Dreiteilung eines Winkels
Inhalt dieser Webseite
Was ist die Dreiteilung eines Winkels? 
Teilung des rechten Winkels
Unmöglichkeitsnachweis
Konstruierbare Dreiteilungen
Näherungskonstruktion
Die Methode des Archimedes
Halbkreisgerät
Weitere klassische Probleme
Dreiteilung von Figuren
Dreiteilung von Körpern
Dreiteilung des Winkels im Internet.
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist die Dreiteilung eines Winkels? 
...... Das Problem der Teilung eines Winkels in drei gleich große Teilwinkel gehört zu den bekannten Problemen der antiken Mathematik, wenn man noch hinzufügt  ...zu ermitteln allein mit Zirkel und Lineal

Es ist gelöst in der Weise, dass die Dreiteilung unmöglich ist.


Man bezeichnet das Zeichnen mit Zirkel und Lineal als Konstruieren.  Es geht also um die Konstruktion der Dreiteilung.

Dazu findet man auf dieser Seite einige Überlegungen. 
Außerdem werde ich, das ist naheliegend, am Ende auf die Dreiteilung von Figuren und Körpern eingehen.

Teilung des rechten Winkels top
...... Wenn oben steht, dass die Dreiteilung eines Winkels unmöglich ist, so ist der allgemeine Winkel gemeint. Es gibt Sonderfälle, für die es Konstruktionen gibt. 

Man denke nur an den rechten Winkel von 90°. Man konstruiert einen Winkel von 30°, indem man über der Strecke AB ein gleichseitiges Dreieck errichtet. 
Errichtet man über AC ein gleichseitiges Dreieck, erhält man die andere "Winkelteilende".


Unmöglichkeitsnachweis top
Zeichnung
Der Nachweis, dass eine Konstruktion nicht möglich ist, erfolgt über die Berechnung einer Strecke. 
Quelle: (1) Seite 5
... Grundlage für die Rechnung ist die nebenstehende Figur.


... Die Figur wird beschriftet.

Der gegebene Winkel sei BSA. Er wird durch die Strecke a bestimmt, cos(alpha)=a.

SK drittelt den Winkel. Der gesuchte Drittelwinkel wird durch die Strecke x/2 bestimmt, cos(alpha/3)=x/2.
 

Rechnung
Die Dreiecke SKB und BCK sind ähnlich: 
>Sie haben den Winkel SKB gemeinsam. 
>Das rote Dreieck SK'K ist dem halben Dreieck von SKB kongruent. Es gilt Winkel SKK' gleich Winkel SBK.
Als Wechselwinkel an Parallelen sind die Winkel K'KS, Winkel BCK gleich.
Also sind die Dreiecke SKB und BCK gleichschenklig.
Gleichschenklige Dreiecke mit einem gleichen Winkel sind ähnlich.

Es gilt dann z:y=y:1 oder (I) z=y².
>Es gilt der erste Strahlensatz: SC:SK=SC':SK' oder (II) (1-z):1=a:(x/2).
>Es gilt nach dem Satz des Pythagoras im Dreieck SKK': (III) (x/2)²+(y/2)²=1.
Das sind drei Gleichungen in der Variablen x, y und z, aus denen x bestimmt werden soll.

(I) z=y²
(II) (1-z):1=a:(x/2) ergibt 1-z=2a/x oder z=1-2a/x

Daraus folgt y²=1-2a/x.
(III) (x/2)²+(y/2)²=1 führt zu y²=4-x²

Die Variable y wird eliminiert. Das ergibt 1-2a/x=4-x² oder x³-3x-2a=0.


Sonderfall
Ist a=0, so wird aus der Gleichung  x³-3x-2a=0 die einfache Gleichung  x³-3x=0 mit den Lösungen x1=0, x2=+sqrt(3) und  x2=-sqrt(3). 
Von Interesse ist x2=+sqrt(3). Dann ist cos(alpha/3)=x2/2 oder cos(alpha/3)=+sqrt(3)/2 oder alpha/3=30°.
Das passt zu a=0. Denn nach der Zeichnung ist für a=0 der Winkel alpha=90°. 

