Fünfstrahlige Figuren
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Was ist eine fünfstrahlige Figur?
Beispiele fünfstrahliger Figuren
Beispiele fünfstrahliger Körper
Zykloiden
Vermischtes
Fünfstrahlige Figuren im Internet.
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Was ist eine fünfstrahlige Figur?
...... Eine fünfstrahlige Figur ist eine drehsymmetrische oder kreissymmetrische Figur von der Ordnung fünf. 
Das heißt, dass sie ein Drehzentrum hat und dass sie bei jeder Fünfteldrehung um dieses Zentrum in sich selbst übergeht. 
Sie heißt auch fünfzählige Figur.
......


...... Auch das Fünfeck ist fünfstrahlig. 

Bei ihm kommen noch Achsensymmetrien mit fünf Achsen hinzu.

......

... Zu jeder fünfstrahligen Figur gibt es ein Spiegelbild.

Diese Seite hat den gleichen Aufbau wie meine Seite Dreistrahlige Figuren.

Beispiele fünfstrahliger Figuren       top
Linien im Fünfeck


Sterne aus dem Fünfeck

Abkömmlinge der 6Fünfecke-Figur

Figuren von meinen Webseiten

Zehnstrahlige Figuren sind auch fünfstrahlig.

Zehneck

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Figurierte Zahlen

Beispiele fünfstrahliger Körper       top
Zur Definition
Verschiebt man eine Figur in Normalrichtung, so entsteht ein Prisma. 
Ist die Figur vierstrahlig wie hier das gelbe Quadrat, so ist auch das Prisma vierstrahlig. 
Dabei wird der Drehpunkt durch eine Drehachse ersetzt.


Fünfseitiges regelmäßiges Prisma
 
......
Ersetzt man das Quadrat durch ein regelmäßiges Fünfeck, entsteht ein fünfseitiges, regelmäßiges Prisma. Die Gerade durch die Mittelpunkte der Fünfecke ist die Drehachse.

Die Bildpaare ermöglichen ein 3D-Bild.


Pentagondodekaeder
...... Schaut man auf ein Fünfeck, so stellt sich das Dodekaeder als eine fünfstrahlige oder fünfzählige, drehsymmetrische Figur dar.

Die Drehachse ist in der Zeichnung nur ein Punkt.


...... Da es sechs Paare von Fünfecken gibt, gibt es auch sechs Drehachsen. Sie verlaufen durch die Mittelpunkte der Fünfecke.

Links ein Beispiel


Ikosaeder
...... Schaut man auf eine Ecke des Ikosaeders, so stellt es sich als eine fünfstrahlige, drehsymmetrische Figur dar. Diese Symmetrie überträgt sich auf das Ikosaeder.

Die Drehachse zeigt sich in der Zeichnung als Punkt in der Mitte.


...... Es gibt 12 Eckpunkte und damit 6 Paare von gegenüberliegenden Eckpunkten. Durch sie verlaufen die Drehachsen. Es sind also die längeren Raumdiagonalen.

Links ein Beispiel


Kepler-Poinsot-Körper 
"All four (Kepler-Poinsot Polyhedra) have the same symmetry axes and symmetry planes as the icosahedron and dodecahedron."
Quelle: http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html

Kleines Sterndodekaeder 


Großes Sterndodekaeder 

Großes Dodekaeder 

Großes Ikosaeder 

Weitere drehsymmetrische Körper der Ordnung 5

Antiprisma

Johnsonkörper J2, Fünfeckpyramide


J13 Pentagonale Bipyramide 

J16 Verlängerte pentagonale Bipyramide
J11 Verdreht verlängerte Fünfeckpyramide

Zykloiden   top
Eine Herausforderung liegt darin, fünfstrahlige Figuren mit Hilfe von Formeln zu zeichnen. Da bieten sich die Zykloiden an. 
Epizykloide
......
Rollt man den kleinen Kreis außen auf dem großen ab, so beschreibt ein Punkt auf der Kreislinie eine Kurve, die Epizykloide.


.
x=6cos(t/5)-cos(6t/5)
y=6sin(t/5)-sin(6t/5)

x=6cos(t/5)-2cos(6t/5)
y=6sin(t/5)-2sin(6t/5)

x=6cos(t/5)-4cos(6t/5)
y=6sin(t/5)-4sin(6t/5) 

x=6cos(t/5)-5cos(6t/5)
y=6sin(t/5)-5sin(6t/5)

x=6cos(t/5)-6cos(6t/5)
y=6sin(t/5)-6sin(6t/5)
0<=t<=10pi

Hypozykloide
......
Rollt man den kleinen Kreis innen im großen Kreis ab, so entsteht eine Kurve mit fünf Spitzen, die Hypozykloide.


x=4cos(t/5)+cos(4t/5)
y=4sin(t/5)-sin(4t/5)

x=4cos(t/5)+2cos(4t/5)
y=4sin(t/5)-2sin(4t/5)

x=4cos(t/5)+3cos(4t/5)
y=4sin(t/5)-3sin(4t/5)

x=4cos(t/5)+4cos(4t/5)
y=4sin(t/5)-4sin(4t/5)

x=4cos(t/5)+5cos(4t/5)
y=4sin(t/5)-5sin(4t/5)
0<=t<=10pi

Polarkurven

r=sin(5t)

r=sin(5t)^2+2sin(5t)+2

r=sin(5t)-2sin(5t)^2

r=3sin(5t)^2-2sin(5t)+1

Vermischtes    top
Fünfstrahlige Figuren mit einem Zeichenprogramm
Es gibt im Internet Applets mit dem Namen Kaleidoskop. Sie simulieren jedoch nur den Winkelspiegel. Doch auch diese Bilder sind ansehnlich. Eine fünfstrahlige Figur z.B. entsteht so, dass man nur die Linien in einem Kreisausschnitt mit einem Winkel von 360°/5 =72° zeichnet. Das Programm zeichnet sie gleichzeitig in die übrigen vier Kreisausschnitte ein. Ich weise nur auf das Programm von mathisfun (URL unten) hin.


Einige fünfstrahlige Blüten

Prunkwinde

Phlox

Akelei

Schwarzäugige Susanne

Japanisches Springkraut

Hibiskus

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Deutsch

chemieunterricht.de
Gibt es Kristalle mit fünfzähligen Achsen?

Wikipedia
Zykloide, Epizykloiden, Symmetrie (Geometrie), Radiärsymmetrie, Fünfeck, Pentagramm, Pentamerie

Englisch

EricW.Weisstein  (MathWorld)
Epicycloid, Hypocycloid

MathsIsFun.com
Symmetry Artist

Richard Parris (Freeware-Programm WINPLOT) 
Die offizielle Webseite ist geschlossen. Download des deutschen Programms z.B. bei heise

Wikipedia
Rotation, Rotational symmetry, Rotation groupRotation (mathematics)Epicycloid, Hypocycloid, Pentagon, Pentagram

Xah Lee 
Epicycloid and Hypocycloid


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©  2016 Jürgen Köller

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