Was ist ein Kaleidozyklus?
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K1
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Im einfachsten Falle versteht man unter einem Kaleidozyklus einen Ring
aus einer geraden Anzahl von Tetraedern. (Tetraeder
sind Pyramiden mit gleich langen Kanten und gleichseitigen Dreiecken als
Seitenflächen.)
Die Tetraeder sind an je zwei gegenüberliegenden Kanten verbunden.
Diese Kanten sind windschief und verlaufen senkrecht zueinander.
Das Besondere ist, dass man diesen Ring ohne Ende in sich drehen kann
und dass sich dabei jede Pyramide von allen Seiten zeigt. |
Es gibt beliebig viele Kaleidozyklen. Die Tetraeder werden dann meist
zu Dreieckspyramiden.
Auf dieser Seite werden der Reihe nach besondere Kaleidozyklen vorgestellt
und beschrieben.
Sie werden mit K1 bis K14 bezeichnet.
Der Ring aus acht Tetraedern
top
K2
Im einfachsten Falle
besteht der Ring aus acht Tetraedern.
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In der linken Zeichnung wird die Momentaufnahme eines Ringes dargestellt,
in der gemeinsame Kanten horizontal oder vertikal im Raum stehen.
In der rechten Zeichnung wird ein Horizontalschnitt durch die Mitte
des Ringes gelegt. a ist die Kante eines Tetraeders, h ist die Höhe
eines Seitendreiecks.
Es gilt h=sqrt(3)/2*a.
Das gestrichelte Quadrat ist die Grundlage des Ringes. |
... ... |
Bau des Ringes
Man kann den Ring ohne große Schwierigkeiten aus Papier falten.
Man stellt aus Papier acht Tetraeder einzeln her und klebt sie mit Tesafilm
aneinander. Das ist einfach, aber mühsam.
Das ist übrigens für die Schule interessant als Gemeinschaftsarbeit
in einer Klasse.
Es ist geschickter, ein Netz des Ringes zu entwerfen. Dann wird das
Falten allerdings etwas knifflig. Aber keine Angst!
(1) Man zeichnet mit Zirkel und Lineal die obenstehende Figur aus gleichseitigen
Dreiecken. Die Nummerierung und die Kennzeichnung der Klebestellen mit
x dienen nur der Erklärung.
Mit einer Seitenlänge eines Dreiecks von 2,5 cm passt die Figur
auf ein Blatt DINA4.
(2) Man schneidet die Figur aus.
(3) Damit man das Papier später gut falten kann, muss man alle
Linien mit einem leergeschriebenen Kugelschreiber nachziehen und nach oben
und unten vorknicken.
(4) Man formt zunächst die Tetraeder 1111 und 2222 gleichzeitig.
Die Dreiecke xx oben und die Dreiecke 12 unten klebt man zusammen.
(5) In der gleichen Weise verfährt man mit den Paaren 3333/4444,
5555/6666 und 7777/8888 in dieser Reihenfolge.
(6) Zum Schluss schließt man den Ring, indem man die Dreiecke
88 links und xx rechts zusammenklebt.
Will man Ringe mit 10,12,14, ... Tetraedern basteln, muss man weitere
Streifen einschieben.
Geschlossener
Ring aus sechs Dreieckspyramiden top
K3
Versucht man, sechs Tetraeder ringförmig anzuordnen, so reicht es
nicht zu einem drehbaren Ring (Bild links). Man muss die Tetraeder strecken,
damit ein Ring zustande kommt. Der Grenzfall ist ein regelmäßiges
Sechseck die Querschnittfläche (Bild Mitte). Das führt zum Ring
rechts.
Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten b, a und a/2.
Nach dem Satz des Pythagoras ist b²=a²+(a/2)² oder b=sqrt(5)/2*a.
Aus den Tetraedern werden Dreieckspyramiden.
