Triomino-Puzzles
Inhalt dieser Webseite
Was ist ein Triomino-Puzzle?
Aufbau der Triominos
Puzzles ohne Domino-Regel
Puzzles mit Domino-Regel
Troiker
Trominos
MacMahons Dreiecke
Ähnliche Puzzles auf meiner Homepage
Schlussbemerkung
Triominos im Internet
Referenzen
.
Zurück zu Hauptseite

Was ist ein Triomino-Puzzle?
...... Das sind die Triominos.

Unter Triomino-Puzzles fasse ich die Aufgaben zusammen, aus den Spielsteinen nach einer Vorschrift Figuren zu legen.
 


...... Domino ist ein bekanntes Gesellschaftsspiel, bei dem mindestens zwei Spieler nacheinander Dominosteine passend ablegen. Gewonnen hat der, der zuerst seine Steine abgelegt hat.
Links eine Darstellung aus der ersten Phase des Spiels.

...... Triomino ist eine Erweiterung. 
Statt der Doppelquadrate sind die Spielsteine oder Triominos gleichseitige Dreiecke, die in den Ecken die Ziffern 0, 1,  2, 3, 4 oder 5 tragen. Zwei Spieler oder mehr legen sie abwechselnd so aneinander, dass die beiden Ziffern einer Seite übereinstimmen. Das ist die Domino-Regel. Gewonnen hat (nach einer Spielregel unter mehreren) derjenige, der zuerst die Steine abgelegt  hat.
Links eine Darstellung aus der ersten Phase des Spiels.
Auf das Spiel Triomino soll hier nicht eingegangen werden, sondern auf Puzzles mit Triominos

Offenbar gibt es viele Hersteller des Triomino-Spiels, die ihm dann gerne einen eigenen Namen geben. Auf der Webseite BoardGameGeek (URL unten) werden 23 Namen genannt. Dabei ist die Liste nicht vollständig. Ich nenne noch Tridom. - Am Ende dieser Seite gehe ich noch auf die Varianten Troiker, Trominos und MacMahons Farbdreiecke ein.

Aufbau der Triominos top
Das mir vor Jahren geschenkte 

Triominos Pocket (Spiel)    (© Goliath BV,NL 8051 KR Hattem)
ist wohl eine Standard-Version, was die Beschriftung der Steine und die Anzahl 56 angeht.

Es stellt sich die Frage, wie die Ziffern 0, 1 , 2, 3, 4 und 5  auf den Triominos verteilt sind und wie die Anzahl 56 einzuordnen ist.


Ordnen der Triominos.
Die Triominos sollen dreistellige Zahlen als Namen bekommen. 
...... Der Spielstein mit den Ziffern 3, 4 und 5 könnte zum Beispiel die Namen 345, 453 oder 534 tragen. Dabei beachtet man den Uhrzeigersinn.
Er wird eindeutig,  wenn man die kleinste dreistellige Zahl wählt. Das ist hier 345.

Es folgen alle 56 Triominos in dieser Schreibweise. Sie sind der Größe nach geordnet.
000 001 002 003 004 005 011 012 013 014 015 022 023 024 025 033 034 035 044 045 055
111 112 113 114 115 122 123 124 125 133 134 135 144 145 155
222 223 224 225 233 234 235 244 245 255 
333 334 335 344 345 355
444 445 455
555

Man stellt fest, dass die einstelligen Zahlen, deren Ziffern die dreistelligen Zahlen bilden, gleich bleiben oder ansteigen. Und da gibt es alle Möglichkeiten.

...... Das bedeutet, dass unter den Triominos Steine wie 354 nicht vorkommen. 
Man verzichtet damit auf Paare achsensymmetrischer Steine.

Die Formel hinter der Anzahl 56
Dazu werden die 56 Triominos neu geordnet, und zwar nach der Anzahl der Ziffern. 
In jeder Zeile taucht eine weitere Ziffer auf.
000 
001 011 111
002 012 022 112 122 222
003 013 023 033 113 123 133 223233 333
004 014 024 034 044 114 124 134 144 224 234 244334 344 444
005 015 025 035 045 055 115 125 135 145 155 225 235 245 255 335 345 355 445 455 555

Die Anzahl ergibt sich, wenn man die Tripel zeilenweise abzählt. Es gilt 1+3+6+10+15+21=56.
Die Summanden bilden die Dreieckszahlen, die Folge der Partialsummen die Tetraederzahlen.


