Vierstrahlige Figuren
Inhalt dieser Seite
Was ist eine vierstrahlige Figur?
Beispiele vierstrahliger Figuren
Vierstrahlige Figuren mit einem Zeichenprogramm
Zykloiden
Besondere Zykloiden
Vierstrahlige Körper 
Vermischtes
Vierstrahlige Figuren im Internet 
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine vierstrahlige Figur?
...... Eine vierstrahlige Figur ist eine drehsymmetrische oder kreissymmetrische Figur von der Ordnung vier. 
Das heißt, dass sie ein Drehzentrum hat und dass sie bei jeder Vierteldrehung um dieses Zentrum in sich selbst übergeht. 
......


...... Auch das Quadrat ist vierstrahlig. 

Bei ihm kommen noch vier Achsensymmetrien mit vier Achsen hinzu.

......

... Zu jeder vierstrahligen Figur gibt es ein Spiegelbild.

Diese Seite hat den gleichen Aufbau wie meine Seite Dreistrahlige Figuren.

Beispiele vierstrahliger Figuren    top




Vier gleichseitige Dreiecke

Vier 30-60-90-Dreiecke


Aus einem Quadrat mit 16 Dreiecken

Vier Kreise


Kreuz

Zwei Rauten

Von der Ellipse zur 4-Bogen-Linie 

gefunden bei Steinhaus (2) auf Seite 84



Maßwerk (Vierpass)

Autobahnkreuz

Windrose

Fast wie Feldlinienbilder von Quadrupolen

Eine achtstrahlige Figur ist auch vierstrahlig.

Vierstrahlige Figuren mit einem Zeichenprogramm   top
... Zeichne ein Quadrat und in ihm eine beliebige Figur. 
... Drehe die Figur dreimal jeweils um 90°. 
... Setze die vier Figuren zu einem 2x2-Quadrat zusammen. 
... Verschönere die Gesamtfigur.


Auf dem gleichen Wege entstanden die drei Vierfachspiralen.

Erweiterung des Verfahrens auf Relationen
...... ... Durch die Gleichung x²+y²=1 wird bekanntlich ein Kreis beschrieben. Er ist auch von der Gleichung her gesehen vierstrahlig, denn die Gleichung ändert sich nicht, wenn man x durch -x, y durch -y ersetzt und x und y vertauscht. 
Will man neue Gleichungen entwickeln, muss man diese Eigenschaften berücksichtigen. 
Mir fallen die Gleichungen zu einem gerundeten Quadrat und zu einem Schild ein. -
Dieses ist ein weites Feld zum Experimentieren.

Auf dieser Seite findet man noch die Gleichungen (x²+y²)³=4x²y², (x²+y²-1)³+27x²y²=0 und (x2-a2)2+(y2-a2)2=b4.

Zykloiden   top
Eine Herausforderung liegt darin, vierstrahlige Figuren mit Hilfe von Formeln zu zeichnen. 
Da bieten sich die Zykloiden an. 
Epizykloide
...... Man stelle sich vor, ein Kreis liege fest und ein zweiter Kreis mit einem viermal so kleinen Radius rolle um einen großen Kreis (Leitkreis) herum. Verfolgt man dabei einen Punkt auf der Kreislinie des beweglichen Kreises, so beschreibt er eine geschlossene Linie mit vier Einkerbungen. Diese Linie heißt Zykloide, genauer Epizykloide. Die Figur ist vierstrahlig. 


Beschreibt man das Abrollen durch Formeln, so ergibt sich: 
Epizykloide, allgemein
Epizykloide für R=4r

x(t)=5r*cos(t/4)-a*cos(5t/4)
y(t)=5r*sin(t/4)-a*sin(5t/4)
 

Dabei sind R und r die Radien der Kreise. Die Variable a gibt die Entfernung des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an. 

Es folgen Epizykloiden für r=1 und verschiedene Parameter a. 
Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)


Hypozykloide
......
Rollt man den kleinen Kreis innen ab, so entsteht eine Figur mit vier Spitzen, die Hypozykloide.

