Was ist ein Hexahexaflexagon?
Ein Hexahexaflexagon
ist ein Sechseck, das man aus einem Streifen aus gleichseitigen
Dreiecken faltet. Der Gag besteht darin, dass man das Sechseck in der Mitte
öffnen kann. Es erscheinen neue Sechsecke, die vorher verborgen waren.
Insgesamt können sechs verschiedene Flächen oben liegen.
Auf dieser Seite wird das bekannte und interessante Hexahexaflexagon
besprochen.
Dieses ist meine zweite Seite zum Flexagon. Hier geht
es zur ersten Seite Flexagons.
Bau eines
Hexahexaflexagons
top
(1) Zeichne mit Hilfe von Zirkel und Lineal einen Streifen
aus 19 gleichseitigen Dreiecken.
Wähle als Seitenlänge eines Dreiecks 2 cm.
Dann passt der Streifen quer auf ein Blatt DIN A 4. (Verwendet man ein
Blatt DIN A3, so kann man auch 4cm wählen. Dann ist die Herstellung
leichter und das Flexagon robuster.)
(2) Nummeriere die Dreiecke wie folgt. Setze ganz rechts
ein Kreuz.
(3) Zeichne mit Hilfe eines leeren Kugelschreibers die Seiten
der Dreiecke nach, damit man das Papier an diesen Stellen später besser
falten kann.
(4) Schneide den Streifen aus.
(5) Drehe den Streifen um. Nummeriere die rückseitigen
Dreiecke wie angegeben. Setze links ein zweites Kreuz. Hinter 3 liegt x,
hinter 1 liegt 4 usw.. Die beiden angekreuzten Dreiecke werden später
aufeinandergeklebt und werden verschwinden. Knicke das Papier mehrmals
an den Linien zwischen den Dreiecken, damit das Flexagon, wenn es später
zusammengebaut ist, "elastischer" ist.
(6) Falte als erstes einen Streifen aus 10 Dreiecken,
indem du von links nach rechts nacheinander die Dreiecke 4,4 und 5,5 und
6,6 und 4,4 und 5,5 und 6,6 und 4,4 und 5,5 und 6,6 aufeinander legst.
Das läuft darauf hinaus, dass der Ausgangsstreifen spiralförmig
gedreht wird. Am Ende ergibt sich das folgende Bild.
Das ist aber gerade der Streifen des Trihexaflexagons. Deshalb
geht es weiter wie beim ihm. Es folgt die Beschreibung aus meiner Flexagon-Hauptseite.
(7) Falte das Papier so, dass ein Haken entsteht. Dann falte
an der gestrichelten Linie nach hinten. Achte darauf, dass vorne nur 1
und hinten nur 2 steht. Lege dazu die Dreiecke 3 und 3 aufeinander.
(8) Es entsteht ein Sechseck. Dreieck 2 steht noch über.
Es müsste auf der Rückseite ein Kreuz tragen. Klebe die beiden
Dreiecke mit den Kreuzen aufeinander.
Das Hexahexaflexagon ist fertig.
Öffnen eines
Flexagons
top
 |
Das Öffnen ist beim ersten Mal eine knifflige Angelegenheit.
Fasse mit Zeigefinger und Daumen der rechten Hand zwei
Dreiecke von oben. Drücke sie nach unten. Drücke gleichzeitig
mit dem Zeigefinger der linken Hand an der gegenüberliegenden Ecke
des Sechsecks zwei Dreiecke, die eine Raute bilden, weit nach unten zur
räumlichen Achse hin. Das Sechseck lässt sich jetzt oben "wie
eine Blume" öffnen. Es erscheint ein neues Sechseck. |
Für das systematische Öffnen eines Flexagons kann
man zwei Techniken anwenden.
Bei der "Schaukel" hält man die Begrenzungslinie
zweier Dreiecke horizontal und öffnet abwechselnd links und rechts.
Bei der "Tuckerman Traverse" dreht man nach jedem Öffnen das Flexagon
im oder entgegen dem Uhrzeigersinn weiter.
Im Folgenden soll für das Öffnen auch der Name
"Zug" gewählt werden.
Struktur
des linearen Hexahexaflexagons top
Öffnet man dieses Flexagon nach Art der Schaukel,
so erhält man nacheinander drei Sechsecke, z.B. 1/2/3/1/2/3/1/2...