Dreieckszahlen

Tetraederzahlen

Das n-te Glied der Folge der Tetraederzahlen aber ist T(n)=(1/6)n(n+1)(n+2). 
Setzt man n=6, ergibt sich 56.

Puzzles ohne Domino-Regel    top
Figuren aus Dreiecken
Man kann die Triominos einfach aneinanderlegen, ohne darauf zu achten, ob Ecken mit entsprechende Ziffern aneinanderstoßen, so dass mehr oder weniger ansehnliche Figuren entstehen. 
Ich stellte mir die Aufgabe, nacheinander die Triominos nach Ziffern getrennt und dann alle Triominos zu einem Dreieck anzuordnen. 
Das gelang nur mit dem Triomino-Satz mit zwei Ziffern, immerhin kann man sich Dreiecken annähern. 


Puzzles mit Domino-Regel    top
Die folgenden Möglichkeiten, mit den Triominos zu spielen, sollen Anregungen sein.


Polyiamonds
Polyiamonds sind Figuren, die man aus kongruenten, gleichseitigen Dreiecken bilden kann. Bekannt sind die Hexiamonds, die Iamonds aus 6  Dreiecken. Ein Problem ist, eine Figur aus 12*6=60 Dreiecken zu entwerfen und sie dann mit den "Hexiamonds" auszulegen.

Man kann die einzelnen Hexiamonds aus sechs Triominos unter Berücksichtigung der Domino-Regel legen. Da das leicht ist, kann man sich auf möglichst wenige Ziffern beschränken. 

...... Es ist sicher auch möglich, die 24 Heptiamonds mit Triominos auszulegen.

Weitere Figuren aus Triominos
Dreiecke

Sechsecke

Die folgende Figur aus acht Sechsecken schickte mir Frank, der auch die Anregung für das Erstellen  dieser Webseite gab.

Ring


"Viele Sechsecke"
Es stellt sich die Frage, wie viele verschiedene Sechsecke man mit den Triominos legen kann.
...... Da keine Ziffer bei der Verteilung auf die Dreiecken bevorzugt oder benachteiligt wird, müsste man neue Figuren erhalten, indem man die Ziffern austauscht.

...... Das heißt zum Beispiel, dass man die Ziffern 0, 1, 2, 3 durch 4, 5, 0, 1 ersetzt. 

Das führt zum nebenstehenden Sechseck, das in der Tat auch existiert. 


Nach der Theorie gibt es 6! Möglichkeiten, die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5 umzuordnen (zu permutieren).
Damit ist die Anzahl der möglichen Sechsecke 1*2*3*4*5*6=720.

...... Doch Vorsicht! Ersetzt man zum Beispiel die Ziffern 0, 1, 2, 3 durch die Ziffern 3, 2, 5, 4, so gibt es eine Schwierigkeit. Das entworfene Sechseck links gibt es nicht. Dafür gibt es das achsensymmetrische Sechseck rechts. Die Achse liegt vertikal.  ......


Es gibt noch viele weitere Sechsecke.
......
...
...
Die beiden neuen Sechsecke rechts haben andere Strukturen. 
Im mittleren Sechseck fehlt das Dreieck aus gleichen Ziffern, 
im rechten auch die beiden Ziffernpaare auf dem Rand.
Es ist wohl sinnvoll, nur diese drei Sechsecke als verschieden anzusehen.

Sechsecke und ihre Augenzahl
Man kann die Sechsecke unter einem anderen Gesichtspunkt betrachten. 
Man addiert die Augenzahl und ordnet die Summe einem Sechseck zu. 
Das sind die bisher angegebenen Sechsecke mit ihren Summen.

9

19

20

22

24

......
7
...
28
Dann kann man Sechsecke gleicher Augenzahl oder - wie hier - das  Sechseck mit möglichst kleiner bzw. möglichst großer Augenzahl suchen.

Sechsecke mit gleichem Umfang
Die beiden Figuren haben eine gemeinsame Eigenschaft:

Sie haben den gleichen Umfang, nämlich 9 Längeneinheiten. 


Man kann sich die Aufgabe stellen, neue Figuren mit dem Umfang 9 zu entwerfen und zu lösen.
dreiecksmuster.gif

Ablegen aller Triominos
...... Es gelang mir nicht, ein zusammen hängendes Gebiet ohne Löcher aus allen Triominos zu legen.

Zwei Dreiecke blieben übrig.


Frank fand die folgende perfekte Lösung. 


Ketten aus Triominos
Harald Hiessl beschäftigte sich mit dem Problem, die Triominos linear anzuordnen. Er fand bisher sechs Lösungen.
Das ist eine Lösung.

