Rechteck

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Was ist ein Rechteck?
Formeln
Einige besondere Rechtecke
Quadratur des Rechtecks
Vierecke und Rechtecke
Rechteck im Rechteck
Quadrate im Rechteck
Größte Rechtecke
Schar von Rechtecken

Aufteilung eines Rechtecks
Quader
Zur Definition des Rechteck
Ist das Quadrat ein Rechteck?
Das Quadrat ist ein Rechteck
Weitere Seiten
Rechteck im Internet
Referenzen
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Zur Hauptseite "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Rechteck?

...... ...Ein Rechteck ist - dem Wort folgend - ein Viereck mit rechten Winkeln....

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Auch das Quadrat ist ein Rechteck.
Es hat zusätzlich gleich lange Seiten und ist so ein Sonderfall des Rechtecks.

Formeln top
Grundformeln

...... Größen des Rechtecks sind
die Seiten a und b, die Diagonale e, der Radius des Umkreises R, der Umfang U und der Flächeninhalt A.

Im Allgemeinen ist ein Rechteck durch die Seiten a und b gegeben.
Daraus lassen sich die übrigen Größen berechnen.

Abstand von der Diagonalen

....	Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten a und b. Gesucht ist der Abstand h eines Eckpunktes von der Diagonalen e.

Lösung
Man führt die Hilfsgrößen p und q ein. Nach dem Kathetensatz gilt a²=pe und b²=qe oder p=a²/e und q=b²/e.
Nach dem Höhensatz gilt h²=pq=(a²/e)(b²/e)=(a²b²/e²)=(a²b²)/(a²+b²) oder h=(ab)/[sqrt(a²+b²)].
Ergebnis: Der Eckpunkt hat einen Abstand von h=(ab)/[sqrt(a²+b²)].

Einige besondere Rechtecke top
Goldenes Rechteck

...... Ein Rechteck heißt Goldenes Rechteck, wenn das Seitenverhältnis Phi=(1/2)[sqrt(5)+1] ist.

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Das ist auffällig:
Zeichnet man in das Rechteck ein Quadrat, so ist das Rest-Rechteck wieder ein Goldenes Rechteck.

Mehr findet man auf meiner Seite Goldener Schnitt.

Papierformat A4

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Das Rechteck aus der Seite und der Diagonalen eines Quadrat hat die Form eines Blattes der A-Reihe.

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Das ist auffällig:
Man kann das Rechteck so halbieren, dass das Seitenverhältnis erhalten bleibt.

Mehr findet man auf meiner Seite Papierformat A4.

Es folgt eine Zusammenstellung einiger Rechtecke.

1) Quadrat, 2) 3-4-5-Dreieck und seine Spiegelung, 3) Papierformat der A-Reihe, 4) Rechteck um zwei verkettete Quadrate, 5) Goldenes Rechteck, 6) 30-60-90-Dreieck und seine Spiegelung oder das gleichseitige Dreieck - neu zusammengesetzt, 7) Doppelquadrat

Quadratur des Rechtecks top
Es geht darum, zu einem Rechteck ein flächengleiches Quadrat zu bestimmen.

...... Die Rechenaufgabe ist problemlos. Aus ab=x² folgt x=sqrt(ab).

Die klassische Aufgabe bezieht sich auf die Konstruktion des Quadrates.

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Am bekanntesten sind vier Lösungen, die auf den Kathetensatz, den Höhensatz, den Sekanten-Tangenten-Satz und den Sehnensatz zurückgehen.

Die Konstruktion nach dem Sekanten-Tangenten-Satz könnte so aussehen.

1 Trage die kleinere Seite des Rechtecks auf der größeren ab.
2 Zeichne die Mittelsenkrechte und nehme auf ihr einen Punkt an.
3 Zeichne einen Kreis.
4 Verbinde einen Eckpunkt des Rechtecks mit dem Kreismittelpunkt.
5 Zeichne den Halbkreis des Thales.
6 Zeichne die Tangente.
7 Errichte über dem Tangentenabschnitt ein Quadrat.

Die Konstruktion nach dem Sehnensatz könnte so aussehen.

1 Verlängere die größere Seite des Rechtecks um die kleinere.
2 Zeichne die Mittelsenkrechte und nehme auf ihr einen Punkt an.
3 Zeichne den Kreis.
4 Verbinde einen Eckpunkt des Rechtecks mit dem Kreismittelpunkt.
5 Zeichne die senkrechte Gerade durch einen Eckpunkt des Rechtecks.
6 Errichte über die halbe Sehne das Quadrat.

