Dreistrahlige Figuren
Inhalt dieser Seite
Was ist eine dreistrahlige Figur?
Beispiele dreistrahliger Figuren
Zykloiden
Besondere Zykloiden
Figuren aus Gleichungen mit Polarkoordinaten
Dreistrahlige Körper
Dreistrahlige Figuren im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine dreistrahlige Figur?
......
Eine dreistrahlige Figur ist eine drehsymmetrische oder kreissymmetrische Figur von der Ordnung drei. 
Das heißt, dass sie ein Drehzentrum hat und dass sie bei jeder Dritteldrehung um dieses Zentrum in sich selbst übergeht. 
......


..... Auch das gleichseitige Dreieck ist dreistrahlig. 

Bei ihm kommt noch Achsensymmetrie mit drei Symmetrieachsen hinzu.

......

Diese Seite hat den gleichen Aufbau wie meine Seite Vierstrahlige Figuren.

Beispiele dreistrahliger Figuren    top

Gleichseitige Dreiecke

Quadrate

Rauten

30-60-90-Dreiecke



Drei Kreise

Vier Kreise

60°-Kreisausschnitte

Drei Figuren


Vorsicht radioaktiv

Kreisverkehr

Triskele

Dreifachspirale

Dreifachknoten
 

Maßwerk (Dreipass)

Zykloiden    top
Eine Herausforderung liegt darin, dreistrahlige Figuren mit Hilfe von Formeln zu zeichnen. Da bieten sich die Zykloiden an. 
Epizykloide
...... Man stelle sich vor, ein Kreis liege fest und ein zweiter Kreis mit einem dreimal so kleinen Radius rolle um einen großen Kreis (Leitkreis) herum. Verfolgt man dabei einen Punkt auf der Kreislinie des beweglichen Kreises, so beschreibt er eine geschlossene Linie mit drei Einkerbungen. Diese Linie heißt Zykloide, genauer Epizykloide. Diese Figur ist dreistrahlig. 


Beschreibt man das Abrollen durch Formeln, so ergibt sich: 
Epipozykloide, allgemein


Dabei sind R und r die Radien der Kreise. 

Epizykloide für R=3r
 

x(t)=4r*cos(t/3)-a*cos(4t/3)
y(t)=4r*sin(t/3)-a*sin(4t/3)

Oben in der Zeichnung ist a=r. 

Die Variable a gibt die Entfernung des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an. 

Es folgen Epizykloiden für r=1 und verschiedene Parameter a. 
Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)


Hypozykloide
...... Rollt man den kleinen Kreis innen ab, so entsteht eine Figur mit drei Spitzen, die Hypozykloide.

Beschreibt man das Abrollen durch Formeln, so ergibt sich: 
Hypozykloide, allgemein


Dabei sind R und r die Radien der Kreise. 

Hypozykloide für R=3r

x(t)=2r*cos(t/3)+a*cos(2t/3)
y(t)=2r*sin(t/3)-a*sin(2t/3)

Oben in der Zeichnung ist a=r. 

Die Variable a gibt die Entfernung des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an. 

Es folgen Hypozykloiden für r=1 und verschiedene Parameter a.
Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)

Besondere Zykloiden  top
Von den oben vorgestellten Zykloiden mit R=3r sind drei hervorzuheben. 
Trifolium (Hypozykloide, a=2r)
......
In Polar-Koordinatensystem hat das Trifolium eine besonders einfache Darstellung:
r=a*sin(3t) [0<t<2*pi]. 

Die Länge ist 16,68a und der Flächeninhalt (1/4)*pi*a².
Die Länge kann nur angenähert angegeben werden, da die Rechnung auf ein elliptisches Integral führt.
Quelle: MathWorld (URL unten)


Deltoid (Hypozykloide, a=r)

Es gilt 0<t<6*pi.
Der Umfang ist 16a und der Flächeninhalt 2*pi*a².
Quelle: (1) Seite 93

Dreistrahlige Epizykloide

Figuren aus Gleichungen mit Polarkoordinaten   top
Es ist eine schöne Spielerei, die Formel r'=sin(3t) des Trifoliums z.B.abzuändern und so zu neuen dreistrahligen Figuren zu gelangen. Es gilt für alle Kurven 0<t<2*pi.


Den linken Graphen unten des Kleeblatts fand ich bei Robert Ferreol (URL unten)

Dreistrahlige Körper top
Zur Definition
Verschiebt man eine Figur in Normalenrichtung, so entsteht ein Prisma. 

Ist die Figur dreistrahlig, so ist auch das Prisma dreistrahlig. 
Dabei wird der Drehpunkt durch eine Drehachse ersetzt.
Außerdem hat dieser Körper an Stelle dreier Symmetrieachsen drei Symmetrieebenen. 


Dreistrahliges aus der Pflanzenwelt 

Horn-Sauerklee,
ein hübsches, aber gefürchtetes Unkraut

Schneeglöckchen

Buchecker

Hasenfenster in Paderborn 
...... Das Hasenfenster befindet sich im Kreuzgang des Paderborner Domes. Es ist das Maßwerk eines gotischen Fensters aus dem 16.Jahrhundert. 

"Drei Hasen und der Löffel drei - und dennoch hat ein jeder zwei" 
 

Das Hasenfenster ist ein Beispiel eines dreistrahligen Körpers ohne Symmetrieebenen. 


Deckenventilator 
Dieses Bild wird man in den Tropen immer weniger antreffen. 

Die Ventilatoren werden wegen der Klimaanlagen überflüssig.


Lake Point Tower in Chicago
.......
..2005


Informationen über dieses interessante und schöne Hochhaus findet man u.a. auf der englischsprachigen Wikipedia-Seite "Lake Point Tower" (URL unten). 


Dreistrahlige Figuren im Internet    top

Deutsch

Claas Hickl 
Quattrofolium (Entdecke die Welt der Kleeblätter)

Wikipedia
Zykloide, Epizykloiden, Symmetrie (Geometrie), Triskele



Englisch

EricW.Weisstein  (MathWorld)
Trifolium, Hypocycloid

Richard Parris   (peanut Software) 
Program WINPLOT

Wikipedia
Rotation, Rotational symmetry, Triquetra, Triskelion, Lake Point Tower

Xah Lee 
Deltoid



Französisch

Robert FERRÉOL
DELTOÏDE



Referenzen    top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987

 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2006 Jürgen Köller

top