Parallelepiped
Inhalt dieser Webseite
Was ist das Parallelepiped? 
Mögliche Entstehung
Eigenschaften
Beschreibung mit Vektoren
Größen
Spatprodukt
Rhomboeder
Weitere Körper
Calcit
Parallelepiped im Internet
Referenz
.
Zurück zu Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist das Parallelepiped? 
...... Das Parallelepiped ist ein Körper, der von sechs paarweise kongruenten und parallel zueinander liegenden Parallelogrammen gebildet wird.
Es heißt auch Spat oder Parallelflach.


Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht das Parallelepiped räumlich. 


Der Quader und der Würfel sind spezielle Parallelepipede.
Das Parallelepiped wiederum ist ein spezielles schiefes Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche. Darüber hinaus ist es auch ein Hexaeder (Sechsflächner).

Mögliche Entstehung top
 

Man stelle sich vor, die Kanten des Quaders seien Stäbe. Dann entsteht das Parallelepiped durch Pressen und Dehnen eines Quaders. Es kann also als ein verformter Quader angesehen werden.
Mathematisch ausgedrückt entsteht das allgemeine Parallelepiped aus einem Quader durch Hintereinanderschaltung von Scherungen.


Eigenschaften
Die folgenden Eigenschaften hat auch der Quader.
...... Das Parallelepiped hat 8 Eckpunkte, 8 Kanten und 6 Seitenflächen.
An jedem Eckpunkt treffen 3 Kanten aufeinander. 
Jeweils 4 Kanten liegen parallel und sind gleich lang.


...... Es gibt vier Raumdiagonalen, die sich in einem Punkt schneiden.
Das Parallelepiped ist punktsymmetrisch bezüglich dieses Punktes. 

...... Ein Netz des Parallelepipeds ist wie beim Quader ein "Kreuz".

Eine Klasseneinteilung
...... Dehnt man einen Quader, so entstehen zwei Spitzen. An diesen Eckpunkten treffen drei spitze Winkel aufeinander. An den sechs übrigen Eckpunkten liegen zwei stumpfe und ein spitzer Winkel an.
Das Parallelepiped erscheint als ein Körper mit zwei Spitzen.

...... Staucht man einen Quader, so entstehen zwei stumpfe Enden. An diesen Eckpunkten treffen drei stumpfe Winkel aufeinander. An den sechs übrigen Eckpunkten liegen zwei spitze und ein stumpfer Winkel an. 
Das Parallelepiped erscheint als ein abgeplatteter Körper.

In einer dritten Klasse liegen Parallelepipede mit einem, zwei oder drei Paaren von Rechtecken. Darunter sind auch die Quader.

So können die Parallelepipede in drei Klassen eingeteilt werden. 

...... Auf der Webseite von G. Korthals Altes findet man drei Vorlagen für Papiermodelle aus je einer Klasse.
(URL unten).

Beschreibung mit Vektoren 
Assoziatives Gesetz
Für die Addition von Vektoren gilt das Assoziativgesetz. Es lautet A+(B+C)=(A+B)+C
(Vektoren werden mit großen, fetten Buchstaben geschrieben.)
Durch Hintereinander-Hängen von Vektoren kann es veranschaulicht werden. 

A+(B+C)

(A+B)+C
Die Ergebnisvektoren sind gleich.


...... Wählt man als Vertreter der drei Vektoren die, die von einem Punkt ausgehen und ergänzt das "Dreibein" zu einem Parallelepiped, so bilden die Ergebnisvektoren eine Raumdiagonale. 
Man schreibt A+B+C wegen des assoziativen Gesetzes auch ohne Klammern.

Koordinaten der Eckpunkte
...... Die drei Vektoren A, B und C spannen ein Parallelepiped auf und können als Basisvektoren eines Koordinatensystems angesehen werden.
Dann erfasst man die Eckpunkte des Parallelepipeds durch Ortsvektoren bzw. Koordinaten. 

...... Zum Beispiel gilt Vektor(P1P7)=A+B+C oder P7 hat die Darstellung P7(1|1|1).
Entsprechend leitet man P2(1|0|0), P3(1|1|0), P4(0|1|0), P5(0|0|1), P6(1|0|1), P7(1|1|1) und  P8(0|1|1) her. 
Der Nullpunkt ist P1(0|0|0), der Mittelpunkt M(0,5|0,5|0,5).

Größen  top
Wie viele Größen benötigt man, um das Parallelepiped festzulegen?

Das Grundparallelogramm
ist gegeben durch a, b und alpha.

Das Seitenparallelogramm
ist dann gegeben durch c und beta.

Der Neigungswinkel
ist gamma.


...... Das Parallelepiped wird also durch 6 Größen bestimmt.
Im Allgemeinen sind es die drei Kanten a, b, c und die drei Winkel der Parallelogramme alpha, beta und gamma.

