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Was ist ein Doppelquadrat?
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Wie der Name sagt, ist das Doppelquadrat ein Rechteck,
das von zwei Quadraten gebildet wird. |
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Man könnte das Doppelquadrat auch Halbquadrat nennen,
denn es entsteht auch durch Halbieren eines Quadrates. |
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Das Halbquadrat heißt auch Domino, denn es ist
die Form der Spielsteine des Dominospiels. |
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Man kann auch die nebenstehende Figur als Doppelquadrat
bezeichnen. Sie ist hier nicht gemeint. |
Größen
top
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Ist a die kürzere Seite des Doppelquadrates, so
ist 2a die andere Seite.
Die Diagonale ist nach dem Satz des Pythagoras (2a)²+a²=d²
oder d=sqrt(5)*a.
Der Flächeninhalt ist A=2a² und der Umfang
U=6a. |
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Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige
Dreiecke. Es sind zwei 1-90°-2-Dreiecke.
Diese haben die Hypotenusenabschnitte q=(1/5)*sqrt(5)*a
und p= (4/5)*sqrt(5)*a.
Die Höhe ist h=(2/5)*sqrt(5)*a. (Es gilt also p=2h=4q.) |
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Der Umkreis hat den Radius (2/5)*sqrt(5)*a.
Es gibt keinen Inkreis. Die Innen-Ellipse mit den Halbachsen
a/2 und a ist ein Ersatz.. |
Doppelquadrat
und Goldener Schnitt top
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Eine Strecke s=AB wird im goldenen Schnitt geteilt, wenn
die Proportion s:x=x:(s-x) gilt.
Daraus folgt x=[sqrt(5)-1]/2*s=[sqrt(5)-1]*a (s=2a).
Mehr findet man auf meiner Seite
Sterne. |
Will man den Teilpunkt T durch Konstruktion finden, benutzt
man ein Doppelquadrat a x 2a und nutzt aus, dass sqrt(5)*a die Länge
der Diagonalen ist.
(1) Gegeben sei die Strecke AB, die geteilt werden soll.
(2) Errichte über AB das Doppelquadrat ABCD.
(3) Zeichne die Diagonale AC.
(4) Zeichne einen Kreis um Punkt C mit dem Radius BC.
Nenne den Schnittpunkt mit der Diagonalen Punkt S.
(5) Zeichne einen Kreis um Punkt A mit dem Radius AS.
Nenne den Schnittpunkt mit der Strecke AB Punkt T.
Ergebnis: T teilt AB (innen) im goldenen Schnitt.
Beweis: AT:AB=AS:AB=(AC-CS):AB=[(sqrt(5)*a-a]:2a=[sqrt(5)-1]/2
{=TB:AT} wzbw.
Anzeige
eines Taschenrechners
top
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Die zehn Ziffern können einigermaßen lesbar
in einem Doppelquadrat dargestellt werden.
Diese Anzeige kennt man vom Taschenrechner. |
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Figuren im Doppelquadrat
top
In einem Doppelquadrat liegen ein gleichschenklig-rechtwinkliges
Dreieck, eine Raute, ein Halbkreis, zwei Quadrate und ein Quadrat und zwei
Halbquadrate. Wie bestimmt man x aus a?
Lösungen:
(1) x=sqrt(2)*a,
(2) x=sqrt[(a/2)²+a²]=sqrt(5)/2*a
(3) x=a
(4) x=sqrt[(a/2)²+(a/2)²]=sqrt(2)/2*a
(5) wie (4)
Doppelquadrat
in Figuren top
Doppelquadrate liegen in einem
Quadrat, in gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken, in gleichseitigen
Dreiecken und in Halbkreisen. Wie errechnet man x aus a?
Lösungen
(1) Es gilt x/sqrt(2)+2x/sqrt(2)=a. Daraus folgt x=sqrt(2)/3*a.
(2) Es gilt 2x/sqrt(2)+x/sqrt(2)=a. Daraus folgt x=sqrt(2)/4*a.
(3) Es gilt x/sqrt(2)+2xsqrt(2)=a. Daraus folgt x=sqrt(2)/5*a.
(4) Nach dem 2.Strahlensatz ist h:(h-x)=a/2:x. Daraus
folgt x=[3-sqrt(3)]/4*a.
(5) Nach dem 2.Strahlensatz ist h:(h-2x)=a/2:x. Daraus
folgt x=[4sqrt(3)-3]/13*a.
(6) Nach dem Satz des Pythagoras ist x=sqrt(2)/2*r.
(7) Nach dem Satz des Pythagoras ist r²=(2x)²+(x/2)².
Daraus folgt x=2*sqrt(17)/17*r.
Polydominos top
Figuren aus Doppelquadraten oder Dominos heißen
Polydominos. Sie bilden eine Teilmenge der Polyominos.
Sie heißen geordnet nach der Anzahl der Dominos
Bidominos, Tridominos, Tetradominos, ...
4 Bidominos
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Es gibt vier Tetrominos aus zwei
Doppelquadraten oder zwei Dominos. |
23 Tridominos
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Tridominos findet man nur unter den geraden
Hexominos.
Sie sind links zusammengestellt.
Erstaunlicherweise gibt es einen Stein, der gerade, doch
trotzdem kein Tridomino ist. |
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Diese drei Tridominos können noch in anderer Weise
zusammengebaut werden. |
Tetradominos
Es gibt immerhin 369 Figuren aus acht Quadraten, darunter
211 Tetradominos.
Hier sind 35 symmetrische Tetradominos.
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Die Farben kennzeichnen die Symmetrie.
grün: achsen- und punktsymmetrisch
rot: nur achsensymmetrisch
blau: nur punktsymmetrisch
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Parkettierungen
top
Wird die Ebene lückenlos mit
gleichen Figuren oder Figurengruppen ausgelegt, so spricht man von einer
Parkettierung der Ebene.
Gerade Doppelquadrate erscheinen
nach außen hin bei Mauern, Pflasterungen oder beim Parkett. Wenn
man genauer hinsieht, findet oft nicht das Doppelquadrat, sondern es sind
mehr oder weniger starke Abweichungen von dieser Form.
Es gibt unterschiedliche Anordnungen der Doppelquadrate.
(1) Man wird bei Mauern z.B. nie eine Struktur wie 1 finden.
Da stoßen vier Steine
an einer Ecke aneinander und bleiben unverbunden. So wird keine Stabilität
erreicht.
(2) Dieser Verband ist üblich bei Ziegelmauerwerken.
- Der normale Ziegel hat die Maße 24cm x 11,5cm x 7,1cm.
(3) Früher wurde bei Parkettfußböden
oft das Fischgrätmuster verwandt.
Mit offenen Augen
Pflasterung hinter der Volksbank Bad Salzuflen im Ortsteil
Schötmar.
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Außenwand und Boden-Pflasterung
der Kaufhof-Ruine :-( in Herford,
geschrieben 2003
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Doppelquadrat
im Internet
top
Deutsch
Wikipedia
Domino
(Spiel),
Bilderdomino,
Backstein
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Domino,
Dom,
DominoTiling,
GomorysTheorem,
Triomino
Andrew Clarke
Other
Polyforms
Wikipedia
Domino
Französisch
Jean-Louis Sigrist
Les
26 tridominos
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Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2003 Jürgen Köller
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