Cube One
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Was ist Cube One?
Untersuchung der Oktaeder-Kette
Untersuchung der Tetraeder-Kette
Lösung von Cube One
Cube One im Internet
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Was ist Cube One ?
Cube One ist ein brandneues (2006 geschrieben) Würfel-Puzzle des Grafik-Designers, Malers und Zeichners Dieter A.W. Junker aus Kassel. 

Das Ziel ist es, aus vier 16-gliedrigen Ketten von Dreieckspyramiden (Kaleidozyklen) einen Würfel zu bauen.


Zeichnerisch dargestellt:
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Jeder Kaleidozyklus bildet auch für sich ein Puzzle. Die eine Kette führt zum Tetraeder, die andere zum Oktaeder.
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Die Farben, die ich in den Zeichnungen verwende, entstammen dem Puzzle. 

Untersuchung der Oktaeder-Kette top
Beschreibung der Kette
......
Die Oktaeder-Kette besteht aus 16 kongruenten Dreieckspyramiden. 

Je zwei Pyramiden sind spiegelbildlich zueinander. 


Entstehung der Pyramide Rot/Blau
Die Ecke eines Würfels bildet eine Pyramide, wenn man drei Kantenmitten miteinander verbindet. Legt man durch den Würfel noch eine Schnittebene in Diagonalenrichtung, so wird der Eckenkörper halbiert. Der Halbkörper ist eine Pyramide der Oktaeder-Kette.
Die Lage kann mit in einer Stereo-Zeichnung erkennen:



Wer den Stereoblick nicht beherrscht, kann die Methode des Bildschirm-Ausschaltens versuchen, die ich auf meiner Seite Stereogramm beschreibe. 

Es sei a die Kantenlänge des Würfels. 
Das graue Grunddreieck hat die Seiten a/2 und zweimal sqrt(2)/4*a.
Das hellgraue Dreieck hat die Seiten sqrt(2)/2*a und zweimal a/2.
Das blaue Dreieck hat die Seiten sqrt(2)/2*a, sqrt(2)/4*a und sqrt(6)/4*a.
Das rote Dreieck hat die Seiten a/2, sqrt(2)/4*a und  sqrt(6)/4*a.

Volumen
Die Pyramide hat das kleine graue Dreieck als Grunddreieck und die Höhe a/2.
Das Volumen V1' ist (1/3)*[(1/2)(a/2)*(a/2)/2]*(a/2)=a³/96. 
Die Oktaeder-Kette hat Volumen V1= 16V1' =16a³/96=a³/6. 

Untersuchung der Tetraeder-Kette top
Beschreibung der Kette
...... Die Tetraeder-Kette besteht auch aus 16 Dreieckspyramiden. 

Es gibt zwei verschiedene Sorten, die Pyramide Violett/Gelb und die Pyramide Rot/Orange.

Je zwei Pyramiden sind spiegelbildlich zueinander. 


Entstehung der 1.Pyramide (Violett/Gelb)
Die Pyramiden entstehen, wenn man in einem Würfel gewisse Kantenmitten miteinader verbindet.
Die Lage kann man in einer Stereo-Zeichnung erkennen.


Maße der Pyramide
......
Es sei a die Kantenlänge des Würfels. 
Das große graue Dreieck hat die Seiten a und zweimal sqrt(2)/2*a.
Das gelbe Dreieck hat die Seiten a und zweimal sqrt(6)/4*a.
Die violetten Dreiecke sind kongruent und haben die Seiten sqrt(2)/2*a, sqrt(2)/4*a und sqrt(6)/4*a.

Volumen
Die Pyramide hat das gelbe Dreieck als Grunddreieck und die Höhe sqrt(6)/4*a.
Das Volumen V21'  ist (1/3)*[(a/2)*(sqrt(2)/4*a]*(sqrt(2)/4*a)=a³/48.

Entstehung der 2.Pyramide (Rot/Orange)
Die Pyramiden entstehen, wenn man in einem Würfel gewisse Kantenmitten miteinader verbindet.
Die Lage kann man wieder in einer Stereo-Zeichnung erkennen.



Maße der Pyramide
......
Es sei a die Kantenlänge des Würfels. 
Das Dreieck in der Mitte ist gleichseitig und hat die Seite sqrt(2)/2*a.
Das rote Dreieck unten hat die Seiten sqrt(2)/2*a und zweimal sqrt(6)/4*a.
Die beiden orangefarbenen Dreiecke sind kongruent und haben die Seiten sqrt(2)/2*a, sqrt(2)/4*a und sqrt(6)/4*a.

Volumen
Die Pyramide hat das rote Dreieck unten als Grunddreieck und die Höhe sqrt(2)/4*a. 
Das Volumen V22' ist (1/3)*[(a/2)*(sqrt(2)/4*a]*(sqrt(2)/4*a)=a³/48.

Volumen der Tetraeder-Kette
Die Tetraederkette besteht aus acht  Pyramiden Violett/Gelb und acht Pyramiden Rot/Orange. 
Damit gilt für das Volumen: V2=8*V21' + 8V22' = 8a³/48+8a³/48=a³/3.

Aufteilung des Würfels 
Das Volumen V des Würfels verteilt sich auf die einzelnen Ketten wie folgt. 

V/6

V/6

V/3

V/3

Lösung von Cube One 
Erster Schritt
...... Man legt die Oktaederkette so wie links dargestellt auf eine ebene Fläche und schiebt gegenüberliegende Pyramidenpaare so zusammen, dass sich rote Flächen berühren. 
Es entsteht ein aufgeklapptes Oktaeder wie in den nächsten 3D-Bildern dargestellt.


durchsichtig


Diese Figur legt man in den durchsichtigen, oben offenen Plastikwürfel, der zum Lieferumfang des Puzzles gehört. 



Zweiter Schritt
...... Man legt die Tetraeder-Kette so wie links dargestellt auf den Tisch. 
Ziel ist die "Krone". Das ist bei den ersten Malen etwas knifflig.

Dabei achtet man nur auf die acht gelben Dreiecke. Die vier Dreiecke oben und unten werden zu äußeren Kanten der Krone. Die gelben Dreiecke rechts und links liegen innen fast aufeinander.
Dazu muss man die Kette in sich drehen. Das geht nur mit leichter Gewalt.


durchsichtig



undurchsichtig und gefärbt


Die Krone legt man auf die Oktaederkette in den Würfel. 


Dritter Schritt
Aus der Tetraederkette bildet man eine zweite Krone und stülpt sie auf die erste.



Vierter Schritt
Man schließt den Würfel mit einem zweiten aufgeklappten Oktaeder.


Zweite Lösung
Nach Angabe des Erfinders gibt es noch eine weitere Lösung. Der fertige Würfel hat dann folgendes Aussehen. 



Mehr über Kaleidozyklen findet man an anderen Stellen meiner Homepage: Kaleidozyklen, The Shinsei Miracle

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Dieter A.W. Junker
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©  2006 Jürgen Köller

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