Stern

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Was ist ein Stern?
Erzeugung von Sternen
Basteln von Sternen
Pentagramm
Hexagramm

Sterne fern und nah
Zwei Quilts von Karen Koeller
Sterne im Internet
Referenzen
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Was ist ein Stern?

...... Nach dem Lexikon hat das Wort "Stern" die Bedeutungen
>ein "Himmelskörper"
>"etwas, das nach allen Seiten Strahlen aussendet"
>"eine neue Berühmtheit"
>ein "Gegenstand mit regelmäßigen Zacken rundum". (Brockhaus 1975). - Dieser Stern ist gemeint.

Der Stern oben ist ein regelmäßiges Sechseck, auf dessen Seiten sechs gleichseitige Dreiecke sitzen.

Man kann allgemein definieren:
Ein Stern ist eine Figur, die aus einem Vieleck besteht, auf dessen Seiten Dreiecke gesetzt werden. Die Dreiecke heißen Zacken.

Erzeugung von Sternen top
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten Sterne zu erzeugen.

1.Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck vor und setzt auf die Seiten gleichseitige Dreiecke.

Diese Prozedur führt bei einem Dreieck als Ausgangsfigur nicht zu einem Stern.

2. Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck vor und spiegelt die Grunddreiecke der Vielecke an einer Seite.

Diese Prozedur führt bei Drei- und Vierecken nicht zu Sternen.

3. Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck mit n Ecken vor und dreht es um 180/n. Ursprung und Bild bilden zusammen einen Stern.

4. Möglichkeit:
Man gibt ein Vieleck vor und zeichnet bestimmte Diagonalen. Sie bilden dann Sterne. Speziell regelmäßige Vielecke führen zu Sternen mit vielfältiger Symmetrie. Das Pentagramm und das Hexagramm unten sind Beispiele.

5. Möglichkeit:
Man gibt ein regelmäßiges Vieleck vor und setzt auf die Seiten gleichschenklige Dreiecke, die eine große Höhe verglichen mit der Grundseite haben. Das Vieleck, das die Zacken trägt, kann auch zu einem Kreis ausarten (ganz rechts).

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Es entstehen ansehnliche Sterne. Man erwartet offenbar, dass Sterne spitze Zacken haben.

6. Möglichkeit:
Man gibt ein beliebiges Vieleck vor und setzt auf die Seiten beliebige Dreiecke.

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Dieser Stern ist dem Logo der Zeitschrift "Stern" nachempfunden.

HMATISSE

Basteln von Sternen top

Der Stern ist für den Bastler ein beliebtes Thema mit einer Unzahl von Variationen.
Ich stelle die folgenden beiden Sterne vor.

Stern als Scherenschnitt
Fröbelstern

Der erste achtzackige Stern entsteht durch einen Scherenschnitt.

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Man faltet ein quadratisches Blatt Papier immer wieder längs der roten Linie, bis Bild 5 entsteht. Dann schneidet man Stücke längs der blauen Linien mit einer kräftigen Küchenschere ab. Es entsteht Bild 6. Durch Entfalten ergibt sich der Stern.

Dieser Stern kann vielfältig abgewandelt werden. Man schneidet nicht einfach einen Keil heraus, sondern wählt andere Formen oder lässt Stege stehen. - Man kann auch schwarzes Tonpapier verwenden und die Öffnungen mit farbigem Seidenpapier schließen. Dann entstehen Fensterbilder.

Der zweite Stern ist der Fröbelstern, der kunstvoll aus vier Streifen geflochten wird. Er wird an anderer Stelle erklärt.

Pentagramm top
Das Pentagramm ist zweifellos der Star unter den Sternen (Entschuldigung, ein Kalauer). Er heißt auch Drudenfuß oder Hexenstern.

...... Er entsteht, wenn man in einem regelmäßigen Fünfeck (rot) alle Diagonalen einzeichnet.

Welche mathematischen Zusammenhänge tauchen auf?

...... Im Grunddreieck ABC des regelmäßigen Fünfecks ist der Mittelpunktswinkel gleich 360°/5 = 72°.
Damit sind die beiden Basiswinkel gleich 54°. Der Innenwinkel des Fünfecks ist dann gleich 108°.

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Nimmt man an, dass das kleine Fünfeck im Inneren des Pentagramms auch regelmäßig ist, so ist der gekennzeichnete Scheitelwinkel gleich 108°. Der Zacken ist ein gleichschenkliges 72-36-72-Dreieck.
Unten liegt schräg ein zweites kleineres 72-36-72-Dreieck.

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Die beiden gelben Dreiecke sind wegen entsprechender, gleicher Winkel einander ähnlich. So gelangt man im Folgenden zu Formeln.

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Wegen der Ähnlichkeit der gelben Dreiecke gilt PQ:QS=QS:QR oder a:x=x:(a-x).
Diese Gleichung kann auf die Strecke PQ und den Teilungspunkt R bezogen werden. Die ganze Strecke verhält sich zum größeren Abschnitt wie dieser größere Abschnitt zum kleineren. Man kann auch sagen: Der größere Abschnitt ist die mittlere Proportionale des ganzen und des kleineren Abschnitts, in Formeln x=sqrt[a(a-x)].

