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Was ist ein regelmäßiges Fünfeck?
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Ein regelmäßiges Fünfeck oder regelmäßiges
Pentagon ist ein Vieleck mit
fünf Ecken,
fünf gleich langen Seiten und
fünf gleich großen Innenwinkeln. |
Auf dieser Seite heißt das regelmäßige Fünfeck meist
einfach Fünfeck.
Größen des Fünfecks
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Winkel im Fünfeck
... ... |
Der Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreiecks bzw. der Mittelpunkswinkel
ist 360°/5=72°.
Dann sind die Winkel an der Basis 54°.
Der Innenwinkel eines Fünfecks hat folglich die Größe
108°. |
Formeln
Ein regelmäßiges Fünfeck ist im allgemeinen durch die
Seitenlänge
a gegeben.
Daraus lassen sich der Flächeninhalt A, der Umfang
U,
die Radien R und r von Um- und Inkreis, die Länge
d
der Diagonalen und die Höhe h berechnen.
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Diagonale und Höhe:
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Umkreis und Inkreis:
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Zur Herleitung der Formeln
Diagonale d
... ... |
Mit Hilfe der Winkel erkennt man, dass die beiden gelben Dreiecke gleichschenklig
und ähnlich sind. Dann gilt (d-a):a=a:d oder d(d-a)=a². Diese
quadratische Gleichung in d hat die (positive) Lösung d=[1+sqrt(5)]/2*a. |
Man kann aus der Rechnung ablesen, dass die Diagonalen sich im Verhältnis
des Goldenen Schnittes teilen. Mehr darüber findet man auf meiner
Seite
Sterne. Da wird auch das Pentagramm besprochen,
das von den Diagonalen gebildet wird.
Höhe h
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......
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt h²+(a/2)²=d². Daraus
folgt h=[sqrt(5+2*sqrt(5))]/2*a. |
Radius R des Umkreises, Radius r des Inkreises,
Flächeninhalt
.. .... |
Nach dem Satz des Pythagoras gilt R²=(a/2)²+(h-R)².
Daraus folgt nach längerer Rechnung R=[sqrt(50+10*sqrt(5))]/10*a.
Weiter gilt r=[sqrt(25+10*sqrt(5))]/10*a, hergeleitet aus r²=R²-(a/2)².
A=5*Dreieck(ABC)=5*ar/2=[sqrt(25+10*sqrt(5))]/4*a² (Zeichnung
dazu: Winkel im Fünfeck) |
Erzeugen eines Fünfecks
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Zeichnen mit Zirkel und Geodreieck
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Das ist die einfachste Methode:
Zeichne 4 (besser zur Kontrolle 5) Winkel von 72° nebeneinander
mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Beginne mit einem vertikalen Schenkel.
- Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt. Die Schnittpunkte des Kreises
mit den Schenkeln sind die Eckpunkte eines Fünfecks. |
Konstruktion
Man nutzt aus, dass die Diagonalen im Fünfeck
gleich lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen.
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Gegeben sei die Diagonale d=AB des Fünfecks.
Man teilt sie im Verhältnis des Goldenen
Schnittes. Die Beschreibung der Konstruktion findet man auf meiner Seite
Doppelquadrat.
Die Strecke AT ist die Seitenlänge a des Fünfecks. |
Die weitere Konstruktion:
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Die Punkte A,B und T sind also gefunden.
Trage die Strecke AT von B aus auf AB ab. P1
entsteht.
Zeichne um T und P1
Kreise mit dem Radius TB. P2 und
P3 entstehen.
Zeichne die Geraden P1P2,
P2T, AP3
und BP3. Es entsteht ein Stern.
Verbinde die Spitzen des Sterns. |
Basteln
Bindet man mit einem Papierstreifen einen Knoten ("Überhandknoten")
und zieht vorsichtig an den Papierenden, so entsteht erstaunlicherweise
ein Fünfeck.
Figuren im Fünfeck top
Folgen aus Fünfecken top
Fünfeckszahlen top
Die Folge ist 1, 6, 11, 16, 21, ... allgemein 5n-4 (n=1,2,3,...) |
Die Folge ist 5, 10, 15, 20, ..., allgemein 5n |
Die Folge ist 1, 6, 16,31, 51..., allgemein (5n²-5n)/2+1 |
Die Folge ist 1, 5, 12, 22, 35,... allgemein (3n-1)n/2 |
Körper und Fünfecke
top
Deltader sind Körper, die nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzt
werden. Unter ihnen gibt es zwei konvexe Körper, bei denen das regelmäßige
Fünfeck eine "tragende" Rolle spielt.
Der erste Körper ist die pentagonale Doppelpyramide.
... ...
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Auf ein Fünfeck werden zu beiden Seiten
hin gerade Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen
gesetzt. |
Der zweite Körper ist das Ikosaeder.
... ...
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Ein Ikosaeder entsteht, wenn man zwei parallel liegende Fünfecke
um einen Winkel von 36° gegeneinander verdreht und mit einem Netz aus
zehn gleichseitigen Dreiecken verbindet. Es entsteht ein Antiprisma.
Schließlich setzt man auf die Fünfecke Pyramiden mit gleichseitigen
Dreiecken als Seitenflächen. |
Mehr über Deltaeder findet man an anderer Stelle.
Zwölf Fünfecke bilden den platonischen Körper Pentagondodekaeder.
Die archimedische Körper Ikosidodekaeder,
kleines
Rhombenikosidodekaeder und abgeschrägtes
Dodekaeder enthalten Fünfecke.
Pentagramm top
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Die Diagonalen des regelmäßigen Fünfecks bilden das
Pentagramm.
> Man kann es als einen Stern auffassen, dessen Zacken auf einem Fünfeck
gesetzt sind.
>Man kann in ihm aber auch ein überschlagenes, regelmäßges
Fünfeck sehen. Man muss dazu nur die Punkte ABCDEA verfolgen. In diesem
Sinne bilden zwölf Pentagramme zwei regelmäßige Körper,
nämlich die beiden Keplerschen Körper,
das Kleine und das Große Sterndodekaeder.
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Fünfecke
und Pentagramme im Internet top
Deutsch
Claus Schönleber / Frank Klinkenberg-Haaß
Goldene
Schnittmuster
Christian Strutz
Über
die Eigenschaften der Zahlen Phi und phi (Goldner Schnitt,
5-Eck und Dodekaeder)
Joachim Mohr
Die stetige Teilung
oder der goldene Schnitt
Rainer Kaske
Konstruktion eines Fünfecks
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Pentagon,
Dodekaeder
Wikipedia
Fünfeck,
Pentagramm,
Drudenfuß
(Symbol),
Englisch
Alexander Bogomolny (Cut-the Knot)
Inscribing
a regular pentagon in a circle - and proving it (Scott E. Brodie)
Harvey Heinz
Order 5 Magic
Stars
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Pentagon,
Pentagram,
Pentaflake,
Five Disks
Problem, Hoehns
Theorem
G. Korthals Altes
Paper
Model Pentagrammic Prism
Grand Lodge of British Columbia and Yukon A.F. & A.M
The
pentagram, (freemasonry= Freimaurertum)
Tom Gettys
Nonconvex
Prisms and Antiprisms
Wikipedia
Pentagon,
Pentagram,
Pentagrammic
prism,
Referenzen top
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York, London
1997 (ISBN0-393-04002-X)
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2004 Jürgen Köller
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