Regelmäßiges Zehneck

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Was ist ein regelmäßiges Zehneck?
Größen des Zehnecks
Konstruktion eines Zehnecks
Diagonalen

Zehnecke bei Körpern
Regelmäßiges Zehneck im Internet
Referenzen
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Was ist ein regelmäßiges Zehneck?

Das regelmäßige Zehneck ist ein Vieleck mit
    zehn Ecken
    zehn gleich langen Seiten und
    zehn gleich großen Innenwinkeln.

Das Zehneck heißt auch Dekagon.
Im Englischen ist wohl der Name Decagon üblich. Man findet auch 10 sided figure.
Das erwähne ich hier um die Suche im Internet zu erleichtern.

Auf dieser Seite wird regelmäßiges Zehneck meist zu Zehneck vereinfacht.

Größen des Zehnecks top
Winkel im Zehneck

Formeln

Seite und Diagonalen

Radius des Umkreises, Radius des Inkreises, Höhe

Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises, die Diagonalen d₁,d₂, d₃und d₄, die Höhe h, der Flächeninhalt A und der Umfang U errechnen.

Herleitung der Formeln
Radius des Umkreises

...

Im Zehneck liegt ein Fünfeck. Auf meiner Seite regelmäßiges Fünfeck steht, dass die
Diagonale und die Seite im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.
Das heißt hier d₃:d₁=(1/2)[(sqrt(5)+1]:1.
Es gilt die Proportion d₃:d₁ = R:a wegen der Ähnlichkeit der farbigen Dreiecke.

Also ist auch R:a=(1/2)[sqrt(5)+1] oder R=(1/2)[sqrt(5)+1]a.

Es gilt also der bekannte Satz: Im Zehneck stehen Umkreisradius und Seite im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Deshalb heißt das gelbe Dreieck auch das "Goldene Dreieck".

Radius des Inkreises

....

Es gilt cos18°=r/R oder r=R*cos18°.
Nach der Zeichnung ist sin18°=a/(2R) ab.
Mit R=(1/2)[sqrt(5)+1]a ergibt sich sin18°=(1/4)[sqrt(5)-1].
Aus sin²18°+cos²18°=1 ergibt sich cos18°=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)].

Dann ist nach längerer Rechnung
r=R*cos18°=(1/2)[sqrt(5)+1]a *(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)]=(1/2)sqrt[5+2sqrt(5)]a.

Erste Diagonale

....

Es gilt cos18°=d₁/2a oder d₁=2a*cos18°.
Es ist cos18°=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)].

Dann ist d₁=(1/2)[10+2sqrt(5)]a.

Zweite Diagonale

......

Nach dem Satz des Pythagoras ist d₂²+d₁²=(2R)².

Dann ist d₂=sqrt(4R²-d₁²) mit R=(1/2)[sqrt(5)+1]a und d₁=(1/2)[10+2sqrt(5)]a.

Nach längerer Rechnung ist d₂=(1/2)sqrt[14+6sqrt(5)]a.

Dritte Diagonale

...

Nach dem Satz des Pythagoras gilt (2R)²=d₃²+a².

Dann ist d₃=sqrt(4R²-a²) mit R=(1/2)[sqrt(5)+1]a.

Nach längerer Rechnung ist d₃=sqrt[5+2sqrt(5)]a.

Vierte Diagonale und Höhe
Es gilt d₄ =2R und h=2r.

Flächeninhalt und Umfang
A=10*[(1/2)ar] = 10[(1/2)a*sqrt[5+2sqrt(5)]/2*a=(5/2)a²(sqrt[5+2sqrt(5)]
U=10a

Noch eine Formel

...

Im Zehneck liegen zwei Parallelogramme, so dass man die Beziehung d₂=R+a erkennt.

Konstruktion eines Zehnecks top

1 Zeichne einen Kreis um M. Er wird Umkreis des Zehnecks werden. Zeichne den Durchmesser AB.
2 Zeichne die Senkrechte zu AB durch Punkt M. Das führt zu Punkt D. Verbinde H und D.
Halbiere die Strecke AM. Das führt zu Punkt H.
3 Zeichne den Kreis um Punkt H mit den Radius HD. Er schneidet MB in E. Trage die Strecke ME von B aus auf dem Kreis ab.
Das führt zu Punkt Q. Trage die Strecke ME noch 9x auf dem Kreis ab. Es ergeben sich die Eckpunkte des Zehnecks.
4 Verbinde die Schnittpunkte.
Quelle: (1), Seite 175

Erklärung der Konstruktion

Am besten zeigt man, dass R/a=(1/2)[sqrt(5)+1] ist.

Nach dem Satz des Pythagoras ist z²=(R/2)²+R² oder z=(1/2)sqrt(5)a.
Es gilt z=R/2+a. Dann ist a=z-R/2 oder a=(1/2)sqrt(5)a-R/2. Daraus folgt R/a=(1/2)[sqrt(5)+1].

Diagonalen top
Alle Diagonalen

Das Zehneck hat 35 Diagonalen.

>Zehn Diagonalen verbinden jeden zweiten, zehn jeden dritten und zehn jeden vierten Eckpunkt.
>Fünf Diagonalen verlaufen durch den Mittelpunkt.
>Die Diagonalen bilden drei voneinander unabhängige Sterne, die Dekagramme.
>Der linke Stern besteht aus zwei regelmäßigen Fünfecken, die mit der Drehung eines Sterns um 36° zur Deckung gebracht werden können.
>Der mittlere Stern kann in einem Zug gezeichnet werden.
>Der rechte Stern besteht aus zwei Pentagrammen, die mit der Drehung eines Sterns um 36° zur Deckung gebracht werden können.
>Die Winkel an den Spitzen der Sterne sind 108°, 72° und 54°.

Figuren aus Diagonalen oder Diagonalenabschnitten

Zehnecke bei Körpern
Zwei archimedische Körper top

...... Das abgestumpfte Dodekaeder und
das große Rhombenikosidodekaeder
sind zwei archimedische Körper, die 12 Zehnecke enthalten.
Der erste Körper hat zusätzlich 20 gleichseitige Dreiecke und der zweite 30 Quadrate sowie 20 Sechsecke.

Pentagondodekaeder

...... Liegt bei einer Parallelprojektion des Pentagondodekaeders eine Fünfeckfläche parallel zur Zeichenebene, so ist der Umriss ein Zehneck

Ikosaeder

...

Steht bei einer Parallelprojektion des Ikosaeders eine Ecke oben oder - anders ausgedrückt - eine Raumdiagonale senkrecht zur Zeichenebene, so ist der Umriss ein Zehneck

Regelmäßiges Zehneck im Internet top

Deutsch

Christoph Pöppe (Spektrum der Wissenschaft)
Pflastern Sie mit!

DER SPIEGEL
Quasi-Kristalle: Die faszinierende Geometrie des Orient

H. Wolfgarten
Dekagon - Bau im 13. Jahrhundert (St.Gereon, Köln)

Willi Jeschke
Parkettierungen und Primzahlen

Wikipedia
Zehneck

Englisch

Eric W. Weisstein (mathworld)
Decagon, Decagram, Golden Triangle

Gavin Theobald
Decagon Dissections

Greg Frederickson
Frederickson's Pentagram (Folding a Decagon to a Pentagram)

John Page
Decagon