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Die Tetraeder bestehen dann nicht mehr aus gleichseitigen, sondern
aus gleichschenkligen Dreiecken. Das Verhältnis des Schenkels zur
Grundseite ist gleich
b : a = 1,12 : 1. |
Bastelvorlage
M.C.Escher Kaleidozyklen
top
.. ... |
In dem unten genannten Buch (1) wird ein Ring aus gestreckten oder
gestauchten Tetraedern "der Kaleidozyklus" (Mehrzahl die
Kaleidozyklen) genannt. Wegen der weltweiten Verbreitung des Buches hat
sich dieser Name durchgesetzt.
Das Buch enthält Bastelvorlagen und -anleitungen für 14 Körper,
darunter auch für etliche Ringe. |
Die Körper werden mit Motiven aus Bildern des holländischen Malers
M.C.Escher geschmückt und werden dadurch originell und ansehnlich.
Die geschlossenen Kaleidozyklen sind besonders faszinierend, da die
Rotation durch die Mitte mit viel Bewegung verbunden ist. Die Mitte wird
regelmäßig geöffnet und geschlossen.
Geschlossener
Ring aus acht Dreieckspyramiden top
K4
| ...... |
Wenn der Ring aus acht Tetraedern von oben kein Loch mehr haben soll,
muss man die Tetraeder so in der Form verändern, dass das Loch wie
im rechten Bild geschlossen wird.
Das führt zu einem Quadrat als Querschnittfläche. Man muss
sich den Ring so vorstellen, dass in den Seitenmitten des Quadrates Kanten
der Länge a senkrecht zur Zeichenebene liegen, so auch in Punkt P. |
 ...... |
... ...E |
Klappt man in P die Kante a in die Zeichenebene, so ergibt sich ein
rechtwinkliges Dreieck, in dem man die Kante b der Pyramide berechnen kann.
Es gilt b²=(a/2)²+h². Mit h=sqrt(2)/2*a ergibt sich b=[sqrt(3)/2]a. |
Aus dem gleichseitigen Dreieck des Tetraeders
wird ein gleichschenkliges Dreieck.
Das Verhältnis des Schenkels zur Grundseite ist gleich b :
a = =0,87 : 1.
Bastelvorlage
Die Vorlage für einen geschlossenen
Ring aus 10 Pyramiden
K10 findet man auf der
Seite von Peupleur (Le Forum en Papier).
Der umstülpbare Würfel
top
...
K5
Herstellung
(1) Zeichne ein gleichseitiges Dreieck mit ihren Mittellinien (z.B. a=5cm)
(2) Spiegele ein Teildreieck an einer Seite.
(3) Errichte auf der Hypotenuse des gespiegelten Dreiecks ein Rechteck.
Die markierten Strecken sind gleich.
(4) Setze an das Rechteck das Teildreieck an. Die kleinere Kathete
liegt unten.
(5) Wiederhole diese Prozedur 5x. Aus den vier rechtwinkligen Dreiecken
wird eine Pyramide gefaltet.
(6) Bilde eine Reihe und bringe an die Dreiecke Klebestreifen an, um
die Pyramiden zu bauen und den Ring zu schließen.
Bastelvorlage
Ergebnis:
Es ist ein Kaleidozyklus aus sechs Pyramiden mit einem dreieckigen
Loch entstanden. Das Dreieck ist gleichseitig.
Beschreibung
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Die Pyramiden stehen entweder auf einem gleichseitigen Dreieck oder
dem Rand eines regelmäßigen Sechsecks.
Vier Stellungen sind während des Drehens nach innen bemerkenswert:
(1) Sechs Dreiecke der Pyramiden liegen in einer Ebene. Sie erzeugen
vorne ein hohles Sechseck.
(2) Man dreht weiter. Hinten bildet sich das gleiche ebene Sechseck.
(3) Dann bilden sechs Dreiecke hinten ein ebenes Dreieck.
(4) Vorne entsteht danach ein ebenes Dreieck. |
Dieser Kaleidozyklus ist bekannt geworden als "umstülpbarer Würfelgürtel
nach Paul Schatz".
Es liegt nahe, den Namen Würfelgürtel
auf das bekannte Sechseck im Würfel zurückzuführen. Es gelingt
auch Dreiecksseiten innen und außen zu erkennen. Aber die Pyramiden
selbst kann ich auf diese Weise nicht in Beziehung zum Würfel setzen.
