Regelmäßiges Fünfeck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein regelmäßiges Fünfeck?
Größen des Fünfecks
Erzeugen eines Fünfecks
Zwei Quadrate im Fünfeck
Figuren im Fünfeck
Folgen aus Fünfecken
Fünfeckzahlen
Körper und Fünfecke
Pentagramm
Fünfecke und Pentagramme im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein regelmäßiges Fünfeck?
Ein regelmäßiges Fünfeck oder regelmäßiges Pentagon ist ein Vieleck mit 
    fünf gleich langen Seiten und 
    fünf gleich großen Innenwinkeln.
Auf dieser Seite heißt das regelmäßige Fünfeck meist einfach Fünfeck. 


Größen des Fünfecks top
Winkel im Fünfeck
...... Der Winkel an der Spitze des Bestimmungsdreiecks bzw. der Mittelpunktwinkel ist 360°/5=72°. 
Dann sind die Winkel an der Basis 54°. 
Der Innenwinkel eines Fünfecks hat folglich die Größe 108°.


Formeln
Ein regelmäßiges Fünfeck ist im Allgemeinen durch die Seitenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich der Flächeninhalt A, der Umfang U, die Radien R und r von Um- und Inkreis, die Länge d der Diagonalen und die Höhe h berechnen. 
Diagonale und Höhe:
Umkreis und Inkreis:

Herleitung der Formeln
Diagonale d
...... Mit Hilfe der Winkel erkennt man, dass die beiden gelben Dreiecke gleichschenklig und ähnlich sind. Dann gilt (d-a):a=a:d oder d(d-a)=a². Diese quadratische Gleichung in d hat die (positive) Lösung d=[1+sqrt(5)]/2*a.
Man kann aus der Rechnung ablesen, dass die Diagonalen sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen. Mehr darüber findet man auf meiner Seite Sterne. Da wird auch das Pentagramm besprochen, das von den Diagonalen gebildet wird. 

Höhe h
......
Es gilt d²=(1/4)[(1+sqrt(5)]²=[(1/4)[6+2sqrt(5)]a².
Nach dem Satz des Pythagoras gilt weiter h²+(a/2)²=d². 
Daraus folgt   h²=d²-(a/2)²=(1/4)(4d²-a²)=(1/4)[5+2sqrt(5)]a².
Dann ist h=[sqrt(5+2*sqrt(5))]/2*a, wzbw.

Radius R des Umkreises, Radius r des Inkreises, Flächeninhalt A 
...... Nach dem Satz des Pythagoras gilt R²=(a/2)²+(h-R)². 
Daraus folgt nach längerer Rechnung R=[sqrt(50+10*sqrt(5))]/10*a.

Weiter gilt r=[sqrt(25+10*sqrt(5))]/10*a, hergeleitet aus r²=R²-(a/2)².

A=5*DreieckABC=5*ar/2=[sqrt(25+10*sqrt(5))]/4*a²

Vom Vieleck zum Fünfeck    top
Das Fünfeck ist der Spezialfall n=5 des Vielecks
Kennt man also Formeln des Vielecks, so kann man die des Fünfecks berechnen.


Ist für ein Vieleck die Seite a gegeben, so gilt

i=1,2,...n-1.

In der Rechnung treten für n=5 drei Werte trigonometrischer Funktionen auf, nämlich tan(36°), sin(36°) und sin(72°). 
Es gilt tan(36°)=sqrt[5-2sqrt(5)], sin(36°)=(1/4)sqrt[10-2sqrt(5)] und sin(72°)=(1/4)sqrt[10+2sqrt(5)].

Damit ergibt sich 
r = a/[2tan(36°)] = (1/2)a/sqrt[5-2sqrt(5)]
R = a/[2sin(36°)] = (1/2)a/sqrt[10-2sqrt(5)] 
A = 5a²/[4tan(36°)] =(5/4)a²/sqrt/[5-2sqrt(5)] 
d2 = d = a sin(72°)/[sin((36°)] =(1/4)a sqrt[10+2sqrt(5)]/sqrt[10-2sqrt(5)]
Formt man die Terme um, so ergeben sich die Werte oben.
Exemplarisch wird der Radius des Inkreises noch einmal auf diesem Wege berechnet.
r= (1/2)a/sqrt[5-2sqrt(5)] = (1/2)a sqrt[5-2sqrt(5)]/[5-2sqrt(5)] = (1/2)a sqrt[5-2sqrt(5)][5+2sqrt(5)]/5
=(1/10)a sqrt[5-2sqrt(5)]sqrt[45+20sqrt(5)] = (1/10)a sqrt{[5-2sqrt(5)][45+20sqrt(5)]} =(1/10)a sqrt[25+10sqrt(5)]

Erzeugen eines Fünfecks top
Zeichnen mit Zirkel und Geodreieck
Das ist die einfachste Methode.
...... Zeichne 4 (besser zur Kontrolle 5) Winkel von 72° nebeneinander mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt. Beginne mit einem vertikalen Schenkel. 
Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt. Die Schnittpunkte des Kreises mit den Schenkeln sind die Eckpunkte eines Fünfecks.