Struktur von drei weiteren Lösungen


Er stellt folgende Fragen.
> Wie viele Anordnungen gibt es?
> Gibt es eine Konstruktionsregel?
> Gibt es eine geschlossenen Anordnung?

Ich gebe die Fragen hiermit weiter.

Troiker    top
Das oben vorgestellte Triominos besteht aus 56 Dreiecken, die die sechs Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 und 5 tragen.
000 001 002 003 004 005 011 012 013 014 015 022 023 024 025 033 034 035 044 045 055
111 112 113 114 115 122 123 124 125 133 134 135 144 145 155
222 223 224 225 233 234 235 244 245 255 
333 334 335 344 345 355
444 445 455
555


Beschränkt man sich auf die vier Ziffern 0, 1, 2 und 3, so kommt man auf 20 Dreiecke.
000 001 002 003 011 012 013 022 023 033 
111 112 113 122 123 133 
222 223 233 
333
Das sind 20 Steine des Spiels Troiker, wobei noch vier Steine fehlen.
Es gibt vier Steine mit drei verschiedenen Ziffern, nämlich 012 013 023 123, zu denen es noch vier achsensymmetrische gibt:  021 031 032 132. Die 24 Steine bilden das Spiel Troiker.
...... Statt der Ziffern stehen auf den Dreiecken die Augen, die man vom Domino kennt.
Das Spiel und viele Varianten werden in Buch 1 auf 200 Seiten untersucht. 

Trioker selbst gemacht
Offenbar kann man das Troiker-Spiel aus 24 Steinen heute nicht kaufen. Doch man kann die Dreiecke selbst herstellen. Man verwendet die 20 Steine mit den Ziffern 0, 1, 2 oder 3 des Triomino-Spiels.
...... Dann beschriftet man vier passende Papier-Dreiecke mit 021 031 032 und 132, schneidet in die Mitte ein kleines Loch und klebt sie auf Steine, die eine 4 und 5 tragen.
Die Spielsteine haben in der Mitte Kuppen aus Metall, die es ermöglichen, die Steine leichter anzuheben. 

Dann kann man versuchen, Figuren wie oben nachzulegen.

18 von 24

22 von 24

24 von 24

Trominos    top
Heinz Haber beschreibt in Buch (1) ein Puzzle aus 24 Dreiecken und nennt es das Tromino-Spiel. Es gibt einen wesentlichen Unterschied zum Spiel Troiker. Die Ziffern werden nicht den Ecken der Dreiecke zugeordnet, sondern den Seiten. Dazu werden die Dreiecke in drei Teildreiecke aufgeteilt.
Das führt zu 24 Dreiecken.


Es werden die gleichen Tripel wie bei Troiker verwendet, nämlich
000 001 002 003 011 012 013 022 023 033 
111 112 113 122 123 133 
222 223 233 
333
+ 021 031 032 132

...... Ich will es bei diesem gelösten Sechseck belassen, da sich die Figuren im nächsten Kapitel als farbige Figuren wiederholen würden.

Man könnte auch das Triomino-Spiel mit den Ziffern 0 bis 5 um die symmetrischen Dreiecke erweitern.
000 001 002 003 004 005 011 012 013 014 015 022 023 024 025 033 034 035 044 045 055
111 112 113 114 115 122 123 124 125 133 134 135 144 145 155
222 223 224 225 233 234 235 244 245 255 
333 334 335 344 345 355
444 445 455
555
+ 021 031 041 051
032 042 052
043 053 054
132 142 152 
143 153 154
243 253 254  354
Dann kämen zu den 56 Triominos noch 20 Dreiecke hinzu. Das macht 76 Steine.

Es stellt sich die Frage nach einer allgemeinen Formel für die Anzahl a(n) der Dreiecke mit n Ziffern.
Die Anzahl der zusätzlichen symmetrischen Dreiecke wird durch "n über 3" oder C(n,3) angegeben. Dabei hält man sich an den Term C(49,6) beim Lotto 6 aus 49
Es gilt C(n,3)=n!/[3!*(n-3)!]=(1/6)n(n-1)(n-2).
Es gilt weiter a(n)=T(n)+C(n,3)=(1/6)n(n+1)(n+2) + (1/6)n(n-1)(n-2)=(1/3)n*(n²+2).
Es gilt a(4)=(1/3)*4*18=24 und a(6)=(1/3)*6*38=76, was für die Formel spricht.