Die Konstruktionen zum Kathetensatz und zum Höhensatz findet man bei Jürgen Ullwer (URL unten)

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Auch das "Ergänzungsparallelogramm" enthält ein Quadrat und ein flächengleiches Rechteck. Die Figur ist aber nicht geeignet, das Quadrat zu finden.

Man kann aber vom Quadrat zum flächengleichen Rechteck gelangen.

Vierecke und Rechtecke top
Zwei Mittenvierecke

...... Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten eines Rechtecks, so entsteht eine Raute.

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Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten einer Raute, so entsteht ein Rechteck.

Rechteck im Viereck

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Zeichnet man in ein Sehnenviereck die Diagonalen und in die Teildreicke die Inkreise ein, so bilden die Mittelpunkte dieser Kreise ein Rechteck.

Eine Darstellung und einen Beweis findet man auf der Homepage von Antonio Gutierrez unter dem Namen Sangaku Problem (URL unten).

Rechteck im Rechteck top
Gegeben sei ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b. In ihm soll ein Rechteck mit einer bekannter Seitenlänge k wie in der Skizze dargestellt eingepasst werden. Gesucht ist die zweite Seitenlänge d.

...... Es entstehen in den Ecken ähnliche rechtwinklige Dreiecke, deren Katheten x und y bzw. b-x und a-y sind.
Das wird ausgenutzt, um für die drei Suchvariablen x, y und d drei Formeln aufzustellen.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt (#) x:d = (a-y):k und (##) y:d = (b-x):k.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt (###) k² = (b-x)²+(a-y)².

Die Berechnung der Variablen d ist umfänglich und führt schließlich zu einer Gleichung vierten Grades:

(d²)² - (2k²+a²+b²)d² + (4abk)d + [(k²)²-a²k²-b²k²] =0

Ich setze aus schreibtechnischen Gründen (d²)² = d⁴.

Rechnung
Die Variablen x und y werden zunächst mit Hilfe der Gleichungen (#) und (##) bestimmt.

x:d = (a-y):k und y:d = (b-x):k
<=> kx = d(a-y)und yk = d(b-x)
<=> kx = ad-dy und yk = bd-dx
<=> dy = ad-kx und ky = bd-dx
<=> dky = adk-k²x und dky = bd²-d²x
<=> adk-k²x = bd²-d²x
<=> -k²x+ d²x = bd²-adk
<=> x = (bd²-adk)/(d²-k²)

x:d = (a-y):k und y:d = (b-x):k
<=> kx = d(a-y)und yk = d(b-x)
<=> kx = ad-dy und yk = bd-dx
<=> kx = ad-dy und dx = bd-ky
<=> dkx = ad²-d²y und dkx = bdk-k²y
<=> ad²-d²y = bdk-k²y
<=> d²y-k²y = ad²-bdk
<=> y = (ad²-bdk)/(d²-k²)

Die Gleichung (###) k² = (b-x)²+(a-y)² wird zu k² = b²-2bx+x²+a²-2ay+y² umgeformt.
Man setzt zur Vereinfachung x²+y² = d² und an Stelle von x und y die vorher bestimmten Terme.
k² = b²-2b(bd²-adk)/(d²-k²)+a²-2a(ad²-bdk)/(d²-k²)+d²

Beide Seiten der Gleichung werden mit dem Term d²-k² multipliziert.
k²(d²-k²) = b²(d²-k²)-2b²d²+2abdk+a²(d²-k²)-2a²d²+2abdk+d²(d²-k²)

Es wird ausmultipliziert.
k²d²-(k²)² = b²d²-b²k²-2b²d²+2abdk+a²d²-a²k²-2a²d²+2abdk+(d²)²-k²d²

Es wird geordnet und zusammengefasst.
(d²)²-2k²d²+b²d²-2b²d²+a²d²-2a²d²+4abdk-b²k²-a²k²+(k²)² = 0
(d²)²-2k²d²-b²d²-a²d²+4abdk-b²k²-a²k²+(k²)² = 0
(d²)²-(-a²-b²-2k²)d²+4abdk+[(k²)²-a²k²-b²k²] = 0

Es ergibt sich also eine Gleichung vierten Grades in d.
(d²)² - (2k²+a²+b²)d² + (4abk)d + [(k²)²-a²k²-b²k²] =0.
Es ist wohl wenig sinnvoll und auch abschreckend zu versuchen, die gesuchte Variable d durch einen Term anzugeben.
An einem Zahlenbeispiel kann man die Brauchbarkeit der Gleichung überprüfen.