Ergebnis
Für beliebige Variable a ist x die Lösung einer kubischen Gleichung x³-3x-2a=0, also eine Wurzel dritten Grades.
Dann kann x und damit alpha/3 nicht durch eine Konstruktion gefunden werden. 
Das kann man einsehen, wenn man bedenkt, dass beim Konstruieren nur Geraden und Kreise und ihre Schnittpunkte ermittelt werden und dass dahinter lineare und quadratische Gleichungen stehen, die nie zu dritten Wurzeln führen, sondern zu quadratischen.

Konstruierbare Dreiteilungen top
Welche Winkel kann man mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teilwinkel zerlegen? 
Dazu sollte man sich zunächst einmal eine Übersicht über die konstruierbaren Winkel verschaffen. 
>Der rechte Winkel 90° wurde schon oben genannt. 
>Das gleichseitige Dreieck liefert den Winkel 60°. 
>Das Fünfeck ist konstruierbar und hat das Grunddreieck 54°-72°-54°.
Von diesen vier Winkeln aus gelangt man zu weiteren, denn das Halbieren, das Verdoppeln, das Addieren und  Subtrahieren kann durch Konstruktionen erreicht werden.


Ausgangswinkel sind also 90°, 60°, 54° und 72°. 
Halbiert man den Winkel von 72° zweimal, gelangt man zu 18°.
Halbiert man den Winkel von 60° zweimal, gelangt man zu 15°.
Der Differenz 18°-15°=3° ist also ein Winkel, der konstruiert werden kann, damit auch alle Vielfachen des Winkels von 3°. Das sind die Winkel 3°, 6°, 9°, ..., 87°, 90°.

Bildet man die Winkel mit dreifacher Winkelgröße, gelangt man zu Winkeln, die man dreiteilen kann. Das sind die Winkel 9°, 18°, 27°, 36°, 45°, 54°, 63°, 72°, 81° und wie gehabt 90°. 
Damit wird nicht behauptet, dass dieses alle Winkel sind. Es gibt unendlich viele.

Zu einem Winkel gibt es eine Strecke, die ihn charakterisiert. Sie ist z.B. in einem rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete, wenn die Hypotenuse gleich 1 ist. Das führt zur Sinusfunktion. 
Der folgende Term zu 3° steht auf der Wikipedia-Seite Exact trigonometric constants.
Wie oben gesagt, schlägt sich die Konstruierbarkeit in einem quadratischen Term nieder. 

Näherungskonstruktion für kleine Winkel        top
...... Teilt man die dem 60°-Winkel gegenüberliegende Seite in drei gleiche Teile und verbindet die Teilpunkte mit dem Scheitel des Winkels, so entstehen drei Winkel von etwa 20°, wie man durch Nachmessen bestätigen kann. 
Offenbar kann man die Methode auf beliebige Winkel erweitern, indem man vom Scheitelpunkt aus auf den Schenkeln zwei gleiche Strecken abträgt und die Verbindungslinie der Endpunkte wieder in drei gleiche Teile teilt.


Diese Methode führt nicht zu einer genauen Drittelung eines Winkels. 
...... Das zeigt die Teilung des rechten Winkels. Durch Nachmessen stellt man fest, dass die Winkel von 30° weit entfernt sind.  - Legt man auf die Figur ein Gitter, so kann man tan(beta)=1/2 und tan(beta'/2)=1/3 ablesen. Das führt zu den Winkeln beta=26,6° und beta'=36,9°.

