleichzeitig dafür, dass die Faltlinie durch die untere linke
Ecke geht.
4 Man faltet weiter an der roten Linie und macht die
beiden Faltungen wieder rückgängig.
5 Es ist ein gleichseitiges Dreieck entstanden. (4)
Bliebe noch der Beweis dafür, dass das Dreieck gleichseitig
ist. Die blaue Hilfslinie liefert ihn:
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Gibt man den Winkel alpha vor, so ist alpha1 = alpha
wegen des Faltens an der Geraden AB und alpha2 = alpha wegen des Faltens
an der Mittellinie m. Zusammen bilden die drei Winkel einen gestreckten
Winkel von 180°. Also bleibt für jeden Winkel 60°. |
Übrigens kann man nach dieser Methode einen Streifen
aus gleichseitigen Dreiecken falten. Den Streifen braucht man für
Flexagons.
Man kann ein Dreieck basteln.
>Drei Streichhölzer, Zahnstocher oder Schaschlikstäbe,
verbunden mit Kleber, Kitt- oder Knet- oder Bostikkügelchen, bilden
ein Dreieck.
>Man steckt drei Trinkhalme mit einem "Gelenk" ineinander.
Die inneren Halme schneidet man längs ein.
>Man lötet drei Drähte zusammen oder man biegt
einen Draht zu einem Dreieck. Dann muss man nur einmal löten.
>Man verbindet drei gleich lange Stabmagnete mit Kugeln.
Das Hasenfenster
in Paderborn top
Das Hasenfenster befindet sich im Kreuzgang des Paderborner
Doms. Es ist das Maßwerk eines gotischen Fensters aus dem 16.Jahrhundert.
"Drei Hasen und der Löffel drei - und dennoch hat
ein jeder zwei"
Die Ohren bilden ein gleichseitiges Dreieck.
Gleichseitige Dreiecke auf meiner Homepage
Ebene Figuren
Dreiteilung eines Dreiecks
Figuren in einem Dreieck
Homogene Parkettierungen
Puzzles
Triominos-Puzzles
Körper
Platonische Körper
Archimedische Körper
Konvexe Deltaeder
Gleichseitiges
Dreieck im Internet top
Englisch
Alexander Bogomolny (Cut The Knot)
Napoleon's
Theorem, Morley's
Miracle
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Equilateral
triangle, Napoleon
triangle, Routh's
Theorem, MalfattisProblem
Kevin Brown (mathpages.com)
Napoleon's
Theorem
Torsten Sillke
grid-triangles
Wikipedia
Equilateral
triangle,
Viviani's theorem,
Napoleon's
theorem, Morley's
trisector theorem,
Koch
snowflake, Sierpinski
triangle, Malfatti
circles
Deutsch
Jürgen Kummer
Gleichseitiges-Dreieck-Rechner
Wikpedia
Gleichseitiges
Dreieck, Satz
von Viviani, Napoleon-Dreieck,
Morley-Dreieck,
Koch-Kurve,
Sierpinski-Dreieck,
Malfatti-Kreis
Referenzen top
(1) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig
1971 (ISBN 3-528-08402-2)
(2) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (ISBN
3-7701-2097-3)
(3) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Berlin 1988
(ISBN 3550076924)
(4) Kunihiko Kasahara, Origami - figürlich und geometrisch,
München 2000 (ISBN 3-8043-0664-0)
Ich bedanke mich bei Torsten Sillke für Unterstützung.
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https://www.mathematische-basteleien.de/
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2003 Jürgen Köller
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