...

Ich fand im Internet auf der Webseite von David Broughton (URL unten) eine Lösung dieses Rechteckproblems mit den ganzzahligen Längenangaben wie in der Zeichnung.
Setzt man in die allgemeine Gleichung 4. Grades a=118, b=101 und k=106 ein, so heißt die Gleichung
(d²)²-46.597*d²+5.053.232*d-144.820.804 = 0.
Mit Hilfe des Applets von Arndt Brünner (URL unten) fand ich die Lösungen
d₁= -260,9, d₂=53 (!), d₃ = 85,58 und d₄ = 122,4.

Die maßstabsgetreue Zeichnung hält die Lösung d₂=53 fest. Damit die Zeichnung gelingt, habe ich noch x=45 und y=28 berechnet.

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Es gibt noch eine zweite Lösung (!), nämlich d₃ = 85,58. Für sie sind x=84,54 und y=13,29.

Die Lösungen d₁und d₄ sind für das Problem unbrauchbar.

Auf dieses Problem stieß Axel Ridtahler, als er ein rechteckiges Brett in eine rechteckige Kiste diagonal einpasste.
Dabei kam ihm die gute ;-) Idee, mich auf dieses Problem hinzuweisen.

Quadrate im Rechteck top
Fläche messen

...... Will man in der Schule Flächeneinheiten einführen, geht man z.B. von der linken Figur aus. Das gelbe Quadrat habe den Flächeninhalt 1 cm². Wie groß ist der Flächeninhalt des Rechtecks?

Die Antwort 12 cm² erhält man über das Abzählen der Einzelquadrate. Man kann auch zum Ergebnis über drei Balken zu je vier Quadraten kommen. Das führt dann zu 3*4 cm² oder zur Flächenformel A=ab.

Anzahl der Rechtecke im Rechteck

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Es stellt sich die Frage, wie viele Rechtecke es unter Verwendung des Gitters im 3x4-Rechteck gibt.

Lösung

Ergebnis: Es gibt 60 Teilrechtecke.

Verallgemeinerung
In einem mxn-Rechteck gibt es (1/4)m(m+1)n(n+1) Rechtecke.
Quelle:
> Martin Wohlgemuth Zähle Rechtecke in quadratischem Gitter (URL unten)
> Eric W. Weisstein (MathWorld) Rectangle Tiling (URL unten)

Quadrate im Rechteck
Die Zeichnungen oben zeigen, dass es leicht ist, ein Rechteck aus Quadraten mit ganzzahligen Seiten zusammenzusetzen.

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Es ist aber schwierig, ein Rechteck aus verschiedenen Quadraten zu bilden.

Links wird das kleinste Rechteck (32x33) dargestellt, für das das möglich ist.

Das ist wohl die erste Veröffentlichung:
R. Brooks, C. Smith, A. Stone, W. Tutte, The Dissection of Rectangles into Squares, Duke Mathematics journal, 1940, Vol. 7, pp. 312-340.

Mehr über dieses Problem erfährt man über die Links unten.

Größte Rechtecke top
Maße eines Sportplatzes

...... Welche Maße muss ein Fußballplatz haben, damit er eine Laufbahn
von a=400 m umschließt und möglichst groß ist.

Lösung
Zielfunktion: A=2xy
Nebenbedingung: a=2y+2pi*x oder y=(1/2)a-pi*x
Daraus folgt A(x)=2x[(1/2)a-pi*x]=ax-2pi*x² und weiter A'(x)=a-4pi*x.
Ein Extremwert liegt evtl. vor, wenn A'(x)=0 ist. Das heißt a-4pi*x=0 oder x=(1/4)a/pi.
Da A''(x)=-4pi , also kleiner als 0 ist, ist x=(1/4)a/pi ein Maximum.
Dann ist y=(1/2)a-pi*x=(1/2)a-a/4=(1/4)a.
Ergebnis: Der Fußballplatz hat die Maße 2x=(1/2)a/pi und y=(1/4)a.
Das führt zu den Zahlenwerten y=100m und 2x=63,7m.

Nach http://de.wikipedia.org/wiki/Fußballfeld#Spielfeld sind 68 mal 105 Meter große Fußballplätze üblich.