Wer den Stereoblick beherrscht, sieht sechs Grundflächen der Pyramiden
im Sechseck liegen.
Der Name Würfelgürtel ist so zu erklären.
Man kann den Ring so drehen, dass die rechten Winkel der Dreiecke Würfelecken
bilden:
Man erkennt die sechs Pyramiden des Ringes, die allerdings den Würfel
nur zu einem Drittel ausfüllen.
Rechnung dazu
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Eine Pyramide wird aus jeweils vier Teildreiecken des gleichseitigen
Dreiecks gebildet. Ein Dreieck hat die Seiten a/2, h/3 und 2h/3, wobei
die Höhe h des Dreiecks gleich h=[sqrt(3)/2]a ist.
Der Würfel hat dann die Kantenlänge a/2 und damit das Volumen
V'=a³/8.
Die Pyramiden haben zusammen das Volumen 6*(1/3)*Grundfläche*Höhe.
Das heißt hier V=6(1/3)[(1/2)(a/2)(h/3)][h/3]=(1/24)a³.
Also gilt V=V'/3. |
Will man den Würfel zu einem Vollwürfel
ergänzen, muss man zwei gleiche, dreigliedrige Körper basteln,
die man in den Drittelwürfel steckt. Eine Vorlage findet man z.B.
in Marcus Engels Homepage unter dem Namen "Riegel".
Der Ring halbes Oktaeder
top
K6
Die Öffnung ist ein Quadrat
Den Würfelgürtel kann man weiterentwickeln
zu einem Ring mit quadratischer Öffnung.
Herstellung
(1) Zeichne ein Quadrat mit den Diagonalen und den Mittellinien (z.B.
a=5cm).
(2) Spiegele ein Teildreieck an einer Seite.
(3) Errichte auf der Hypotenuse des gespiegelten Dreiecks ein Rechteck.
Die markierten Strecken sind gleich.
(4) Setze an das Recheck das Teildreieck an.
(5) Wiederhole diese Prozedur 7x. Falte aus je vier rechtwinkligen
Dreiecken eine Pyramide.
(6) Bilde eine reihe und bringe an die Dreiecke Klebestreifen an, um
die Pyramiden zu bauen und den Ring zu schließen.
Bastelvorlage
Dieser Ring heißt hier "halbes Oktaeder".
Man kann nämlich die acht Pyramiden zu einem halben, (roten) Oktaeder
zusammenlegen.
Quelle: Randolf Rehfeld.
Man erhält sicher weitere geschlossene
Kaleidozyklen, wenn man in ähnlicher Weise von höheren regelmäßigen
Vielecken ausgeht.
Doppelkrone top
K15
| ...... |
... ... |
Der Kaleidozyklus K6, der zu einem halben Oktaeder gefaltet werden
kann, hat eine quadratische Öffnung. Dreht man ihn weiter, so kann
man das Quadrat schließen und man erhält eine "Krone". Diese
Krone hat ein Quadrat als Grundfläche.
Da liegt es nahe, die Krone an der Grundfläche zu spiegeln. |
... ... |
Das führt zu dem neuen Kaleidozyklus links, der "Doppelkrone".
Ein besserer Name fiel mir nicht ein.
In dieser Lage erkennt man, dass es eine Beziehung zu einem umfassenden
Würfel gibt. Je zwei Dreieckspyramiden bilden eine Kante des Würfels.
Eine Rechnung zeigt, dass das Kaleidoskop den dritten Teil des Würfels
ausfüllt. |
Der Würfel heißt in dieser Aufteilung
bei Margarita Ehrlich und Ellen Pawlowski (URL unten) Schneider-Würfel.
durchsichtiger Würfel
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eine Dreieckspyramide
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4x
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Als Vorlage können vier "Schmetterlinge" dienen (a=5cm).
Aus jeder Figur ergibt sich eine Kante des korrespondierenden Würfels.
