Epizykloide
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Was ist eine Epizykloide?
Parameterdarstellung der Epizykloide
Einfach geschlossene Kurven
Flächeninhalt und Umfang
Mehrfach umlaufende Kurven
Nicht geschlossene Kurven
Epitrochoide
Hypozykloide
Verfremdung der Parametergleichungen
Spirograph
Epizykloide im Internet
Referenzen.
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Was ist eine Epizykloide?
...... Gegeben sei ein (erzeugender) Kreis mit dem Radius R. Rollt man einen zweiten Kreis mit dem Radius r auf ihm ab und verfolgt man dabei die Bahn eines Punktes P auf der Kreislinie, so entsteht die Epizykloide. 

In diesem Falle gilt R=2r oder 2pi*R=2*(2pi*r). 
Dann ergibt sich eine einfach geschlossene Kurve, die Nephroide.


Die Kurve ist verwickelter, wenn das Verhältnis R:r nicht mehr ganzzahlig ist. 
... Ist das Verhältnis rational, schließt sich die Kurve nach etlichen Umläufen. 

Hier ist R:r=7:2. Die Kurve schließt sich nach zwei Umläufen.


... Ist das Verhältnis irrational wie z.B. bei R:r=7:sqrt(2), schließt sich die Kurve nicht. 

Eine Eigenschaft ist diesen Epizykloiden gemeinsam: Sie liegen in einem Kreisring, der von dem erzeugenden Kreis mit dem Radius R und einem Hüllkreis mit dem Radius R+2r gebildet wird.

Parameterdarstellung der Epizykloide     top
Die Epizykloiden auf dieser Seite werden mit Hilfe einer Parameterdarstellung mit dem Programm Winplot gezeichnet. Die Formeln lauten 

x=(R+r) cos(t)-r cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-r sin[(1+R/r)t]
Es gilt D=|R.

Herleitung der Formeln
... Wegen der Rollbedingung sind die Kreisbögen über AB und AP gleich.
Es gilt b(AB)=(pi*alpha*R)/180° und b(AP)=[pi*(90°-alpha+beta)*r]/180°.
Daraus folgt alpha*R=(90°-alpha+beta)*r oder beta=(1+R/r)alpha-90°.
Im gelben Dreieck ODM gilt
sin(alpha)=MD/OM oder MD=(R+r)*sin(alpha) und 
cos(alpha)=OD/OM oder OD=(R+r)*cos(alpha). 
Im grünen Dreieck EPM gilt
sin(beta)=EP/MP oder EP=r*sin(beta) 
cos(beta)=ME/MP oder ME=r*cos(beta) 
Weiter ist
x=OD+EP=(R+r)*cos(alpha)+r*sin(beta)=(R+r)*cos(alpha)+r*sin[(1+R/r)alpha-90°]
=(R+r)*cos(alpha)-r*cos[(1+R/r)alpha]
y=MD-ME=(R+r)*sin(alpha)-r*cos(beta)=(R+r)*sin(alpha)-r*cos[(1+R/r)alpha-90°]
=(R+r)*sin(alpha)-r*sin[(1+R/r)alpha].

Es ist üblich, die Winkel im Bogenmaß anzugeben. Man setzt also alpha=t und erhält
x=(R+r) cos(t)-r cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-r sin[(1+R/r)t].

Einfach geschlossene Kurven     top
Von Interesse ist die einfach geschlossene Kurve, die sich ergibt, wenn das Verhältnis der Radien der beiden beteiligten Kreise ganzzahlig ist. In diesem Falle setzt man gerne in die Parametergleichungen R/r=m ein. 
x=(R+r) cos(t)-r cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-r sin[(1+R/r)t].
x=(m+1)r cos(t)-r cos[(m+1)t]
y=(m+1)r sin(t)-r sin[(m+1)t]


Beipiele
Kardioide

m=1
Nephroide

m=2
Dreistrahlige Epizykloide

m=3
Vierstrahlige Epizykloide

m=4
Fünfstrahlige Epizykloide

m=5
D={t | 0<=t<=2pi}

Beschreibung der Kurven
...... >Sie bestehen aus m kongruenten Bögen, die sich über dem erzeugenden Kreis wölben.
>Für die Winkel 2(k-1)pi/m (1<=k>=m) ergeben sich Spitzen, die auf dem Kreis mit dem Radius R liegen. 
>Für die Winkel 2[(k-1)/2]pi/m (1<=k>=m) ergeben sich Scheitel, die auf einem Kreis mit den Radius R+2r liegen.
>Die nebenstehende Epizykloide wird dargestellt durch
x=6cos(t)-cos(6t)
y=6sin(t)-sin(6t)

Flächeninhalt und Umfang     top
Es stellt sich für die einfach geschlossene Epizykloide die Frage nach dem Flächeninhalt und dem Umfang.