Konstruktion
Gegeben sei die Strecke a. Das Fünfeck soll nur mit Zirkel und Lineal gezeichnet werden.

Man nutzt in der folgenden Konstruktion aus, dass die Diagonalen im Fünfeck gleich lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen. 
...... Gegeben sei die Strecke d=AB. Der Punkt T teilt sie im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Die Beschreibung der Konstruktion findet man auf meiner Seite Doppelquadrat. Die Strecke AB wird die Diagonale eines Fünfecks.
Die weitere Konstruktion:
...... Die Punkte A, B und T sind also gefunden.
Trage die Strecke TB von A aus auf AB ab. Der Punkt P1 entsteht. 
Zeichne um T und P1 Kreise mit dem Radius TB. Der Punkt P2 entsteht.
Verbinde den Punkt P2 mit A und B. Der Winkel AP2B ist der Innenwinkel von 108° des Fünfecks.

......
Trage an die gegebene Strecke a den Winkel von 108° beidseitig an.
Trage die Strecke a auf den freien Schenkeln ab.
Trage wiederum an den neuen Strecken a den Winkel von 108° an.
Die freien Schenkel schneiden sich im fünften Eckpunkt des Fünfecks.

Basteln
Bindet man mit einem Papierstreifen einen Knoten ("Überhandknoten") und zieht vorsichtig an den Papierenden, so entsteht erstaunlicherweise ein Fünfeck. 

Zwei Quadrate im Fünfeck top
......
...
Es gibt zwei Möglichkeiten, ein möglichst großes Quadrat in das Fünfeck einzupassen.


...... Wie beim gleichseitigen Dreieck  sind die Flächeninhalte nach der Zeichnung in etwa gleich, so dass eine Rechnung klären muss, welche Größenbeziehung besteht.

1) Eine Quadratseite liegt parallel zur Grundseite des Fünfecks.
...... Man legt die Figuren in ein kartesisches Koordinatensystem.

Die Eckpunkte A und B des Quadrats liegen auf den Geraden g und k. 
Ihre Gleichungen werden bestimmt.

g:
Es wird die Zwei-Punkte-Darstellung gewählt. 
(y-0)/(x-a/2) = (h1-0)/(d/2-a/2) oder y = 2h1/(d-a)(x-a/2) oder y=2h1/(d-a)x-h1a/(d-a).
h:
Die Gleichung kann man direkt ablesen. y = -2(h-h1)/dx+h

Die Figur im Fünfeck ist ein Quadrat, wenn die Differenz der y-Werte von A und B gleich dem doppelten x-Wert ist.
Die Seitenlänge des Quadrates ist dann e=2x.
Das führt zum Ansatz
[-2(h-h1)/dx+h] - [2h1/(d-a)x+ah1/(d-a)]= 2x 
<=>  [-2(h-h1)/d-2h1/(d-a)-2]x =-h-ah1/(d-a)
<=>  [2(h-h1)/d+2h1/(d-a)+2]x =h+ah1/(d-a)
<=>   x=[h+ah1/(d-a)]/[2(h-h1)/d+2h1/(d-a)+2)]
Es ist wohl nicht möglich, den Term wesentlich zu vereinfachen. Deshalb übernimmt ein Computer eine Zahlenrechnung.
Die Quadratseite ist AB=1,0605a.

2) Das Quadrat steht auf der Spitze.
......
Man legt die Figuren in ein kartesisches Koordinatensystem.
Der Eckpunkt A und B des Quadrats liegt auf den Geraden g und k. Deshalb werden ihre Gleichungen bestimmt.
g:
Wie oben gezeigt ist die Gleichung y=2h1/(d-a)x-h1a/(d-a)
m:
Die Gleichung kann man direkt ablesen. y = -x+h.
Punkt A ist der Schnittpunkt beider Geraden. 
Dann ist  2h1/(d-a)x-h1a/(d-a) = x+h oder 2h1/(d-a)x+x  = h+h1a/(d-a) oder 
x = [(h+h1a/(d-a)]/[2h1/(d-a)+1]
Die Seite des Quadrats ist dann e=sqrt(2)x.
Es ist wohl nicht möglich, den Term wesentlich zu vereinfachen. 
Deshalb übernimmt ein Computer eine Zahlenrechnung.
Die Quadratseite ist AB=1,0674a.
Ergebnis: Das zweite Quadrat ist größer als das erste, und zwar nur um 0,65%.