Auskunft über die Genauigkeit gibt die folgende mit Computerhilfe erstellte Tabelle. 
alpha 
alpha/3 
beta 
Abweichung
10°
3,3°
3,3°
0,1%
20°
6,7°
6,6°
0,3%
30°
10°
9,9°
0,5%
40°
13,3°
13,1°
1,9%
50°
16,7°
16,2°
3,0%
60°
20°
19,1°
4,5%
70°
23,3°
21,9°
6,3%
80°
26,7°
24,4°
8,6%
90°
30°
26,6°
11,5%
...... Die zugehörige Rechnung geht zweimal vom Kosinussatz und vom Sinussatz aus. 
> s²=2-2cos(alpha) 
>r²=1+(s/3)²-(2/3)s*cos[(pi-alpha)/2]
>sin(beta) : sin[(pi-alpha)/2] = (s/3) :

Ergebnis: Diese einfache Methode wird umso genauer, je kleiner der zu teilende Winkel ist. 

Variation
...... Nach einer Idee von Hugo Steinhaus (3, Seite 264) kann man dieses Verfahren verfeinern. Man halbiert zuerst den gegebenen Winkel und teilt den halben Winkel wie oben in drei Teile. Der Winkel beta+beta' ist angenähert alpha/3. - Die Raffinesse liegt darin, dass der Teilwinkel beta etwas kleiner und beta' etwas größer als (alpha/2)/3 sind. So ist diese Methode genauer als die von oben. 

Die Methode des Archimedes top
Figur
... In der Figur aus zwei gleichschenkligen Dreiecken und einem Halbkreis treten die Winkel alpha und 3*alpha auf. 
Sie dient dazu, einen Winkel zu dritteln.


Beweis der Winkelbeziehung
...... Die beiden Dreiecke DME und BEM sind gleichschenklig, da die Schenkel gleich dem Radius des Halbkreises sind. 
Da der Außenwinkel gleich der Summe der nicht anliegenden Innenwinkel in einem Dreiecks ist, ergeben sich im linken Dreieck 2*alpha und weiter im rechten Dreieck 3*alpha als Außenwinkel.

Zeichnung
1 Zeichne den gegeben Winkel 3*alpha und einen Kreis um den Scheitelpunkt mit einem beliebigen Radius.
2 Markiere auf einem Papierstreifen eine Strecke der Länge r und passe r zwischen Horizontaler und Kreis außen so ein, dass die Kante des Streifens auch durch B verläuft.
3 Der Winkel MDB ist der gesuchte Winkel alpha/3.

Ergebnis
Da als Hilfsmittel ein präparierter Papierstreifen verwendet wird, ist die Zeichnung zwar exakt, aber keine Konstruktion.

Halbkreisgerät   top
Statt des Papierstreifens steht auch eine Kuriosität, das Halbkreisgerät ("Tomahawk"), zur Verfügung.
...... Die Funktionsweise erklärt sich aus der Zeichnung. 
Man passt das Gerät im Winkel ein und zeichnet eine Halbgerade entlang des Lineals. 

Dann dreht man es um und erhält eine zweite Halbgerade.

Die Halbgeraden dritteln den Winkel.
 


Weitere klassische Probleme top
Die Dreiteilung eines Winkels gehört zu den antiken Problemen, von denen man weiß, dass sie nicht lösbar sind.
Ich gehe auf andere an anderen Stellen meiner Homepage ein.
>Die Dreiteilung des Winkels 
>Die Verdoppelung des Würfels
>Die Quadratur des Kreises
Man könnte noch die Konstruktion vieler regelmäßiger Vielecke hinzufügen. 


Liest ein mathematisch Interessierter von den Unmöglichkeiten der Konstruktionen, so ist es für ihn verführerisch, es studierten Mathematikern zu zeigen, dass es doch geht. Nach etlichen Kontakten in den zehn Jahren meiner Internetpräsenz habe ich erfahren müssen, dass es sie gibt und dass man nichts ausrichten kann

Dreiteilung von Figuren top
Damit ist nicht gemeint, dass die Teilfiguren unbedingt kongruent sein müssen. Es reicht die Flächengleichheit.
Strecke
... 1 Die gegebene Strecke sei AB.
2 Trage auf einer Geraden durch A dreimal die beliebige Strecke x ab. Du erhältst C.
3 Verbinde C mit B.
4 Zeichne durch die Teilpunkte auf AC die Parallelen zu BC.
Du erhältst die Teilpunkte T und T', die die Strecke AB dritteln. 
Die Begründung liegt im ersten Strahlensatz.