Man sagt: In einem regelmäßigen Fünfeck schneiden sich die Diagonalen im Goldenen Schnitt. Das Teilungsverhältnis kann aus der Proportion a:x=x:(a-x) berechnet werden. Nach der Produktengleichung ist a(a-x)=x². Dann ist x²+ax-a²=0. Löst man diese quadratische Gleichung auf, so ergibt sich als positive Lösung x:a =1/2*sqr(5)-1/2. Das ist ungefähr 0,62.
(Referenz für diese Rechnung: Joachim Mohr, URL unten)

Das Pentagramm heißt auch Drudenfuß oder Hexenstern. Das ist ein Hinweis auf eine bestimmte Thematik, die man im Internet gut erforschen kann. Ich empfehle das Bilderverzeichnis von google.com mit dem Suchwort "pentagramm" bzw. "pentagram". Man kommt sich allerdings manchmal so vor, als habe man sich ins Mittelalter verirrt. (Das gilt auch für das Hexagramm im nächsten Abschnitt.)

Mein Beitrag wäre: Ich habe in den fünfziger Jahren auf einem Bauernhof an der Tür des kombinierten Pferde-/Kuhstalls ein Pentagramm gesehen. Es sollte Krankheiten vom Vieh fernhalten.

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Man kann das Pentagramm oder Sterne mit 7, 9 , ... Zacken mit etwas Übung aus freier Hand zeichnen, ohne den Stift abzusetzen.

Damit habe ich schon öfter Eindruck gemacht :-).

Hexagramm top
Ein zweiter Stern, der es verdient hervorgehoben zu werden, ist das Hexagramm. Er heißt auch Davidstern oder das Siegel Salomos.

...... Das Hexagramm besteht aus gleichseitigen Dreiecken und gehört damit zu den Polyiamonds.

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Man kann das Hexagramm auch als eine Figur ansehen, die aus zwei gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. Ein Dreieck steht auf dem Kopf.

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Etwas Nostalgie:
Früher waren Salmiakpastillen in Rautenform in Mode. Man feuchtete den (sauberen?) Handrücken an und legte aus sechs Pastillen einen Stern. Dann leckte man die Pastillen weg.

Zwei Quilts von Karen Koeller top

Sterne fern und nah top
fern
Viele Nationen haben in ihren Nationalflaggen einen oder mehrere Sterne. Hier ist eine kleine Auswahl:

nah
In Lippe gibt es noch viele Fachwerkhäuser mit einem großen Deelentor, durch das früher ein Pferdewagen in das Haus fahren konnte. Über dem Tor befindet sich im allgemeinen eine Hausinschrift, seitlich daneben oder darunter der Stern von Burg Sternberg (hier siebenzackig) und auf der anderen Seite die sternförmige lippische Rose.

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Oben als ein Beispiel ein Haus auf Gut Hovedissen in Leopoldshöhe, Kreis Lippe.

Ein Unikum befindet sich im Stadtwappen der Stadt Barntrup in Lippe (rechts). "Der halbe Stern erinnert an die Gründung der Stadt durch die Grafen zu Sternberg. Die halbe lippische Rose wurde von der Stadt nach dem Übergang der Grafschaft Sternberg an die Herrschaft Lippe in das städtische Siegel übernommen."
Quelle: http://www.lippe.de/new/allgemein/show.php3?s=3&n=wappen

Stern und Rose findet man auch am historischen Rathaus von 1546 meiner Heimatstadt Bad Salzuflen.

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Die lippische Rose befindet sich übrigens, wenn auch klein, auf der Flagge des Landes Nordrhein-Westfalen.

Das war eine Folge des Anschlusses des Landes Lippe an NRW nach dem zweiten Weltkrieg.

Sterne im Internet top

Deutsch:

Birgit Bachmann und Stefan R. Müller (Blinde Kuh)
Weihnachtsbasteln (u.a. Sterne aus Papier, Siebenzackiger Stern, Schneesterne, Drachensterne, Faltsterne, Plastischer vierzackiger Stern, Einfacher Faltstern)

GardenStone
Das Hexagramm, .pdf-Datei

Jadu
Der Herrnhuter Stern

Joachim Mohr
Die stetige Teilung oder der goldene Schnitt und die Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks

Martin Marheinecke
Das Pentagramm, die Pythagoreer und der Goldene Schnitt

origamiseiten.de
Bildergalerie nachgefalteter Modelle (Sterne)

S. Goette
Reguläre Polytope

Wikipedia
Stern (Geometrie)

Englisch:

BETSY ROSS
How to Cut a 5-Pointed Star in One Snip

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Star Polygon, Kepler-Poinsot Solid

Harvey D. Heinz
Magic Stars

Herman.Serras
The four regular non-convex polyhedra