Beschreibt man das Abrollen durch Formeln, so ergibt sich: 
Hypozykloide, allgemein
Hypozykloide für R=4r

x(t)=3r*cos(t/4)+a*cos(3t/4)
y(t)=3r*sin(t/4)-a*sin(3t/4)
 

Dabei sind R und r die Radien der Kreise. Die Variable a gibt die Entfernung des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an. 

Es folgen Hypozykloiden für r=1 und verschiedene Parameter a.
Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)

Besondere Zykloiden top
Von den oben vorgestellten Zykloiden mit R=4r sind drei hervorzuheben. 
Quadrifolium  (Hypozykloide a=3r)
.....
.Es gilt 0<t<8*pi.
Im Polar-Koordinatensystem hat das Quadrifolium eine besonders einfache Darstellung:
r'(t)=a*sin(2t) [0<t<2*pi]. - Die Darstellung in kartesischen Kordinaten ist  (x²+y²)³=4x²y².

Der Flächeninhalt ist (1/2)*pi*a².
Die Länge kann nur angenähert angegeben werden, da die Rechnung auf ein elliptisches Integral führt: L=9,69a.

Quelle: MathWorld (URL unten)


Astroide (Hypozykloide, a=r)

Es gilt 0<t<8*pi.
Die Parameterdarstellung lässt sich auch schreiben als x=a*cos³(t) und y=a*sin³(t).
Die Darstellung in kartesischen Kordinaten ist  (x²+y²-1)³+27x²y²=0

Der Umfang ist L=6a und der Flächeninhalt (3/8)*pi*a².

Quelle: MathWorld (URL unten)


Vierstrahlige Epizykloide

Vierstrahlige Körper top
Zur Definition
Verschiebt man eine Figur in Normalenrichtung, so entsteht ein Prisma. 

Ist die Figur vierstrahlig wie hier das gelbe Quadrat, so ist auch das Prisma vierstrahlig. 
Dabei wird der Drehpunkt durch eine Drehachse ersetzt.
Außerdem hat der Körper an Stelle vierer Symmetrieachsen vier Symmetrieebenen. 


An diese Stelle passen drei Bilder meiner Seite Quadratisches Prisma.

... und noch zwei Bilder von der Seite Himmel und Hölle

Vermischtes
Vierstrahliges aus der Natur

 Schöllkraut

Raps

Flieder

Clematis


Karen's Quilts

Eine Fensterrosette der neuromanischen evangelisch-lutherischen Erlöserkirche von 1891–1892 in Bad Salzuflen

Fliese
... Über 100 Jahre alte Wandfliese in einer Küche in Speyer


Vierstrahlige Figuren im Internet    top

Deutsch

Claas Hickl 
Quattrofolium (Entdecke die Welt der Kleeblätter)

Hans Jörgen Wevers
Variation mit Quadrat

Wikipedia
Zykloide, Epizykloiden, Symmetrie (Geometrie), Vierpass, Radiärsymmetrie, Drehgruppe, Kreuz (Symbol)



Englisch

MacTutor History of Mathematics Archive 
Hypocycloid, Epicycloid, Hypotrochoid, Epitrochoid, Astroid

EricW.Weisstein  (MathWorld)
Epicycloid, Hypocycloid, Quadrifolium, Astroid, Rose
 
MathsIsFun.com
Symmetry Artist

Richard Parris   (peanut Software) 
Program WINPLOT

Wikipedia
Rotation, Rotational symmetry, Rotation groupRotation (mathematics)Cross, St.Brigid's crossEpicycloid, Hypocycloid, Astroid, Quadrifolium

Xah Lee 
Epicycloid and HypocycloidAstroid



Französisch

Robert FERRÉOL
TRÈFLE À QUATRE FEUILLESASTROÏDE
QUARTIC DE PLÜCKER (x2-a2)2+(y2-a2)2=b4



Referenzen   top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987
(2) Hugo Steinhaus: 100 Aufgaben, Leipzig-Jena-Berlin, 1968 

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©  2008 Jürgen Köller

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