Was ist ein Hexahexaflexagon?
Ein Hexahexaflexagon
ist ein Sechseck, das man aus einem Streifen aus gleichseitigen
Dreiecken faltet. Der Gag besteht darin, dass man das Sechseck in der Mitte
öffnen kann. Es erscheinen neue Sechsecke, die vorher verborgen waren.
Insgesamt können sechs verschiedene Flächen oben liegen.
Auf dieser Seite wird das wohl bekannteste und interessante Hexahexaflexagon
besprochen.
Dieses ist meine zweite Seite zum Flexagon. Hier geht es zur ersten
Seite Flexagons.
Bau eines Hexahexaflexagons
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(1) Zeichne mit Hilfe von Zirkel und Lineal einen Streifen aus 19 gleichseitigen
Dreiecken.
Wähle als Seitenlänge eines Dreiecks 2 cm. Dann passt der
Streifen quer auf ein Blatt DIN A 4. (Verwendet man ein Blatt DIN A3, so
kann man auch 4cm wählen. Dann ist die Herstellung leichter und das
Flexagon robuster.)
(2) Nummeriere die Dreiecke wie folgt. Setze ganz rechts ein Kreuz.
(3) Zeichne mit Hilfe eines leeren Kugelschreibers die Seiten der Dreiecke
nach, damit man das Papier an diesen Stellen später besser falten
kann.
(4) Schneide den Streifen aus.
(5) Drehe den Streifen um. Nummeriere die rückseitigen Dreiecke wie
angegeben. Setze links ein zweites Kreuz. Hinter 3 liegt x, hinter 1 liegt
4 usw.. Die beiden angekreuzten Dreiecke werden später aufeinandergeklebt
und werden verschwinden. Knicke das Papier mehrmals an den Linien zwischen
den Dreiecken, damit das Flexagon, wenn es später zusammengebaut ist,
"elastischer" ist.
(6) Falte als erstes einen Streifen aus 10 Dreiecken, indem du von
links nach rechts nacheinander die Dreiecke 4,4 und 5,5 und 6,6 und 4,4
und 5,5 und 6,6 und 4,4 und 5,5 und 6,6 aufeinander legst. Das läuft
darauf hinaus, dass der Ausgangsstreifen spiralförmig gedreht wird.
Am Ende ergibt sich das folgende Bild.
Das ist aber gerade der Streifen des Trihexaflexagons. Deshalb geht es
weiter wie beim ihm. Es folgt die Beschreibung aus meiner Flexagon-Hauptseite.
(7) Falte das Papier so, dass ein Haken entsteht. Dann falte an der gestrichelten
Linie nach hinten. Achte darauf, dass vorne nur 1 und hinten nur 2 steht.
Lege dazu die Dreiecke 3 und 3 aufeinander.
(8) Es entsteht ein Sechseck. Dreieck 2 steht noch über. Es müsste
auf der Rückseite ein Kreuz tragen. Klebe die beiden Dreiecke mit
den Kreuzen aufeinander.
Das Hexahexaflexagon ist fertig.
Öffnen eines Flexagons
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Das Öffnen ist beim ersten Mal eine knifflige Angelegenheit.
Fasse mit Zeigefinger und Daumen der rechten Hand zwei Dreiecke von
oben. Drücke sie nach unten. Drücke gleichzeitig mit dem Zeigefinger
der linken Hand an der gegenüberliegenden Ecke des Sechsecks zwei
Dreiecke, die eine Raute bilden, weit nach unten zur räumlichen Achse
hin. Das Sechseck lässt sich jetzt oben "wie eine Blume" öffnen.
Es erscheint ein neues Sechseck. |
Für das systematische Öffnen eines Flexagons kann man zwei Techniken
anwenden.
Bei der "Schaukel" hält man die Begrenzungslinie zweier Dreiecke
horizontal und öffnet abwechselnd links und rechts. Bei der "Tuckerman
Traverse" dreht man nach jedem Öffnen das Flexagon im oder entgegen
dem Uhrzeigersinn weiter.
Im Folgenden soll für das Öffnen auch der Name "Zug" gewählt
werden.
Struktur des linearen
Hexahexaflexagons top
Öffnet man dieses Flexagon nach Art der Schaukel, so erhält
man nacheinander drei Sechsecke, z.B. 1/2/3/1/2/3/1/2...
