Regelmäßiges Siebeneck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein regelmäßiges Siebeneck?
Größen des Siebenecks
Diagonalen
Zeichnen eines Siebenecks
Dreieck im Siebeneck
Ein Satz zum regelmäßigen Siebeneck
Verschiedenes
Siebeneck im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein regelmäßiges Siebeneck?
Das regelmäßige Siebeneck ist ein Vieleck mit
    sieben gleich langen Seiten und 
    sieben gleich großen Innenwinkeln. 
Das regelmäßige Siebeneck heißt auch Heptagon oder manchmal Septagon, auf dieser Seite meist einfach Siebeneck.


Größen des Siebenecks top
Winkel im Siebeneck


Weitere Größen
Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises, die Diagonalen d1 und d2 und die Höhe h, der Flächeninhalt A  und der Umfang U errechnen.

Vorbemerkung
In Formelsammlungen fehlt das Siebeneck. 
...... Das liegt daran, dass man seine Größen nicht wie zum Beispiel beim Sechs- und Achteck durch Wurzelterme ausdrücken kann. 

Formeln

Herleitung der Formeln
Radius r des Inkreises und Radius R des Umkreises
Es gilt sin(180°/7)=(a/2)/R und tan(180°/7)=a/(2r).
Daraus folgen die Formeln R=a/[2*sin(180°/7)] und r=a/[2*tan(180°/7)].

Erste Diagonale
Es gilt sin(90°-180°/7)=cos(180°/7)=d1/(2a).
Daraus folgt d1=2a*sin(180°/7). 

Zweite Diagonale und Höhe
Wegen des Mittelpunktsatzes ist der Umfangswinkel halb so groß wie der Mittelpunktwinkel. 
Diese Aussage ist auf den Umkreis bezogen. 

Es gilt tan(90°/7)=(a/2)/h. Daraus folgt h=a/[2*tan(90°/7)].

Es gilt weiter sin(90°/7)=(a/2)/d2. Daraus folgt d2=a/[2*sin(90°/7)]. 


Flächeninhalt und Umfang
Der Flächeninhalt ergibt sich aus dem 7-fachen der Fläche des Bestimmungsdreiecks: A=7(a*r/2)=7a²/[4*tan(180°/7)].
Der Umfang ist 7a. 

Diagonalen   top
Das Siebeneck hat 14 Diagonalen.
...... Sieben Diagonalen verbinden jeden zweiten und sieben jeden dritten Eckpunkt. 
Die Diagonalen bilden zwei voneinander unabhängige Sterne (Heptagramme).
Sie können in einem Streckenzug gezeichnet werden.
Die Winkel an den Spitzen der Heptagramme sind  540°/7 und 180°/7. 


Zeichnen eines Siebenecks top
Nicht konstruierbar
Nach Gauss (1796) sind die und nur die p-Ecke (p ist eine ungerade Primzahl) konstruierbar, bei denen es natürliche Zahlen k gibt, so dass p=2^(2k )+1 Primzahlen sind. 
Das sind p=3, p=5, p=17, ... für k=0,1,2,...  Darunter ist also nicht p=7.

Weitergehende Untersuchungen gehen von der Gleichung z7=1 bezogen auf komplexe Zahlen aus. Näheres findet man bei Robert Geretschläger (URL unten).


Zeichnung
(1) Zeichne einen Winkel von 51,4° mit einem Geodreieck.
(2) Zeichne einen Kreis um den Scheitelpunkt.
(3) Zeichne die Sehne.
(4) Trage sie sechsmal auf dem Kreisbogen ab. Zeichne alle Sehnen. 
Es ist ein Siebeneck entstanden.
Erste Näherungskonstruktion

Wenn man das Siebeneck nicht exakt mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, so gibt es doch eine Reihe von Näherungskonstruktionen. Es folgen zwei Beispiele.
...... Die Zeichnung oben setzt einen Winkel von 51,4° voraus, dann folgen Konstruktionen. 
Diesen Winkel kann man näherungsweise konstruieren.
Man geht von einem (Scheitel-)Punkt 4 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach oben. Das  dazugehörige Dreieck enthält einen Winkel von fast 360/7° oder gerundet 51,43°.
Die Gleichung tan(alpha)=5/4 führt zu einen Winkel von 51,34°. Dieser Winkel ist nur um 0,17% kleiner als 360/7° .