Die Klebestreifen sind rechts nicht eingezeichnet. |
... ... |
Der Kaleidozyklus Doppelkrone kann so gedreht werden, dass wieder
eine Krone mit quadratischer Grundfläche ensteht. Die vier Zacken
sind flacher.
Diese Krone kann man wieder am Quadrat spiegeln und schon erhält
man einen neuen Kaleidozyklus... |
Der halbe geschlossene
Ring aus sechs Dreieckspyramiden top
K7
Entstehung des hier abgebildeten Ringes
... ... |
Der geschlossene Ring aus sechs Dreieckspyramiden von oben hat eine
Symmetrieebene. Durch diese Ebene kann man einen Schnitt legen. Es entsteht
ein Kaleidozyklus, der sich über einem regelmäßigen Sechseck
erhebt.
Das Besondere ist, dass die gemeinsamen Kanten der Pyramiden nicht mehr
gleich lang sind. |
Dreht man den Ring weiter, so ergeben sich zwei besondere symmetrische
Stellungen des Ringes.
Die Öffnung ist ein gleichseitiges Dreieck (rot).
Die Silhouette ist ein gleichseitiges (nicht regelmäßiges)
Sechseck.
|
Der Silhouette ist ein gleichseitiges Dreieck (rot).
Der Ring ist fast geschlossen.
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In beiden Fällen gibt es Symmetrieebenen durch das rote Dreieck.
Das Netz zum Bau
dieses Kaleidozyklus sind sechs Quadrate mit aufgesetzten gleichseitigen
Dreiecken.
Die mit einen Strich gekennzeichneten Strecken haben
die Länge a, die mit zwei Strichen die Länge b=sqrt(5)/2*a
und die mit drei Strichen a/2.
Es besteht eine Verwandtschaft zum umstülpbaren Würfel von
oben. In beiden Fällen ist bei bestimmten Stellungen die Silhouette
ein Dreieck. Jedoch ist bei Schatz die Öffnung
geschlossen, in der symmetrischen Position oben rechts nicht: Die gemeinsame
Kante, die hier 0,5a lang ist, ist bei Schatz sqrt(3)/3*a=0,56a lang.
Dieser Ring soll eine Anregung sein, nach
neuen Kaleidozyklen zu suchen und sich mit ihnen zu beschäftigen.
Oben wurde schon erwähnt, dass es beliebig viele Kaleidozyklen
gibt.
Ein "normaler" Kaleidozyklus kommt immer dann zustande, wenn "gegenüberliegende
Kanten von Tetraedern und ihr gemeinsames Lot paarweise senkrecht zueinander
stehen" (Marcus Engel, kaleidozyklen_theorie.pdf).
The Shinsei Miracle top
Dieser goldene/silberne Würfel wurde in den 1980er Jahren von
Naoki Yoshimoto entwickelt. Man kann ihn so auseinander nehmen, dass man
zwei Kaleidozyklen aus 12 Pyramiden erhält.
Mehr findet man auf meiner Seite The Shinsei Miracle.
Cube One top
Cube One ist ein Würfel-Puzzle des Grafik-Designers, Malers und
Zeichners Dieter A.W. Junker aus Kassel.
Aufgabe des Puzzles ist es, aus 2x2 Kaleidozyklen einen Würfel
zusammenzusetzen.
Dabei ist schon jeder Kaleidozyklus für
sich ein Puzzle.
Aus dem einem kann man ein Tetraeder, aus dem anderen ein Oktaeder
bilden.
Mehr findet man auf meiner Seite Cube One.
Tetra One top
Tetra One ist ein weiteres Puzzle von Dieter
A.W. Junker.
Aufgabe des Puzzles ist es, aus 2 Kaleidozyklen ein Tetraeder zusammenzusetzen.
Die beiden Kaleidozyklen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge der
Pyramiden.
Mehr findet man auf meiner Seite Tetra One.
Vorlagen top
Man findet auf dieser Seite Beschreibungen wie man ein Netz zeichnen
kann, um den betreffenden Ring zu basteln.
