Tetra One
Inhalt dieser Seite
Was ist Tetra One?
Erste Beschreibung
Mathematischer Hintergrund
Halbierungen der Dreieckspyramiden
Netze
Vergleich der Volumina
Eine Spitze für Tetra One
Lage der Halbierungen
Lage des Kaleidozyklus II in Tetra One
Tetra One im Internet .
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Was ist Tetra One?

Tetra One ist nach Cube One ein weiteres Puzzle des Grafik-Designers, Malers und Zeichners Dieter A.W. Junker aus Kassel. 

Das Ziel ist es, aus zwei 12-gliedrigen Kaleidozyklen (Ketten von Dreieckspyramiden) ein Tetraeder zu bauen.

I
+

II
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Erste Beschreibung top
Beide Kaleidozyklen bestehen aus je 12 dreieckigen Pyramiden, vier großen und acht kleinen. Sie bilden sechs Paare zueinander spiegelbildlicher Pyramiden. 
Die großen Pyramiden sind in Rottönen gehalten, die kleinen Pyramiden tragen die Farben rot, blau, hell- und dunkelgrau.
Die beiden Kaleidozyklen unterscheiden sich nur in der Anordnung der Pyramiden. Einmal liegen zwischen den großen Pyramiden je vier kleine, einmal sechs und zwei.


Mathematischer Hintergrund    top
Das gelöste Tetraeder zeigt, dass die folgende Aufteilung des Tetraeders dem Puzzle zugrunde liegt. 

Das Bildpaar ermöglicht eine dreidimensionale Sicht. 
Durch die Verbindungslinien der Kantenmitten entstehen in der Mitte ein Oktaeder und in den vier Ecken vier Tetraeder mit halber Kantenlänge. 

Zeichnet man in das Oktaeder die drei Raumdiagonalen ein, so ergibt sich eine Aufteilung des Oktaeders in acht Viertelpyramiden. 
Somit ist das Gesamttetraeder in 4+8=12 Pyramiden aufgeteilt. Bei Tetra One kommt man auf insgesamt 24 Pyramiden, weil jede Pyramide noch halbiert wird.

Halbierungen der Dreieckspyramiden    top
Ecktetraeder

Von einer Kantenmitte aus werden die Verbindungslinien zu zwei Eckpunkten gezeichnet. Es ergeben sich zwei halb so große Halbtetraeder. Das gemeinsame Dreieck ist bei Tetra One rot.


Viertelpyramiden
Hier ist noch einmal das zentrale Oktaeder in der Aufteilung in acht Viertelpyramiden. 
......T Die Viertelpyramide wird halbiert, indem man wieder von einer Kantenmitte aus die Verbindungslinien zu zwei Eckpunkten zeichnet. Es ergeben sich zwei halb so große Achtelpyramiden. Das gemeinsame Dreieck ist bei Tetra One rot.
Die oben genannten großen und kleinen Pyramiden der Kaleidozyklen heißen also treffender Halbtetraeder und Achtelpyramiden.

Netze  top
Das sind die Netze der Pyramiden, die die Ketten bilden.

Halbtetraeder

Achtelpyramide


Vergleich der Volumina    top
Das Tetraeder hat allgemein das Volumen VT=(1/12)sqrt(2)a³, das Oktaeder VO=(1/3)sqrt(2)a³. 
Dabei ist a die Kantenlänge dieser Körper.


Für das Halbtetraeder heißt das V1=(1/2)(1/12)sqrt(2)(a/2)³=(1/192)a³
Für die Achtelpyramide heißt das V2=(1/16)(1/3)sqrt(2)(a/2)³=(1/384)a³.
Damit ist das Halbtetraeder doppelt so groß wie die Achtelpyramide.

Eine Spitze für Tetra One    top
...... Bei Betrachtung des gelösten Tetraeders fällt auf, dass die Ecktetraeder und auch die Viertelpyramiden, die außen blau gefärbt sind, in unregelmäßiger Weise halbiert sind.

Um die Lage der Halbierungslinien besser beschreiben zu können, soll für Tetra One eine Spitze definiert werden. 


...... Alle Eckpyramiden sind mit einem Scharnier mit dem Oktaeder verbunden. Eine Eckpyramide wurde links entfernt. Eingezeichnet ist nur das Scharnier als rote Strecke. Man kann nun in Pfeilrichtung eine Viertelpyramide (oder zwei Achtelpyramiden) hochheben. Das ist nur an einer Ecke möglich.
Diese Ecke soll die Spitze von Tetra One sein. 

Lage der Halbierungen     top
Die Skizze zeigt die Lage der Halbierungslinien der Ecktetraeder.

Das blaue Dreieck gehört zum "Deckel", der Viertelpyramide, die man hochheben kann.

Halbierungslinien der Viertelpyramiden
Die Ecktetraeder werden weggelassen. 
Das blaue Dreieck ist wieder der Deckel der Viertelpyramide.
Die roten Linien sind die Halbierungslinien, die man außen sehen kann.

Lage des Kaleidozyklus II in Tetra One     top
...... Klappt man die Spitze nach vorne rechts und die Viertelpyramide nach hinten rechts, so kann man das Kaleidozyklus I herausheben. 
...... Dann ergibt sich das nebenstehende Bild, wenn man die obere Viertelpyramide wieder zurückklappt.
So liegt Kaleidozyklus II in Tetra One.


Vielleicht wird die Lage dieses Kaleidozyklus deutlicher, wenn man wieder alle Ecktetraeder weglässt und das Oktaeder in der Aufsicht zeigt.
...... Das Dreieck ABF gehört zum Deckel von Tetra One. 
Die restlichen Viertelpyramiden liegen unten wie auch zwei Ecktetraeder, die hier nicht eingezeichnet sind. 
Kaleidozyklus I ergänzt dann II zu Tetra One.


Viel Spaß beim Lösen von Tetra One. Trotz meiner Beschreibung bleibt die Lösung eine Herausforderung.



Weitere Puzzles mit Tetraedern findet man auf meiner Seite Tetraeder-Puzzles.

Tetra One im Internet   top

Dieter A.W. Junker
Flyping Games (Deutsch/Englisch)


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©  2007 Jürgen Köller

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