Man kann tan(alpha) beliebig nahe kommen, wenn man den  Kettenbruch tan(2pi/7) = [1,3,1,15,31,1,3,...] wählt. Die ersten Näherungsbrüche sind 1, 4/3, 5/4, 79/63, 2454/1957, 2533/2020, 10053/8017, ...

Zweite Näherungskonstruktion
...... >Zeichne einen Kreis um Punkt A mit dem Radius AB=R.
>Zeichne den Kreis um B mit dem Radius AB=R. Du erhältst Punkt C.
>Zeichne die Höhe CD.
>Zeichne um C einen Kreis mit dem Radius CD. Du erhältst Punkt E.
>Die Strecke CE ist angenähert die Seite eines Siebenecks.
Man wählt also die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks als Seitenlänge des Siebenecks.

Überprüfung
...... Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck ABC oben ist CD=(1/2)sqrt(3)R. 
Diese Strecke wird zur Grundseite im Grunddreieck des angenäherten Siebenecks.
Für den halben Grundwinkel gilt sin(alpha/2)=(1/4)sqrt(3) oder alpha/2=25,6589°.
Zum Vergleich ist 180/7°=25,7143°. Der Fehler ist 0,22%.

Zu dieser Konstruktion gibt es auf der Webseite http://de.wikipedia.org/wiki/Siebeneck eine Animation. 
Dort steht auch, dass sich die Konstruktion schon bei Abu l-Wafa (10. Jahrhundert) findet.
Es gibt im Internet eine zweite Quelle, nämlich eine Faksimile-Ausgabe in der Sammlung Geometria [Matthäus Roriczer (15.Jahrhundert)] auf der Webseite der Hochschule Augsburg (URL unten). 
Die Hinweise auf diese Näherungskonstruktion und auf die Quellen stammen von Lutz Führer.

Dreieck im Siebeneck top
...... Die lange Diagonale, die kurze Diagonale und die Seite des Siebenecks bilden ein Dreieck. Zwischen den Seiten gelten folgende Beziehungen:

(I) d1²=ad2+a²            (II)   d2²=d1d2+a²                    (III) d2²=ad1+d1² 


Beweis:
......
Im Siebeneck treten drei verschiedene gleichschenklige Trapeze mit einem Umkreis auf. 
Aus dem Satz des Ptolemäus ergeben sich die drei Formeln unmittelbar. 
Der Satz wird auf meiner Seite Sehnenviereck bewiesen und besprochen. 

Hier ist eine weitere Formel, die sich aus dem Satz des Ptolemäus ergibt.
Dazu zeichnet man das nebenstehende grüne Sehnenviereck ein.
Es gilt: d1d2=ad1+ad2 . Daraus folgt a=(d1d2)/(d1+d2). 
Die Seite ist das halbe harmonische Mittel der beiden Diagonalen. 

Es gibt noch viele weitere interessante Aussagen zum Dreieck in den Webseiten der Linkliste unten.

Ein Satz zum regelmäßigen Siebeneck    top
... Es gilt die Formel d1+d2-a=sqrt(7)r


Herleitung
Man stelle sich vor, in den Eckpunkten eines Siebenecks liegen Punktmassen m im Abstand r um eine Drehachse durch M. 
>Dann ist das Trägheitsmoment bzgl. dieser Achse 7mr². 
>Verschiebt man die Drehachse parallel nach A, so wird das Trägheitsmoment AB²m+AC²m+AD²m+AE²m+AF²m+AG²m.
>Nach dem Satz von Steiner ist AB²m+AC²m+AD²m+AE²m+AF²m+AG²m = 7MA²m+ 7mr².
Daraus folgt AB²+AC²+AD²+AE²+AF²+AG² = 7MA²+ 7r² oder  a²+d1²+d2²+d2²+d1²+a²=14r² oder a²+d1²+d2²=7r².
>Nach dem Satz von Ptolemäus (s.o.) gilt d1d2=ad1+ad2 oder  d1d2-ad1-ad2=0. 
Es ist (d1+d2-a)²=d1²+d2²+a²+2(d1d2-ad1-ad2)= d1²+d2²+a²=7r².
Dann ist d1+d2-a = sqrt(7)r, wzbw.
Quelle: (4)