Kardioide
Auf meiner Seite Herzkurve stelle ich dar, wie man sie für die Kardioide (m=1) bestimmt.
Dieses Verfahren lässt sich nicht verallgemeinern, da es offenbar eine entsprechende Polargleichung der Epizykloide für den allgemeinen Fall nicht gibt. (Bei Mathworld/Epicycloid findet man eine Ersatzgleichung.)

Allgemeine Formeln
In der Literatur findet man die Formeln A=(m+1)(m+2)pi*r² und U=8(m+1)r.

Anwendung auf einfache Epizykloiden
Kardioide
m=1
A=6pi*r²
U=16r
Nephroide
m=2
A=12pi*r²
U=24r
Dreistrahlige Epizykloide
m=3
A=20pi*r²
U=32r
Vierstrahlige Epizykloide
m=4
A=30pi*r²
U=40r
Fünfstrahlige Epizykloide
m=5
A=42pi*r²
U=48r

Andere Lesart der Formel für den Flächeninhalt
...... In Buch (3) findet man die Formel für die Fläche zwischen dem erzeugenden Kreis und einem Bogen.
A'=pi*r²(3R+2r)/R.

Die Gesamtfläche ist dann 
A=mA'+pi*R²=m[pi*r²(3R+2r)/R]=...=pi*r²(m²+3m+2)=(m+1)(m+2)pi*r², wie oben angegeben.


Zur Herleitung der Formel A=(m+1)(m+2)pi*r².
Für die Berechnung des Flächeninhalts steht die Sektorformel von Leibniz bereit.
x(t)=(m+1)r cos(t)-r cos[(m+1)t]
y(t)=(m+1)r sin(t)-r sin[(m+1)t]
x'(t)=-(m+1)r sin(t)+r (m+1)sin[(m+1)t] 
y'(t)=(m+1)r cos(t)-r (m+1)cos[(m+1)t]


Es gilt x(t)y'(t)-y(t)x'(t)
= (m+1)²r²[sin²(t)+cos²(t)]+(m+1)r²{sin²[(m+1)t]+cos²[(m+1)t]}
-[(m+1)²r²+(m+1)r²]{sin(t)sin[(m+1)t]+cos(t)cos[(m+1)t]}
=(m+1)²r²+(m+1)r²-[(m+1)²r²+(m+1)r²]cos(mt)
=[(m+1)²r²+(m+1)r²][1-cos(mt)]
=(m+1)(m+2)r²[1-cos(mt)]
Dann ist
,wzbw.

Zur Herleitung der Formel U=8(m+1)r
......
Für die Länge eines Bogens steht die nebenstehende Formel bereit.
Es gilt [x'(t)]²+[y'(t)]²
={-(m+1)r sin(t)+r (m+1)sin[(m+1)t]}²+{(m+1)r cos(t)-r (m+1)cos[(m+1)t]}² 
=(m+1)²r²+(m+1)²r²-2(m+1)²r²{sin(t)sin[(m+1)t]+cos(t)cos[(m+1)t]}
=2(m+1)²r²-2(m+1)²r²cos(mt)
=(m+1)²r²[2-2cos(mt)].
Dann ist 

, wzbw.


Mehrfach umlaufende Kurven     top
Die Kurve ist verwickelter, wenn das Verhältnis R:r nicht mehr ganzzahlig ist. 
Ist das Verhältnis rational wie z.B. bei R:r=7:2, schließt sich die Kurve nach etlichen Umläufen. 
Die Parametergleichungen sind hier 
x=9cos(t)-2cos[(9/2)t]
y=9sin(t)-2sin[(9/2)t]
D={t | 0<t<4pi}
Ist das Verhältnis R:r=p/q, wobei p und q teilerfremde Zahlen sind, so schließt sich die Kurve nach q Umläufen. 


Beispiele

R:r=7:1
D=[0;2pi]

R:r=7:2
D=[0;4pi]

R:r=7:3
D=[0;6pi]

R:r=7:4
D=[0;8pi]

R:r=7:5
D=[0;10pi]


R:r=1:7
D=[0;14pi]

R:r=2:7
D=[0;14pi] 

R:r=3:7
D=[0;14pi]

R:r=4:7
D=[0;14pi]

R:r=5:7
D=[0;14pi]

Nicht geschlossene Kurven top
... Ist das Verhältnis irrational wie z.B. bei R:r=7:sqrt(2), schließt sich die Kurve nicht. 

x=8.414cos(t)-1.414cos[8.414/1.414)t]
y=8.414sin(t)-1.414sin[(8.414/1.414)t]
0<t<14pi


Bögen wölben sich über dem erzeugenden Kreis. Mit größer werdendem Parameter verschieben sie sich entgegen dem Uhrzeigersinn. Das zeigt auch die folgende Bildreihe.

0<t<4pi

0<t<14pi

0<t<34pi

0<t<100pi

Epitrochoiden    top
Gewöhnliche Epizykloide (oder Gemeine E.)
... Bisher verfolgte man beim Abrollen einen Punkt P auf der Kreislinie des abrollenden Kreises. 