Man muss, um an alle Sechsecke zu gelangen, die Technik der Schaukel
erweitern. Man öffnet auf jeder Seite so lange, bis es nicht mehr
geht. Auf diese Weise erhält man die Reihenfolge 1/236/2/315/3/124/1/236/...Der
Schrägstrich gibt jeweils den Wechsel rechts/links oder links/rechts
an. (Eventuell muss man das Sechseck umdrehen.)
Es wiederholt sich die Folge 1/236/2/315/3/124/. Die Zahlen 1, 2 und
3 kommen in dieser Periode dreimal vor, die Zahlen 4, 5 und 6 nur einmal.
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Als mögliche graphische Darstellung dieser Struktur dient ein
Dreieck mit einem Mittendreieck. Die Mittellinien sind doppelt.
Man kann die Figur entzerren und erhält eine Figur gebildet aus
vier Dreiecken, die gemeinsame Eckpunkte haben. Das ist die übliche
Darstellung aus Gardeners Buch.
Ein Gang durch alle Flächen heißt ein Umlauf um die rechte
Figur. |
Dreht man das Sechseck um, so erhält man mit der Schaukel die Reihenfolge
1/326/3/214/2/135/1/326/...
Wie der Ausgangsstreifen zeigt, besteht das Hexahexaflexagon aus 18
Dreiecksblättern mit Vorder- und Rückseite, also aus insgesamt
36 Dreiecken. Die Dreiecke zum Kleben zählen nicht.
Zusammengefaltet gibt es zwei Konfigurationen: Entweder liegen, voneinander
getrennt, zwei Blätter übereinander oder ein einzelnes
Blatt. Die Dreiecke haben die Verteilung 1+5+1+5+1+5 oder 2+4+2+4+2+4.
Kennzeichne ein Dreiecksblatt (z.B. Blatt1/4, Sechseck 1 vorne, Sechseck
3 hinten) mit einer Büroklammer.
Wendet man jetzt die Schaukel an, so wandert die Büroklammer und
damit das Dreieck entgegen dem Uhrzeigersinn im Kreis herum, obwohl man
das Flexagon nicht dreht. Nach zwei Runden gelangt die Büroklammer
wieder an die alte Stelle, und zwar nach 36 Zügen. Dabei bleibt das
Dreieck 2x, 3x oder 5x in einem Sektor und dreht sich.
Einzelheiten eines vollen Durchlaufs der Büroklammer mit 36 Zügen
hält das folgende Protokoll fest.
Erläuterung:
In der ersten Zeile stehen die Züge, festgehalten durch die Nummer
des oben sichtbaren Sechsecks.
... ... |
In der zweiten Zeile stehen die Sektoren, in denen sich die Büroklammer
gerade befindet, links erkennt man die Bedeutung der Buchstaben. |
Die dritte Zeile gibt die Verteilung der Blätter auf die Sektoren
an. 1 bedeutet 1+5+1+5+1+5, die Zahl 2 bedeutet 2+4+2+4+2+4.
Anregung: Kennzeichne andere Dreiecke (hier wurde 1/4 gewählt)
mit einer Büroklammer und protokolliere die Züge.
Das ringförmige
Hexahexaflexagon top
Zum Bau legt man zunächst die Dreiecke 6 auf 6, dann 5 auf 5 usw.
Zuletzt werden die beiden verdeckten Dreiecke oben, die ein x tragen müssten,
aufeinandergeklebt.
Öffnet man dieses Flexagon nach Art der Schaukel, so erhält
man der Reihe nach die Oberflächen 123/14/3/125/16/5/123/14/3/...(Eventuell
muss man das Sechseck umdrehen.)
Es wiederholt sich die Folge 123/14/3/125/16/5/. Die Zahlen 2, 3 und
5 kommen in dieser Periode zweimal vor, die Zahlen 4und 6 einmal und die
Zahl 1 viermal.
... ... |
Als mögliche graphische Darstellung dieser Struktur dienen vier
Dreiecke mit einem gemeinsamen Punkt. Die gemeinsamen Linien liegen doppelt.
Man kann die Figur entzerren und erhält eine Figur gebildet aus
vier Dreiecken, die einen gemeinsamen Eckpunkt haben.
Ein Gang durch alle Flächen heißt ein Umlauf um die rechte
Figur. |
Eine weitere Vorlage
top
... ... |
Dieses ist die dritte Form, aus der ein Hexahexaflexagon gebaut werden
kann.
Die Figur hat Aufforderungscharakter ;-). |
Referenz top
(1) Martin Gardner, Mathematical Puzzles & Diversions, New York
1959
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2002 Jürgen Köller
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