Bipyramiden
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Was ist eine Bipyramide?
Einfache Bipyramiden
Duale Körper
Verlängerte Bipyramiden
Trapezoeder
Doppelkegel
Bipyramiden im Internet
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Was ist eine Bipyramide?
...... Eine Bipyramide ist ein Körper, der von zwei kongruenten, geraden Pyramiden, die sich in den Grundflächen berühren, gebildet wird.

In der Zeichnung ist die Grundfläche ein Quadrat. 

Der Körper heißt auch Doppelpyramide. Englische Bezeichnungen sind bipyramid oder dipyramid.


Vom Wort her könnte man den Begriff der Bipyramide in zwei Richtungen erweitern: Die Vielecke sind nicht mehr regelmäßig, die Höhen der Einzelpyramiden sind unterschiedlich lang. Offenbar besteht kaum ein Bedarf, den Begriff der Bipyramide in dieser Weise zu verallgemeinern.

Einfache Bipyramidentop
Die folgenden Bipyramiden werden nach der Anzahl der Eckpunkte des gemeinsamen Vielecks geordnet. 


Triangulare Bipyramide
Das ist eine Bipyramide, bei der die gemeinsame Grundfläche der Pyramiden ein Dreieck ist. 
Die Bilderpaare ermöglichen mit dem Stereoblick eine 3D-Ansicht.

Eine besondere triangulare Bipyramide liegt vor, wenn alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke sind.
Der Körper gehört dann zu den acht konvexen Deltaedern und auch zu den 92 Johnson-Körpern (J12).

Tetragonale Bipyramide
Das ist eine Bipyramide, bei der die gemeinsame Grundfläche der Pyramiden ein Quadrat ist. 


Sind alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke, so ist die Bipyramide ein Oktaeder.
Das Oktaeder gehört zu den platonischen Körpern.

Pentagonale Bipyramide
Die gemeinsame Grundfläche der Einzelpyramiden ist ein regelmäßiges Fünfeck.

Sind alle Seitenflächen gleichseitige Dreiecke, so ist die Bipyramide ein konvexes Deltaeder oder der Johnson-Körper J13.


Hexagonale Bipyramide
Die gemeinsame Grundfläche der Einzelpyramiden ist ein regelmäßiges Sechseck.


Diese Reihe der Bipyramiden ließe sich mit Sieben-, Acht-, Neunecken usw. als Basen fortsetzen. 

Duale Körper top
......
Das ist ein anderer Zugang zu Bipyramiden:
Die Bipyramide ist der duale Körper eines geraden Prismas.

Verbindet man nämlich die Mittelpunkte der Seitenflächen, so entsteht eine Bipyramide.

Umgekehrt ist der duale Körper einer Bipyramide wieder ein Prisma.


Verlängerte Bipyramiden top
Es gibt in der Geometrie das Problem, alle konvexen Körper zu finden, die nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt sind. Das Problem ist gelöst. 
Es gibt die fünf platonischen und die 13 archimedischen Körper, sowie die "unendlich vielen" Prismen und Antiprismen. Die restlichen Körper sind die 92 Johnson-Körper. Die Körper J12 und J13 wurden oben schon vorgestellt.
Hier folgen noch Johnson-Körper, bei denen zwischen den Pyramiden Prismen bzw. Antiprismen liegen.


Verlängerte triangulare Bipyramide (J14)

Verlängerte tetragonale Bipyramide (J15)


Verlängerte pentagonale Bipyramide (J16)



Auch ein Antiprisma kann man mit Pyramiden bekrönen.
Verdreht verlängerte Quadratbipyramide (J17)
Auch das Ikosaeder ist ein Antiprisma mit zwei Fünfeckpyramiden.

Trapezoeder  top
Trapezoeder werden aus kongruenten Drachenvierecken gebildet. 
Sie entstehen, indem man kongruente Pyramiden gegeneinander um 180°/n dreht und sie dann längs der Achsen ineinander schiebt. Als Schnittlinien der Pyramiden entstehen interessante kreisförmig angeordnete Zickzack-Linien aus gleichen Strecken. 
Diese Körper heißen im Englischen meist deltohedrons.
Es folgen drei Beispiele.


8-seitiges Trapezoeder 
Ein Spezialfall ist der Würfel.

10-seitiges Trapezoeder 

Man benutzt diesen Körper zum Bau eines Spielwürfels zur Ermittelung der Ziffern 0 bis 9.

20-seitiges Trapezoeder

Doppelkegel  top
Auf diese Seite passt auch noch der Doppelkegel, bei dem zwei Kegeln aneinander liegen.

Bei ihm ist der Kreis die gemeinsame Grundfläche. 

Das ist auch ein Doppelkegel.

Bipyramiden im Internet     top

Deutsch

Bianca Högel
Doppelpyramide

Christian Ucke und Jürgen Becker
Der aufwärtsrollende Doppelkegel
 
H.B.Meyer  (Polyeder aus Flechtstreifen)
Johnson Polyeder Nr. 17

G. Roolfs 
Doppelpyramide-Aufgabe (Abiturprüfung GK Bayern 2002)

Michael Schmidt 
Moleküle mit trigonal–bipyramidaler Geometrie

Wikipedia 
Doppelpyramide, Deltaeder, Trapezoeder, Johnson-Körper, Aufwärts rollender Doppelkegel

Youtube (Beatrice Anlauff )
Geometrie mal plastisch...: Die Form der Triangulare Bipyramide



Englisch

Eric W. Weisstein   (MathWorld) 
Dipyramid, Triangular DipyramidSquare DipyramidPentagonal DipyramidDeltahedron
Elongated Square DipyramidElongated Pentagonal DipyramidElongated Triangular Dipyramid
Trapezohedron

H.B.Meyer 
Johnson Polyhedron #17

Poly (Pedagoguery Software Inc.)
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Bilder dieser Seite wurden mit diesem Programm erzeugt.

G. Korthals Altes (Paper Models of Polyhedra)
Pentagonal dipyramid

Wikipedia
Bipyramid, Triangular dipyramidPentagonal dipyramidHexagonal bipyramidHexagonal trapezohedron
Deltahedron, Deltohedra, Johnson solid


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©  2008 Jürgen Köller

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