Zwei Formeln
Aus den sechs Größen ergeben sich die Oberfläche O des Parallelepipeds und sein Volumen V.
Die Formeln lauten
O=2ab*sin(alpha)+2bc*sin(beta)+2ac*sin(gamma) und
V=abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)].

Herleitungen
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms wird bestimmt durch die Formel A=ab*sin(alpha), wobei a und b die Seiten und alpha der Winkel zwischen ihnen ist.
Die Oberfläche ist die Summe der Flächeninhalte der sechs Parallelogramme.
O=2ab*sin(alpha)+2bc*sin(beta)+2ac*sin(gamma).

Für die Bestimmung des Volumens wird das Parallelepiped als schiefes Prisma angesehen. Für das Prisma ergibt sich das Volumen als Produkt aus Grundfläche und Höhe. Die Grundfläche ist mit A=ab*sin(alpha) der Flächeninhalt des Parallelogramms. 
...... Die Höhe ist eingezeichnet und kann nach cos(delta)=h/c durch h=c*cos(delta) ausgedrückt werden. Dabei ist delta der Winkel zwischen der Kante c und der Höhe h, die die Normalenrichtung der Grundfläche hat.
Dann ergibt sich für das Volumen V=ab*sin(alpha)*h=abc*sin(alpha)*cos(delta)

Wie man den Winkel delta eliminiert und die Winkel beta und gamma ins Spiel bringt und zur Formel
V=abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)]
gelangt, findet man im Internet auf einer Webseite von Mathpages (URL unten).
Im nächsten Kapitel steht nach einer längeren Vorbereitung eine zweite Herleitung der Volumenformel.

Spatprodukt  top
Definition
...... Oben wurde dargestellt, dass man das Parallelepiped vorteilhaft mit den Vektoren  A, B und C beschreibt. 
Es gilt weiter:
Das Volumen V ist der Betrag des "Spatproduktes" AxB*C, also V=|AxB*C|.


Beschreibung des Spatproduktes
Der Term |AxB*C| enthält die beiden Produkte der Vektorrechnung, das Skalarprodukt und das Vektorprodukt.

Das Skalarprodukt U*V wird so definiert.
...... Man projiziert den Vektor V auf den Vektor U. Das Produkt aus der Projektion |V|*cos(alpha) und |U| ist das Skalarprodukt: U*V= |U|*|V|*cos(alpha).

Sind die Vektoren im kartesischen Koordinatensystem als Spaltenvektoren gegeben, so berechnet sich das Skalarprodukt so:

Das Vektorprodukt UxV wird so definiert.
...... Das Vektorprodukt UxV ist ein Vektor, der senkrecht auf den Vektoren U und V steht und der den Betrag |U|*|V|*sin(alpha) hat. Das ist der Flächeninhalt des Parallelogramms.
U, V und UxV bilden dabei ein Rechtssystem. Wenn man den Vektor U um den kleineren Winkel in Richtung des Vektors V dreht und die Drehung mit der halbgeöffneten, rechten Hand andeutet, so zeigt der Vektor UxV in Richtung des Daumens.

Sind die Vektoren im kartesischen Koordinatensystem als Spaltenvektoren gegeben, so berechnet sich das Vektorprodukt so:

Der Betrag des Spatprodukts |AxB*C| ist das Produkt aus dem Flächeninhalt des Grundparallelogramms und der Projektion des Vektors C auf den Vektor AxB, und das ist die Höhe.
Der Term |AxB*C| ist also das Volumen.

Beweis der Formel für das Volumen
Es gilt |AxB*C|=abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)]

1.Schritt
Sind die Kantenvektoren des Parallelepipeds als Spaltenvektoren gegeben, so ist das Spatprodukt gleich der zugehörigen Determinante wie die folgende Rechnung zeigt.

2.Schritt
Für die weitere Rechnung lässt man sich einen Trick einfallen. Man bestimmt statt des Volumens V das Quadrat V² als Produkt aus der Determinante und einer zweiten Determinante mit dem gleichen Wert, in der aus den Spalten Zeilen werden.
Beim Multiplizieren der beiden Determinanten kommen so die Skalarprodukte ins Spiel. Man erhält zum Beispiel nach der Multiplikationsregel für Determinanten den Term C², indem man die dritte Spalte mit der dritten Zeile skalar multipliziert. 

3.Schritt
Ersetzt man die Skalarprodukte durch Terme mit den gegebenen Größen des Parallelepipeds, so erhält man die Determinante unten rechts. Berechnet man sie mit einigem Aufwand, so erhält man die gesuchte Formel.
Quelle für diese Überlegungen: http://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron

Rhomboeder  top
Ein besonderes Parallelepiped ist das Rhomboeder. Es wird von sechs kongruenten Rauten begrenzt.