Man muss, um an alle Sechsecke zu gelangen, die Technik
der Schaukel erweitern. Man öffnet auf jeder Seite so lange, bis es
nicht mehr geht. Auf diese Weise erhält man die Reihenfolge 1/236/2/315/3/124/1/236/...Der
Schrägstrich gibt jeweils den Wechsel rechts/links oder links/rechts
an. (Eventuell muss man das Sechseck umdrehen.)
Es wiederholt sich die Folge 1/236/2/315/3/124/. Die
Zahlen 1, 2 und 3 kommen in dieser Periode dreimal vor, die Zahlen 4, 5
und 6 nur einmal.
 |
Als mögliche graphische Darstellung dieser Struktur
dient ein Dreieck mit einem Mittendreieck. Die Mittellinien sind doppelt.
Man kann die Figur entzerren und erhält eine Figur
gebildet aus vier Dreiecken, die gemeinsame Eckpunkte haben. Das ist die
übliche Darstellung aus Gardners Buch.
Ein Gang durch alle Flächen heißt ein Umlauf
um die rechte Figur. |
Dreht man das Sechseck um, so erhält man mit der
Schaukel die Reihenfolge 1/326/3/214/2/135/1/326/...
Wie der Ausgangsstreifen zeigt, besteht das Hexahexaflexagon
aus 18 Dreiecksblättern mit Vorder- und Rückseite, also aus insgesamt
36 Dreiecken. Die Dreiecke zum Kleben zählen nicht.
Zusammengefaltet gibt es zwei Konfigurationen: Entweder
liegen, voneinander getrennt, zwei Blätter übereinander
oder ein einzelnes Blatt. Die Dreiecke haben die Verteilung 1+5+1+5+1+5
oder 2+4+2+4+2+4.
Kennzeichne ein Dreiecksblatt (z.B. Blatt1/4, Sechseck
1 vorne, Sechseck 3 hinten) mit einer Büroklammer.
Wendet man jetzt die Schaukel an, so wandert die Büroklammer
und damit das Dreieck entgegen dem Uhrzeigersinn im Kreis herum, obwohl
man das Flexagon nicht dreht. Nach zwei Runden gelangt die Büroklammer
wieder an die alte Stelle, und zwar nach 36 Zügen. Dabei bleibt das
Dreieck 2x, 3x oder 5x in einem Sektor und dreht sich.
Einzelheiten eines vollen Durchlaufs der Büroklammer
mit 36 Zügen hält das folgende Protokoll fest.
Erläuterung:
In der ersten Zeile stehen die Züge, festgehalten
durch die Nummer des oben sichtbaren Sechsecks.
... ... |
In der zweiten Zeile stehen die Sektoren, in denen sich
die Büroklammer gerade befindet, links erkennt man die Bedeutung der
Buchstaben. |
Die dritte Zeile gibt die Verteilung der Blätter auf
die Sektoren an. 1 bedeutet 1+5+1+5+1+5, die Zahl 2 bedeutet 2+4+2+4+2+4.
Anregung: Kennzeichne andere Dreiecke (hier wurde 1/4
gewählt) mit einer Büroklammer und protokolliere die Züge.
Das
ringförmige Hexahexaflexagon top
Zum Bau legt man zunächst die Dreiecke 6 auf 6, dann
5 auf 5 usw. Zuletzt werden die beiden verdeckten Dreiecke oben, die ein
x tragen müssten, aufeinandergeklebt.
Öffnet man dieses Flexagon nach Art der Schaukel,
so erhält man der Reihe nach die Oberflächen 123/14/3/125/16/5/123/14/3/...(Eventuell
muss man das Sechseck umdrehen.)
Es wiederholt sich die Folge 123/14/3/125/16/5/. Die
Zahlen 2, 3 und 5 kommen in dieser Periode zweimal vor, die Zahlen 4und
6 einmal und die Zahl 1 viermal.
... ... |
Als mögliche graphische Darstellung dieser Struktur
dienen vier Dreiecke mit einem gemeinsamen Punkt. Die gemeinsamen Linien
liegen doppelt. Man kann die Figur entzerren und erhält eine Figur
gebildet
aus vier Dreiecken, die einen gemeinsamen Eckpunkt haben.
Ein Gang durch alle Flächen heißt ein Umlauf
um die rechte Figur. |
Eine weitere Vorlage
top
... ... |
Dieses ist die dritte Form, aus der ein Hexahexaflexagon
gebaut werden kann.
Die Figur hat Aufforderungscharakter ;-). |
Referenz top
(1) Martin Gardner, Mathematical Puzzles & Diversions,
New York 1959
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©
2002 Jürgen Köller
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