Verschiedenes   top
Figuren im Siebeneck

Hier wird besonders deutlich: Das Siebeneck ist achsensymmetrisch.


Unregelmäßige Siebenecke aus Quadraten und gleichseitigen Dreiecken

Die beiden ersten Bilder folgen der Zerlegung 7=4+3.


Siebeneck-Knoten
......... ... So wie man aus einem Streifen Papier einen Fünfeckknoten bilden kann, so auch einen Siebeneckknoten.
Quelle: (3) Seite 57 f.

...... Man erzeugt den Knoten am besten, indem man ein Siebeneck ausschneidet und einen Streifen passender Breite herumwickelt. Anschließend kann man das Siebeneck entfernen und den Streifen mit Hilfe der Faltlinien verweben.

Regelmäßige Siebenecke auf Münzen
......... Alle Euromünzen sind rund bis auf das 20-Cent-Stück. Es hat sieben Einkerbungen, die "Spanische Blume".

Florian Pranghe teilte mir zur Spanischen Blume als Münzsammler mit, dass die alte spanische 50-Peseten-Münze auch diese Prägung hatte, um Blinden die Unterscheidung von anderen Münzen zu erleichtern. 
...... Die alte spanische 200-Peseten-Münze enthält auf beiden Seiten ein Siebeneck.

......
Engländer hängen an ihrer Währung (2005). 

Das 20-Pence- und das 50-Pence-Stück haben Siebeneckform.

Mehr auf meiner Seite Gleichdick.


Perioden
...... Periodische Erscheinungen veranschaulicht man gerne durch Vielecke.

Zur Periode 7 gibt es zum Beispiel die Wochentage und die Tonleiter. 


Siebeneck im Internet top

Deutsch

Joachim Mohr
Das Siebeneck, die Dreiteilung des Winkels und die Kubikwurzel

Mathematikus 
So kannst du ein regelmäßiges Siebeneck falten und bauen.

NN (Lehrstuhl der Mathematik und ihre Didaktik, Universität Bayreuth)
Knoten regulärer Vielecke

Ulrich Harsch  (Hochschule Augsburg, bibliotheca Augustana)
Matthäus (Matheis) Roriczer

Wikipedia
Siebeneck, Heptagramm



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Heptagon, Heptagonal TriangleHeptagon TheoremTrigonometry Angles Pi7

Dr.Math (Doctor Greenie. The Math Forum)
Curious Property of a Regular Heptagon

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Heptagon, Heptagonal Triangle

Jay Kappraff, Gary W. Adamson 
A Unified Theory of Proportion 
"The heptagonal system is particularly rich in algebraic and geometric relationships."

JIM ALISON
HEPTAGRAM CONSTRUCTION

John Page
Heptagon

Origami-Resource-Center.com
Make a Pentagon from a Square or A5

Robert Geretschläger
Folding the regular heptagon  (.pdf file) 

Robin Hu
The Heptagon (Constructions)

Wikipedia
Heptagon, Heptagram


Referenzen   top
(1) Bankoff, L. and Garfunkel, J. "The Heptagonal Triangle." Math. Mag. 46, 7-19, 1973
(2) Robert Geretschläger: Folding the regular heptagon,  (im Internet verfügbar) 
Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, Vol 23, Nr. 2.März1997, pp. 81-88
(3) H.Martyn Cundy, A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(4) T. S. Tufton:   ABCDEFG is a regular heptagon in a circle of unit radius; to prove that AC+AD-AB=sqrt(7). 
     Mathematical Gazette 18, (1934) 274-275.


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