Es entsteht die gewöhnliche Epizykloide. 


Auch Punkte, die nicht auf der Kreislinie liegen, beschreiben eine geschlossene Kurve, die Epitrochoide.

Da unterscheidet man, ob der Punkt P innerhalb oder außerhalb des abrollenden Kreises liegt. 

In beiden Fällen erfasst man die Kurven durch die leicht abgeänderten Parametergleichungen von oben.

x=(R+r) cos(t)-a cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-a sin[(1+R/r)t]
Die Variable a gibt die Entfernung des Punktes P vom Mittelpunkt des abrollenden Kreises an. Bisher war a=r.

Gestreckte Epizykloide (oder Verkürzte E.)
Der Punkt P liegt  innerhalb des abrollenden Kreises in der Entfernung a von seinem Mittelpunkt.
......
a=0,5r
Gegenüber der gewöhnlichen Epizykloide werden die Spitzen zu Einbuchtungen. 

Die Scheitel und Einbuchtungen werden geglättet und die Epizykloide artet zum Kreis aus, wenn die Variable a sich Null nähert.


Verschlungene Epizykloide (oder Verlängerte E.)
Der Punkt P liegt außerhalb des Kreises in der Entfernung a von seinem Mittelpunkt.
......
a=2r

Wie der Name besagt, treten bei der verschlungenen Epizykloide Schlingen auf. 

Diese werden umso größer, je größer die Variable a ist. 
Sie überlagern sich schließlich so weit, dass sie innen m-Ecke aus Bögen bilden. 

Das zeigen die folgenden Bildreihen. 


Es folgen Epizykloiden für m=3 und für verschiedene Parameter a. 

Es folgen Epizykloiden für m=4 und für verschiedene Parameter a. 


Hypozykloide    top
...... ...... Eine Hypozykloide entsteht, wenn sich ein Rollkreis nicht um, sondern in einem erzeugenden Kreis bewegt. Dabei verfolgt man den Weg eines Kreispunktes des abrollenden Kreises.


Die Hypozykloide wird auch durch ähnliche Parametergleichungen wie bei Epizykloide beschrieben.
x=(R-r) cos[(r/R)t]+a cos[(1-r/R)t]
y=(R-r) sin[(r/R)t]-a sin[(1-r/R)t]

Die Gleichungen werden auf meiner Webseite Spirograph hergeleitet und angewandt.


Einige Beispiele

R:r=7:1, a=1

R:r=7:2, a=1

R:r=7:3, a=1

R:r=7:3, a=2

R:r=7:3, a=4

Verfremdung der Parametergleichungen    top

x=6cos(t)-cos(6t) 
y=6sin(t)-sin(6t)

x=6cos(t)-cos(30t) 
y=6sin(t)-sin(t)

x=6cos(t)-cos(25t) 
y=6sin(t)-sin(25t)

x=8cos(t)-cos(6t) 
y=6sin(2t)-sin(6t)

x=6cos(t)-cos(20t) 
y=6sin(2t)-sin(20t)

Meist wurden die Figuren noch gedreht, damit die Symmetrieachse vertikal steht.


Die Bilder von oben jetzt mit Farbe


Spirograph     top
...... Epi- und Hypozykloide bilden die Grundlage eines weit verbreiteten Spielzeugs, des Spirographen.


Epizykloide im Internet top

Deutsch

Norbert Treitz
Animationen zu Epi- und Hypotrochoiden

Stefan Hübbers 
Betrachtung von Epizykloiden

Universität Innsbruck
Apparat zur optischen Demonstration von Lissajous - Figuren

Wikipedia
Epizykloide, Kardioide, Nephroide, Zykloide, Sektorformel von Leibniz, Spirograph (Spielzeug)


Englisch

Eric W. Weisstein   (MathWorld)
Epicycloid, Cardioid, Nephroid, Ranunculoid, Tusi Couple

Famous Curves Index
Epicycloid, Cardioid, Nephroid, Hypocycloid

Gerd Breitenbach
Curves of planetary motion in geocentric perspective: Epitrochoids

Richard Parris
Winplot

Saltire Software 
Area Enclosed by a General Hypocycloid

Wikipedia
Epicycloid, Cardioid, Nephroid, Epitrochoid, Hypocycloid, Spirograph
Xahlee
Epicycloid and Hypocycloid, Epitrochoid, Hypotrochoid

Marius Mikucionis
Epitrochoid generator

David Little
SpiroGraph


Französisch

Robert FERRÉOL, (Mathcurve)
ÉPICYCLOÏDE, CYCLOÏDE SPHÉRIQUE, HYPOCYCLOÏDE


Referenzen    top
(1) Wilhelm Leupold (u.a.):  Analysis für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966 
(2) Heinz Nickel (u.a.):  Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966 
(3) W. Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 


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©  2011 Jürgen Köller

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