Ein Rhomboeder sei durch die Kante a und den kleineren Winkel alpha gegeben.
Dann ist die Oberfläche O=2ab*sin(alpha)+2bc*sin(beta)+2ac*sin(gamma)=6a²sin(alpha) und
das Volumen V = abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)]
 = a³sqrt[1+2*cos³(alpha)-3cos²(alpha)].


60°-Rhomboeder
Ein besonderes Rhomboeder liegt vor, wenn die Innenwinkel der Rauten 60° und 120° betragen.
Dann lässt es sich in zwei Tetraeder und ein Oktaeder aufteilen.
Da die Parallelepipede genau wie die Quader den Raum ausfüllen, gilt das auch für das Rhomboeder. 
So wird die Frage beantwortet, ob die Tetraeder oder die Oktaeder den Raum ausfüllen.
Die Antwort ist ja, aber nur in der Kombination von zwei Tetraedern und einem Oktaeder.

Goldenes Rhomboeder
...... Ist das Verhältnis der Diagonalen einer Raute 2p:2q = (1/2)[sqrt(5)+1], also gleich dem Verhältnis des goldenen Schnittes, so heißt sie Goldene Raute. 
Ein Rhomboeder aus Goldenen Rauten heißt dann Goldenes Rhomboeder. Der spitze Winkel ist etwas größer als 60°, nämlich 63,4°.
Entdeckt bei MathWorld (URL unten)

Dürer-Polyeder
...... Das Dürer-Polyeder ist ein an zwei Ecken dergestalt abgestumpftes Rhomboeder, dass es eine Umkugel hat.
Die Rauten des Rhomboeders haben die Innenwinkel 72° und 108°.

Die Abbildung befindet sich auf dem Kupferstich Melencolia I (1514) von Albrecht Dürer, auf dem man auch ein magisches Quadrat findet. 


Soma schräg
...... Aus den nebenstehenden Körpern soll man ein 3x3x3 Rhomboeder legen.
Mehr auf meiner Seite Die Somawürfel

Weitere Körper top
Dreiseitige Pyramide
...... Durch die Kantenvektoren des Parallelepipeds wird auch eine beliebige dreiseitige Pyramide beschrieben. 


...... Diese Pyramiden wiederholen sich im Parallelepiped. 
In der Zeichnung sind drei Pyramiden eingezeichnet. Sie füllen ein halbes Parallelepiped aus. Also kann man das Parallelepiped in 6 dreiseitige, gleiche Pyramiden aufteilen.

Für das Volumen V' einer beliebigen Pyramide gilt
V' = (1/6)V = (1/6)abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)].

Mittenkörper
...... Verbindet man die Mittelpunkte nebeneinander liegender Seitenflächen, so entsteht eine schiefe Doppelpyramide. Ein (rotes) Parallelogramm ist die gemeinsame Grundfläche.

Vier ihrer Eckpunkte sind Seitenmitten eines (blauen) Parallellogramms. Deshalb sind die (roten) Parallelogramme auch Rauten. 
...... Es gilt nämlich der Satz: Verbindet man die Seitenmitten eines Parallelogramms, so entsteht eine Raute.

Parallelepipede im Rhombendodekaeder
Mehr auf meiner Webseite Rhombendodekaeder

Calcit    top
...... Das Kristall des Kalkspats oder Calcits kann die Form eines Parallelepipeds haben.

So erklärt sich der zweite Name Spat für das Parallelepiped. 


Parallelepiped im Internet     top

Deutsch

Heinz Schumann
Vom Würfel zum Parallelflach (Spat) - dynamisch

Karl-Heinrich Meyberg
Methode des geschlossenen Streckenzuges beim Parallelflach   (.pdf-Datei)

scienceblogs.de
Quader mit ganzzahligen Diagonalen

Wikipedia
Parallelepiped, Rhomboeder, Scherung (Geometrie)Spatprodukt, Calcit, Hexaeder, Rhomboederstumpf, Melencolia I

Englisch

AMS
PERFECT PARALLELEPIPEDS EXIST

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Parallelepiped, Rhombohedron, Scalar Triple Product, Golden RhombohedronGolden Rhombus
Duerer's Solid

G. Korthals Altes 
Paper Model of an Oblique Rhombic Prism Parallelepipedoblique rhombic prism (.PDF)

Mathpages
Piero della Francesca's Tetrahedron Formula

Wikipedia
Parallelepiped, Rhombohedron, Triple product, Calcite, Hexahedron, Melencolia I

Wolfram Demonstrations Project
Perfect Parallelepipeds


Referenz   top
Heinz Nickel u.a: Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt / Zürich 1966 


Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/

©  2013 Jürgen Köller

top