Regelmäßiges Zehneck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein regelmäßiges Zehneck?
Größen des Zehnecks
Konstruktion eines Zehnecks
Diagonalen
Zehnecke bei Körpern
Regelmäßiges Zehneck im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein regelmäßiges Zehneck?
Das regelmäßige Zehneck ist ein Vieleck mit
    zehn gleich langen Seiten und 
    zehn gleich großen Innenwinkeln. 
Das Zehneck heißt auch Dekagon.
Im Englischen ist wohl der Name Decagon üblich. Man findet auch 10 sided figure
Das erwähne ich hier, um die Suche im Internet zu erleichtern.


Auf dieser Seite heißt das regelmäßige Zehneck meist einfach Zehneck

Größen des Zehnecks top
Winkel im Zehneck


Formeln

Seite und Diagonalen

Radius des Umkreises, Radius des Inkreises, Höhe

Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises, die Diagonalen d1,d2 , d3 und d4, die Höhe h, der Flächeninhalt A  und der Umfang U errechnen. 



Herleitung der Formeln
Radius des Umkreises
......
Im Zehneck liegt ein  Fünfeck. Auf meiner Seite regelmäßiges Fünfeck steht, dass die 
Diagonale und die Seite im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen. 
Das heißt hier d3:d1=(1/2)[(sqrt(5)+1]:1. 
Es gilt die Proportion d3:d1 = R:a wegen der Ähnlichkeit  der farbigen Dreiecke. 
Also ist auch R:a=(1/2)[sqrt(5)+1] oder R=(1/2)[sqrt(5)+1]a. 

Es gilt also der bekannte Satz: Im Zehneck stehen Umkreisradius und Seite im Verhältnis des Goldenen Schnittes. 
Deshalb heißt das gelbe Dreieck auch das "Goldene Dreieck".

Radius des Inkreises
......
Es gilt cos18°=r/R oder r=R*cos18°.
Nach der Zeichnung ist sin18°=a/(2R) ab. 
Mit R=(1/2)[sqrt(5)+1]a  ergibt sich sin18°=(1/4)[sqrt(5)-1].
Aus sin²18°+cos218°=1 ergibt sich cos18°=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)].
Dann ist nach längerer Rechnung 
r=R*cos18°=(1/2)[sqrt(5)+1]a *(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]=(1/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a. 

Erste Diagonale
......
Es gilt cos18°=d1/2a oder d1=2a*cos18°.
Es ist cos18°=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)].
Dann ist d1=(1/2)[10+2sqrt(5)]a. 

Zweite Diagonale
......
Nach dem Satz des Pythagoras ist d2²+d1²=(2R)².
Dann ist d2=sqrt(4R²-d1²) mit R=(1/2)[sqrt(5)+1]a und d1=(1/2)[10+2sqrt(5)]a.

Nach längerer Rechnung ist d2=(1/2)sqrt[14+6sqrt(5)]a. 


Dritte Diagonale
......
Nach dem Satz des Pythagoras gilt (2R)²=d3²+a².
Dann ist d3=sqrt(4R²-a²) mit R=(1/2)[sqrt(5)+1]a.

Nach längerer Rechnung ist d3=sqrt[5+2sqrt(5)]a. 


Vierte Diagonale und Höhe
Es gilt d4 =2R und h=2r.

Flächeninhalt und Umfang
A=10*[(1/2)ar] = 10[(1/2)a*sqrt[5+2sqrt(5)]/2*a=(5/2)a²(sqrt[5+2sqrt(5)]
U=10a

Noch eine Formel
......
Im Zehneck liegen zwei Parallelogramme, so dass man die Beziehung d2=R+a erkennt.

Konstruktion eines Zehnecks     top
Zeichne einen Kreis um A mit dem Radius R=AB. Er wird der Umkreis des Zehnecks werden.
Zeichne die Senkrechte durch B zu AB und trage die Strecke BC =2R ab.
Verbinde die Punkte A und C und nenne den Schnittpunkt mit dem Kreis Punkt D.
Halbiere die Strecke CD und nenne den Halbierungspunkt E.
Trage die Strecke a=CE zehnmal auf dem Kreis ab. 
Du erhälst so das Zehneck.
Begründung
Die Konstruktion benutzt die Formel R=(1/2)[sqrt(5)+1]a bzw. a=(1/2)[sqrt(5)-1)]R.
Das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten R, 2R und nach dem Satz des Pythagoras sqrt(5)R.
Die Strecke CD=AC-AD  ist sqrt(5)R-R. Die Strecke CE ist dann a=(1/2)[sqrt(5)R-R] = (1/2)[sqrt(5)-1)]R.


Diagonalen   top
Alle Diagonalen
Das Zehneck hat 35 Diagonalen.


>Zehn Diagonalen verbinden jeden zweiten, zehn jeden dritten und zehn jeden vierten Eckpunkt. 
>Fünf Diagonalen verlaufen durch den Mittelpunkt. 
>Die Diagonalen bilden drei voneinander unabhängige Sterne, die Dekagramme. 
>Der linke Stern 1 besteht aus zwei regelmäßigen Fünfecken, die mit der Drehung eines Sterns um 36° zur Deckung gebracht werden können.
>Der mittlere Stern 2 kann in einem Zug gezeichnet werden.
>Der mittlere Stern 3 besteht aus zwei Pentagrammen, die mit der Drehung eines Sterns um 36° zur Deckung gebracht werden können. 
>Die Winkel an den Spitzen der Sterne sind 108°, 72° und 54°.

Figuren aus Diagonalen oder Diagonalenabschnitten

Zehnecke bei Körpern 
Zwei archimedische Körper top
...... Das  abgestumpfte Dodekaeder und 
das große Rhombenikosidodekaeder
sind zwei archimedische Körper, die 12 Zehnecke enthalten.

Der erste Körper hat zusätzlich 20 gleichseitige Dreiecke und der zweite 30 Quadrate sowie 20 Sechsecke. 

Pentagondodekaeder
...... Liegt bei einer Parallelprojektion des Pentagondodekaeders eine Fünfeckfläche parallel zur Zeichenebene, so ist der Umriss ein Zehneck



Ikosaeder
......
Steht bei einer Parallelprojektion des Ikosaeders eine Ecke oben oder - anders ausgedrückt - eine Raumdiagonale senkrecht zur Zeichenebene, so ist der Umriss ein Zehneck

Regelmäßiges Zehneck im Internet      top

Deutsch

Christoph Pöppe (Spektrum der Wissenschaft)
Pflastern Sie mit!

DER SPIEGEL
Quasi-Kristalle: Die faszinierende Geometrie des Orient

Willi Jeschke
Parkettierungen und Primzahlen

Wikipedia
Zehneck


Englisch

Eric W. Weisstein  (mathworld)
Decagon, Decagram, Golden Triangle

Gavin Theobald
Decagon Dissections

Greg Frederickson 
Frederickson's Pentagram (Folding a Decagon to a Pentagram)

John Page
Decagon

Kate Jones (Kadon Enterprises, Inc.) 
Tilings and Designs (DEKA-MOSAIKTM, DEKA-STARTM,KITE-MOSAIKTM

Kenneth James Michael MacLean
THE  DECAGON

Steve Wilson
Constructing a Regular Decagon by Cutting the Corners off a Regular Pentagon

Wikipedia
Decagon


Referenzen   top
(1)W.Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2005 Jürgen Köller

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