Quadrat

x=(1/3)a

x=(1/6)a

x=(1/3)sqrt(3)a

x=(1/6)a


x = (1/3)a

x = (2/3)a

x = (1/3)sqrt(6)a

x:y:a = sqrt(6) : sqrt(3) : 3

Kreis

Gleichseitiges Dreieck

Gleichschenkliges Trapez, Sechseck, 45-90-45-Dreieck

Die Figuren haben ein Merkmal gemeinsam: Man gibt eine Drittelfigur vor und halbiert dann die Restfigur. Das führt zu einem Paar kongruenter Teilfiguren. In einigen Fällen sind alle Teilfiguren kongruent. 

Dreiteilung von Körpern top
Man kann die Figuren oben zu Prismen bzw. Zylindern ergänzen, indem man die Figuren zu ihren Grundflächen macht.


Prismen
...... Als Beispiel dient die Aufteilung in ein Quadrat und zwei rechtwinklige Trapeze, die zu einem Würfel ergänzt werden.

Würfel
...... Man kann das Quadrat auch zu einem Würfel werden lassen. Dann ergibt sich die nebenstehende Aufteilung in 3D-Ansicht.

Es gilt x³=(1/3)a³ oder x=(1/3)*3^(2/3)a oder ungefähr x=0,69a


Zylinder oder Kugel
...... Man kann die nebenstehende Figur in zweierlei Weise dreidimensional deuten. 

Sie kann einen Zylinder oder eine Kugel darstellen, die in drei gleiche Teilkörper aufgeteilt sind. 


Pyramiden im Würfel
...... Drei Pyramiden gleicher Grundfläche, gleicher Höhe und damit gleichen Volumens passen in einen Würfel. 

So kann man den Faktor 1/3 in der Volumenformel der Pyramide einsehen. 

Das ist eine 3D-Ansicht.

...... Zeichnet man die Raumdiagonalen eines Würfels, so teilen diese ihn in sechs quadratische Pyramiden. Setzt man zwei Pyramiden mit einer gemeinsamen Seitenfläche zu einem neuen Körper zusammen, so erhält man eine Dreiteilung in kongruente Körper. 
Rechts werden der Klarheit halber nur die Grundflächen der Pyramiden gelb gekennzeichnet.



Eine Fundgrube

Dreiteilung des Winkels im Internet    top

Deutsch

Jutta Gut
Die Dreiteilung des Winkels

Matroids Matheplanet
syn: Winkeldreiteilung und der Satz von Haga,  Florian Modler:  Der Schmetterling und der Satz von Morley

Wikipedia
Dreiteilung des Winkels, Klassische Probleme der antiken Mathematik
Morley-Dreieck
Eigene Zeichnung:


Englisch

Alexander Bogomolny  (Cut The Knot)
Angle Trisection by Archimedes of Syracuse, Angle Bisector

Eric W. Weisstein  (MathWorld) 
Angle Trisection

H. A. Verrill 
Origami Trisection of an angle

Jim Loy
Trisection of an Angle

Wikipedia
Angle trisection, Exact trigonometric constants, Morley's trisector theorem


Referenzen    top
(1) W. Breidenbach: Die Dreiteilung des Winkels, Leipzig 1933 
(2) Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York, London 1997 (ISBN0-393-04002-X) 
Seite 423 ff.
(3) Martin Gardner: Mathematischer Karneval , Ullstein Berlin-FrankfurtMain-Wien, 1975 (ISBN 3 550 07675 4)


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©  2009 Jürgen Köller

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