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Was ist ein Polygramm?
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Ein Polygramm ist ein regelmäßiger
Stern.
Es entsteht, wenn man die Eckpunkte eines regelmäßigen
Vielecks so verbindet, dass man jeweils ein, zwei, drei ... Punkte überspringt.
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Erste
Sterne top
Brüche (p/q) mit q>1 kennzeichnen
die Sterne. Die erste Zahl gibt die Anzahl der Eckpunkte des erzeugenden
Vielecks an, die zweite die "Sprungweite" beim Verbinden der Eckpunkte
(englisch density). Die Paare (p/q) heißen Schläfli-Symbole.
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Polygramm
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Man bezeichnet nur die Sterne als Polygramm (ohne
Zusatz), die beim Verbinden eine geschlossene Linie bilden. |
Zusammengesetztes
Polygramm
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Muss man beim Verbinden der Punkte mehrmals neu ansetzen,
erhält man zusammengesetzte Polygramme.
Die Sterne enthalten regelmäßigen Vielecke.
Darauf weisen die gekürzten Brüche hin. |
Da es nur einen regelmäßigen Stern mit sechs Zacken
gibt, bezeichnet man auch das zusammengesetze Sechseck als Hexagramm (ohne
Zusatz).
Zu den ersten regelmäßigen
Sternen gibt es die Webseiten Pentagramm,
Hexagramm,
Heptagramm,
Oktagramm
und Nonagramm.
Verallgemeinerungtop
Unregelmäßiges Polygramm
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Wenn man vom Wort her kommt, müsste man auch den
nebenstehenden Stern als Polygramm bezeichnen, denn polygramm heißt
"mit p Strichen".
In der Zeichnung ist p=9. |
Stern
mit p Zacken
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Ein allgemeiner Stern entsteht, wenn man auf ein konvexes
n-Eck beliebige Dreiecke stellt.
Diesen Stern sollte man nicht mehr als Polygramm bezeichnen.
Er besteht nicht aus p, sondern aus 3p Strecken. |
Anzahl der Polygramme
top
Es stellt sich die Frage, welche Sterne (p/q) bei festem
p Polygramme sind, also welche Verbingungsstrecken im Vieleck zu einer
geschlossenen Linie führen. Darauf gehe ich auf meiner Webseite
30-Eck ein.
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Danach sind nur diese Sterne Polygramme.
Wenn 30 und q teilerfremd sind, liegt ein Polygramm vor.
Die übrigen sind zusammengesetzte Polygramme. |
Verallgemeinerung.
Wenn die beiden Kennzahlen in (p/q) teilerfremd sind
oder wenn ggT(p,q) = 1 gilt, so ist der zugehörige Stern ein Polygramm.
Überschlagene
Vielecke top
Gibt man ein regelmäßiges Fünfeck vor,
so kann man durch Verbinden der Eckpunkte durch eine geschlossenen Linie
nicht nur das Fünfeck selbst und das Pentagramm erzeugen, sondern
zwei weitere Figuren. Man bezeichnet sie als überschlagene Fünfecke.
Es gibt 11 überschlagene Sechsecke und für
das Siebeneck mehr als 14.
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Die Frage ist, wie viele überschlagene regelmäßige
Vielecke mit n Ecken es gibt.
Man kann versuchen, in der Sammlung von Folgen (oeis.org)
nach Fortsetzung der Folge 4, 13 zu suchen.
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Da sollte man die Zahlen des gleichseitigen Dreiecks
und des Quadrates,
nämlich 1 und 2, vorschalten. |
Man wird mit der Folge 1,
2 4, 13 in der Sammlung von Folgen oeis.org zwar fündig, doch
die Beschreibungen passen nicht.
Bei den angebotenen Folgen heißt die nächste
Zahl jeweils 57, 42, 50, 45 oder 31.
Winkel
an der Spitze top
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Es gibt in den Sternfiguren gleichschenklige Dreiecke.
Deren Winkel an der Spitze ist auch der Winkel an der
Spitze einer Zacke. Die Grundseite ist eine Seite des Sterns.
Für die Überlegungen unten zeichnet man noch
die Mittelpunktswinkel ein. |
Rechnungen
20°
Nach dem Satz vom Mittelpunktswinkel ist der Mittelpunktswinkel
360°/9 = 40° und dann der Winkel an der Spitze 20°.
60°
Der Mittelpunktswinkel ist 3*360°/9 = 120° und
dann der Winkel an der Spitze 60°.
100°
Der Mittelpunktswinkel ist 4*360°/9 = 160° und
dann der Winkel unten 80°.
Im Sehnenviereck ergänzen sich die Gegenwinkel zu
180°. Damit ist der Winkel oben 100°.
Das ist einfacher.
Die drei Sterne werden gekennzeichnet durch das Schläfli-Symbol
(p/q).
Es gilt die Formel alpha = [(p-2q)/p]*180°.
Seitenlänge
von Polygrammen top
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Die Seite eines Polygramms ist eine Diagonale im zugehörigen
regelmäßigen Vieleck. |
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Auf meiner Webseite Regelmäßiges
Vieleck werden die Diagonalen, die eine Seite des regelmäßigen
Vielecks sein können, durch die Formel di = [a*sin(180i/n)]/sin(180/n)
erfasst. Dabei ist a=d1 die Seitenlänge des n-Ecks, i=2,
3, 4, ... .
Welche Zahlen i durchläuft, hängt davon ab,
wie groß n ist und ob n gerade oder ungerade ist. |
Setzt man also n = p und
i = q, so gilt für die Seitenlängen der Polygramme (p/q):
s = a*sin(180q/p)/sin(180/p).
Die Terme stammen von meinen Webseiten regelmäßiges
Fünfeck,
Sechseck,
Siebeneck,
Achteck und Neuneck,
Polygramme im
Internet top
Deutsch
Online-Rechner
Geometrierechner
Wikipedia
Stern
(Geometrie), Enneagramm
Englisch
Arthur Lee (Geogebra Animation)
star polygon
exploration
Dan Peters
Star Polygon Generator
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Star
Polygon
Wikipedia
Star
polygon, List
of regular polytopes#Stars
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https://www.mathematische-basteleien.de/
©
04/2024 Jürgen Köller
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