Quadrat als größtes Rechteck
Bei vielen Extremwertaufgaben sind Quadrate die größten Rechtecke.

Mehr findet man auf meiner Quadrat-Seite.

Aufteilung eines Rechtecks top
Aufgabe: Teile ein Rechteck in vier flächengleiche Teile.
Lösungen:

Schar von Rechtecken top
Rechtecke gleichen Flächeninhalts

...... Für Rechtecke gleichen Flächeninhalts gilt xy ist konstant oder xy=A oder y=A/x.
Das ist die Gleichung einer Hyperbel.

Rechtecke gleichen Umfangs

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Für Rechtecke gleichen Umfangs gilt 2x+2y ist konstant oder 2x+2y=U oder y=-x+(1/2)U.

Das ist die Gleichung einer fallenden Geraden.

Ähnliche Rechtecke

...

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Die nebenstehenden Rechtecke haben die gleiche Form.

Sie sind ähnlich.

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Schiebt man die Rechtecke nach unten links in eine perspektivische Lage, so erkennt man nach dem ersten Strahlensatz, dass ähnliche Rechtecke das gleiche Seitenverhältnis haben.

Quader top

......
Sechs geeignete Rechtecke bilden einen Körper, den Quader.
Dieser Quader hat die Form eines Backsteins.
Das Normalformat eines Backsteins in Deutschland ist
24 cm × 11,5 cm× 7,1cm. ......

Über weitere Quader, den Würfel und das quadratische Prisma, gibt es gesonderte Webseiten.

Zur Definition des Rechtecks top
Oben wird das Rechteck definiert als ein Viereck, dessen Winkel rechte Winkel sind.
Durch Anschauung findet man leicht die folgenden einfachen Sätze zum Rechteck.
Satz 1: Alle Winkel sind gleich.
Satz 2: Je zwei Gegenseiten sind parallel.
Satz 3: Je zwei Gegenseiten sind gleich lang.
Satz 4: Die Diagonalen sind gleich lang.
Satz 5: Die Diagonalen halbieren sich.
Satz 6: Es gibt eine Symmetrieachse durch gegenüberliegende Seitenmitten.

Definition 1
Die Definition des Rechtecks "Alle Winkel sind rechte Winkel" wird durch den Namen bestimmt. Streng genommen ist diese Formulierung ein Satz. Denn es genügt, nur drei rechte Winkel zu fordern. Aus dem Satz, der besagt, dass die Winkelsumme im Viereck 360° ist, ergibt sich der vierte Winkel auch zu 90°. Die Definition muss also heißen:
Ein Viereck wird zum Rechteck, wenn drei Winkel 90° betragen.

Definition 2
Man könnte Satz 1 (Alle Winkel sind gleich.) auch als Definition verwenden. Denn wieder ergeben sich über die Winkelsumme drei bzw. vier Winkel von 90°.

Definition 3
Satz 4 und Satz 5 sind für sich genommen keine hinreichenden Bedingungen für ein Rechteck, aber zusammen genommen schon.

...

Ein Viereck wird zum Rechteck, wenn die Diagonalen gleich lang sind und sich halbieren.

Es ist nicht zwingend vorgeschrieben, welche Eigenschaft des Rechtecks man zu seiner Definition heranzieht. Bleibt man bei Definition 1, so müssen die beiden anderen Definitionen zu Sätzen erklärt und bewiesen werden.

Nehmen wir Definition 3 für weitere Überlegungen.
Definition 3 wird also zu Satz 7: Im Rechteck sind die Diagonalen gleich lang und halbieren sich.

Satz 7 enthält zwei Aussagen, den Satz und den Kehrsatz:
(I)Wenn drei Winkel rechte Winkel sind, so sind die Diagonalen gleich lang und halbieren sich.
(II)Wenn die Diagonalen gleich lang sind und sich halbieren, so sind drei Winkel rechte Winkel.
(Die Beweise fehlen hier.)

Die beiden Richtungen drückt man auch durch folgende Formulierungen aus:
Satz 7: Die Diagonalen sind in einem Viereck dann und nur dann gleich lang und halbieren sich, wenn das Viereck ein Rechteck ist.
Oder
Satz 7: Die Bedingung "Die Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich" ist notwendig und hinreichend für ein Rechteck.

Die Aussagen in Satz 2 bis Satz 6 sind nicht hinreichend, aber notwendig. Sie gehören zum Rechteck.