MacMahons Dreiecke top
Der Name MacMahons Dreiecke weist auf Percy Alexander MacMahon (1854 bis 1929) hin, der schon in den 1920er Jahren auf die Möglichkeit hinwies, diese farbigen Dreiecke als Puzzlesteine zu verwenden. Er untersuchte eher farbige Würfel (s.u.). 


Martin Gardner machte die 24 Dreiecke zum Thema seiner Mathematik-Ecke der Zeitschrift Scientific American. In einem Kapitel seines Buches (1) fasste er das Thema unter Berücksichtigung zahlreicher Zuschriften zusammen.

Es gibt einen unwesentlichen Unterschied zum Tromino. Jede Ziffer wird durch eine Farbe ersetzt. 
Ich wähle Rot 0, Grün 1, Blau 2 und Rot 3.
Das führt zu 24 Dreiecken:

......
Dann sieht das Sechseck links des Spiels Tromino farbig so aus:
....

Immer, wenn Martin Gardner ein Puzzle in einer Kolumne vorstellte, erhielt er viele Zuschriften mit Anregungen und Lösungen. Ich stelle zwei bemerkenswerte Ergebnisse vor.
...... Es gibt 24 farbige Dreiecke. 
Das zu 24=4*6 gehörige Parallelogramm kann man mit  Dreiecken auslegen und dabei sogar erreichen, dass der Rand gelb wird.

...... 24 gleichseitige Dreiecke bilden ein regelmäßiges Sechseck.

Man kann wieder erreichen, dass es ausgelegt wird und der Rand gelb wird. 

Gardners Artikel ist eine Fundgrube für weitere Probleme.

Es ist wohl nicht möglich, diese einfachen Figuren mit den Troiker-Steinen zu legen.

Ähnliche Puzzles auf meiner Homepage       top
Puzzle Wabe


Instant Insanity
...... ...... Aufgabe des Puzzles ist es, die Würfel so zu einer 1x1x4-Stange zusammenzustellen, dass auf allen vier Seitenflächen die vier Farben erscheinen. 

MacMahons Farbwürfel
.........

MacMahons Problem:
Baue einen 2x2x2 Würfel mit den gleichen Farben auf den entsprechenden Seitenflächen wie ein Einzelwürfel. 
Erschwerend kommt hinzu, dass innen gleiche Farben aufeinander liegen. 
 


Farbkontakt-Puzzle

Schlussbemerkung top
Ich habe auf dieser Seite das Triomino-Spiel aus 56 Steinen in den Mittelpunkt gestellt, weil man es in jedem gut sortierten Spielzeugladen kaufen kann. Da habe ich die Hoffnung, dass diese Seite "praxisnah" ist. Trotzdem ist es als Puzzle aus zwei Gründen nicht ideal. 
...... >Mit 56 Steinen ist die Anzahl zu groß. 
>Man vermisst die beiden jeweils zueinander symmetrischen Dreiecke. 

Oft scheiterte ich an einer Situation wie links. 


Die anderen Versionen des Triomino-Spiels auf dieser Seite (Troiker, Tromino, MacMahons Farbdreiecke) haben diese beiden Nachteile nicht. Nur über sie gibt es dann auch eine gehaltvolle Literatur für Puzzle-Liebhaber (s.u.). 

Triominos im Internet top

Deutsch

Claudia Schlee & Andreas Keirat
Spieletest für das Spiel : TRI-OMINOS

Jörg Binnewald 
Zehnerbrüche und Dezimalbrüche

Susanne Neumann 
Triomino Astronomie, Triomino Optik

Wikipedia
Triomino (Spiel), Domino (Spiel)

Englisch

BoardGameGeek
Tri-ominos
Auf dieser Webseite wird erwähnt, dass man die 20 symmetrischen Spielsteine zum Triomino-Spiel als Extra Stones dazukaufen kann.

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Triomino

Wikipedia
Triomino (game), Dominoes (game),
Triomino
Das sind auch Triominos.

Le Trioker


Referenzen   top
(1) Heinz Haber: Mathematisches Kabinett, dtv 10121,  München 1967 und 1970 [ISBN 3-423-10121-0] 
(2) M-Oldier, Y.Roussel: Troiker mathematisch gespielt, Braunschweig 1979 [ISBN 3-528-08394-8]
(3) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (dumont taschenbuch1480)  [ISBN 3-7701-2097-3] 
(4) Martin Gardner: Mathematische Hexereien, Berlin 1988  [ISBN 3550065787]
Ferner:
(5) Major P.A.MacMahon: New Mathematical Pastimes, Cambridge University Press, 1921



Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  August 2012 Jürgen Köller

top