Doch es ist einfacher Vorlagen zu benutzen, die netterweise im Internet
bereitgestellt werden. Ich füge in der folgenden Linkliste die Namen
Ki
hinzu, wenn man dort einen Bastelbogen findet.
Viel Spaß beim Basteln und auch bei der Suche nach neuen Formen.
Kaleidozyklen im Internet
top
Deutsch:
Annemarie Honegger
KaleidozyklenK3
Bild der Wissenschaft Shop
Kubus
X, PyramIX,
Dieter A. W. Junker
flyping-games
Ellen Pawlowski
Umstülpungskörper
(.pdf-Datei 3,3MByte)
FoldPlay
MAKE YOUR VERY OWN
PHOTO KALEIDOCYCLE
Franz Zahaurek
Der umstülpbare Würfel nach Paul
Schatz
Gymnasium Hechingen (Mathewerkstatt)
Verdrillter
Kaleidozyklus K9 u.a.
Marcus Engel
M.C.Escher Kaleidocycles...
K2, K3, K5 und Riegel
Margarita Ehrlich
Umstülpungen
(.pdf-Datei 800kByte)
Randolf Rehfeld (Wundersames Sammelsurium)
Kaleidozyklen...K2,
K3, K4, K5, K6
Rolf Langer, Gymnasium St.Mauritz, Münster
Die
Schlange, ein Tetraeder-Ring K3
Englisch:
Akira Nishihara
Ring
of tetrahedrons
Dave Love and Bill Haneberg
Origami
Activities.. K3
David Singmaster
Cubic
Circular (magazine Issue 5 & 6 - #11 - #13) (Autumn &
Winter 1982)
Enchanted Learning online
Make
A 3-D Hexaflexagon ... K2
G. Korthals Altes
Paper Models of Polyhedra
Kaleidocycles: Hexagonal
Kaleidocycle K3, Octagonal
Kaleidocycle K2, Decagonal
KaleidocycleK1
Jaap Scherphuis
Pyrix
(Chain of 4 octahedrons + 11 tetrahedrons = 1 large tetrahedron)
Maurice STARCK
a ride
through the polyhedra world,
the
kaleidohedron from the IsoAxis grid, other
kaleidocycles1, other
kaleidocycles2 Yoshimoto
Kristina
Burczyk's Kaleidocycles
Coloured Kaleidocycles with opened triangulars
Marcus Engel
M.C.Escher Kaleidocycles...
K2, K3, K5 und Riegel
MATHEMATICAL CONCEPTS, inc
Kaleidocycle
by the net method K3
Peter Atlas
Hyperkaleidocycles or
Kaleidocycles in the Fourth Dimension
Simon Quellen Field (Science Toys)
A
moving sculpture made from paper K3
The Orb Factory
Wire transformers
(Flexistar
3,4,6, Quix, QuixII, Vectorsphere)
YouTube
http://de.youtube.com/watch?v=_0i1ZcphgfA&feature=related
http://de.youtube.com/watch?v=GPkHJY3nhy0&feature=related
Französisch:
Hubert Martineau
Kaléidocycle
ou anneau de n tétraèdres (n entier pair)
Peuplier (Le Forum en Papier)
Kaleïdocycle
spécial Saint Valentin K3,
Kaleïdocycle,
isoaxis K4, Kaleïdocycle
didactique, le moteur 4 temps K4,
Cube
magique, Shinsei Mystery (ou Miracle) K8,
Octaèdre
divisé en 16 tétraèdres, K12
Japanisch:
horirium (Japanisch)
2007 KALEIDOCYCLE
CALENDAR
Koji Okada
Templates for flexagons,
kaleidocycles and cubes K3, K4
"tessy"
K-Cube,
Video
Referenzen top
(1) Doris Schattschneider und Wallace Walker, M.C.Escher Kaleidozyklen,
Köln 1992 K3,
K4
... ...
|
Verdrillter Kaleidozyklus K9 |
(2) Gerald Jenkins and Anne Wild, Make Shapes 1, Diss (Norfolk), Tarqin
Publications, 1998 K1
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Seite ist auch in Englisch vorhanden.
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Homepage:
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©
2005 Jürgen Köller
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