Ist das Quadrat ein Rechteck? top

...... Das nebenstehende Viereck ist ein Quadrat.
Wenn man es als Rechteck bezeichnet, so erscheint die Aussage falsch.

Die Aussage ist aber mathematisch richtig. Alle Vierecke, die drei rechte Winkel haben, heißen Rechtecke. Und das Quadrat hat diese Eigenschaft. Also ist es „logisch“, dass das Quadrat ein Rechteck ist.

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Dabei nimmt man in Kauf (siehe nächstes Kapitel), dass man sich gegen eine landläufige Vorstellung stellt. Man erwartet, dass ein Rechteck verschieden lange Seiten hat. So habe ich in einem Lexikon die Formulierung gefunden: Im "eigentlichen" Rechteck sind die Seiten unterschiedlich lang. - In alten Lehrbüchern findet man den Namen Oblong für Rechtecke mit verschieden langen Seiten. Dann erfasst das Rechteck Quadrat und Oblong.

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Natürlich erwartet man, dass die Figur nicht als Rechteck, sondern als Quadrat bezeichnet wird. Offenbar muss man immer einen Namen angeben, der alle Eigenschaften des Vierecks erfasst.

Hier passt ein Irrtum der Redakteure hinter Günther Jauchs „Wer wird Millionär?“ vor einigen Jahren.
Die Frage hieß: Jedes Rechteck ist ein...? A: Rhombus B: Quadrat C: Trapez D: Parallelogramm
Erwartet wurde als Antwort Parallelogramm. Das ist richtig, aber Trapez ist auch eine Antwort. Das Rechteck hat nämlich wie das Trapez ein Paar paralleler Seiten.

Bei de.wikpedia steht eine mögliche Erklärung für den Irrtum: Die Quelle war veraltet. Da ich noch einen Brockhaus von 1975 besitze, kann ich zitieren: (Das Trapez ist ein) "Viereck mit zwei gleichlaufenden, aber ungleich langen Seiten."

Das Quadrat ist ein Rechteck top
Bliebe noch zu klären, warum es sinnvoll ist, das Quadrat als Spezialfall eines Rechtecks zu definieren.
Angenommen, man definiere das Rechteck wie folgt.
Definition: Ein Viereck wird zum Rechteck, wenn drei Winkel 90° betragen und wenn die Seiten verschieden lang sind. Dann könnte man zwar die Sätze 1 bis 6 einfach übernehmen, nicht aber Satz 7.
Satz 7 lautete: Die Diagonalen sind in einem Viereck dann und nur dann gleich lang und halbieren sich, wenn das Viereck ein Rechteck ist.
Der Kehrsatz "Wenn die Diagonalen gleich lang sind und sich halbieren, so ist das Viereck ein Rechteck" gilt nicht mehr. Auch das Quadrat hat diese Eigenschaft.
Satz 7 wird wieder richtig, wenn man ihn so formuliert.
Satz 7': Die Diagonalen sind in einem Viereck dann und nur dann gleich lang und halbieren sich und die Seiten sind verschieden lang, wenn das Viereck ein Rechteck ist.
An diesem Beispiel sieht man, wie umständlich die Sätze werden. Grundsätzlich kann man natürlich für das Rechteck verschieden lange Seiten fordern. Aber man muss die zusätzliche Eigenschaft mitschleppen. Es ist viel einfacher, das Quadrat mit einzubeziehen und es als Spezialfall zu betrachten.

In diesem Zusammenhang ist das Parallelenproblem berühmt.
Bekanntlich schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt oder, wenn sie parallel sind, in keinem Punkt.
Nun gibt es einen Ansatz mit der Aussage: Zwei Geraden schneiden sich immer in einem Punkt. Damit man sich das vorstellen kann, ordnet man auch den Parallelen genau einen Schnittpunkt zu, und konkret ist das ein Punkt, der "im Unendlichen" liegt und der der Richtung einer Geraden zugeordnet wird. Mit diesem Ansatz kann man die sogenannte Projektive Geometrie entwickeln, die viele Sätze im Zusammenhang mit sich schneidenden Geraden in eleganter Weise liefert. Sätze über Parallelen erscheinen als Spezialfälle.

Weitere Seiten top
Noch mehr über Rechtecke findet man an anderen Stellen meiner Homepage.

Quadrat
Doppelquadrat
Goldene Rechtecke im Ikosaeder
Hierarchie der Vierecke
Zwei Kreise im Rechteck