Dreieck und Fünfeck
An Stelle des Quadrates können gleichseitige Dreiecke im Fünfeck liegen. 
Dreiecke um das Fünfeck zu legen ist vielleicht auch interessant.
 

e=2 [(h+ah1/(d-a)]/([2h1/(d-a)+sqr(3)], 
gerundet 1,280a

e=2h/[2(h-h1)/d+sqrt(3)]
gerundet 1,252a


e=d+(2/3)sqrt(3)h1, gerundet 2,716a

e=d+(2/3)sqrt(3)(h-h1), gerundet 2,297a

Die Formeln für die Seitenlängen der inneren Dreiecke leitet man wie bei den Quadraten im Fünfeck her. Die Formeln der Umdreiecke ergeben sich aus dem zweiten Strahlensatz.

Figuren im Fünfeck top



Folgen aus Fünfecken top


Fünfeckszahlen  top

Die Folge ist 
1, 6, 11, 16,  21, ...  allgemein 5n-4 (n=1,2,3,...)

Die Folge ist 
5, 10, 15, 20, ..., allgemein 5n


Die Folge ist 
1, 6, 16,31, 51..., allgemein (5n²-5n)/2+1

Die Folge ist 
1, 5, 12, 22, 35,... allgemein (3n-1)n/2


Körper und Fünfecke top
Deltaeder sind Körper, die nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzt werden. Unter ihnen gibt es zwei konvexe Körper, bei denen das regelmäßige Fünfeck eine "tragende" Rolle spielt.
Der erste Körper ist die pentagonale Doppelpyramide.
......
Auf ein Fünfeck werden zu beiden Seiten hin gerade Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen gesetzt.
Der zweite Körper ist das Ikosaeder.
......
Ein Ikosaeder entsteht, wenn man zwei parallel liegende Fünfecke um einen Winkel von 36° gegeneinander verdreht und mit einem Netz aus zehn gleichseitigen Dreiecken verbindet. 
Es entsteht ein Antiprisma. Schließlich setzt man auf die Fünfecke Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen. 
Mehr über Deltaeder findet man an anderer Stelle.



Zwölf Fünfecke bilden den platonischen Körper Pentagondodekaeder


Die archimedische Körper Ikosidodekaeder, kleines Rhombenikosidodekaeder und abgeschrägtes Dodekaeder enthalten Fünfecke.

Pentagramm als überschlagenes Fünfeck top
...... Betrachtet man bei einem regelmäßigen Fünfeck ABCDE nur die Diagonalen, so bilden sie einen Stern, das Pentagramm.


...... Man kann im Pentagramm auch ein überschlagenes, regelmäßiges Fünfeck sehen. Man muss dazu nur die Punkte ABCDEA verfolgen. Dann sind AB, BC, CD, DE, EA die Seiten des überschlagenen Vierecks und AD, DB, BE, BE, EC, CA die Diagonalen.

Oben wurde die Formel d=(1/2)[1+sqrt(5)]a hergeleitet. 
Daraus folgt a=2/[1+sqrt(5)]d=2[1-sqrt(5)]/(1-5)d=(1/2)[sqrt(5)-1]d.
Damit errechnet sich die Diagonale eines überschlagenen Fünfecks aus der Seite nach der Formel AD=(1/2)[sqrt(5)-1]*AB.


...... ...... Zwölf Pentagramme bilden zwei regelmäßige Körper, nämlich das Kleine Sterndodekaeder und das Große Sterndodekaeder.

Sie gehören zu den Keplerschen Körpern, die an anderer Stelle meiner Homepage behandelt werden.


Fünfecke und Pentagramme im Internet   top

Deutsch

Claus Schönleber / Frank Klinkenberg-Haaß
Goldene Schnittmuster

Christian Strutz
Über die Eigenschaften der Zahlen Phi und phi

Rainer Kaske
Konstruktion eines Fünfecks

Udo Hebisch (Mathematisches Café) 
Pentagon, Dodekaeder

Wikipedia
Fünfeck, Pentagramm, Drudenfuß (Symbol), Formelsammlung Trigonometrie


Englisch

Alexander Bogomolny (Cut-the Knot)
Inscribing a regular pentagon in a circle  - and proving it (Scott E. Brodie)

Harvey Heinz
Order 5 Magic Stars

Eric W. Weisstein  (MathWorld) 
Pentagon, Pentagram, Pentaflake, Five Disks ProblemHoehns Theorem

G. Korthals Altes
Paper Model Pentagrammic Prism

Grand Lodge of British Columbia and Yukon A.F. & A.M
The pentagram,  (freemasonry= Freimaurertum)

Wikipedia
Pentagon, Pentagram, Pentagrammic prism



Referenzen   top
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York, London 1997 (ISBN0-393-04002-X) 

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http://www.mathematische-basteleien.de/

© 2004 (ergänzt 2010)  Jürgen Köller

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