Was ist ein regelmäßiges Achteck?

Das regelmäßige Achteck ist ein Vieleck mit     acht Ecken     acht gleich langen Seiten und      acht gleich großen Innenwinkeln.

Das regelmäßige Achteck heißt auf dieser Seite meist einfach Achteck.

Eine Formel zum Achteck top

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Es ist möglich, ein Achteck in einem Koordinatensystem durch nur eine Gleichung zu beschreiben. 2(|x|+|y|)+sqrt(2)(|x-y|+|x+y|)=8

Größen des Achtecks top
Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Flächeninhalt A, der Umfang U, der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises und die Längen der Diagonalen d₁, d₂ und d₃ berechnen. 
Es gelten die Formeln:

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Das Dreieck ABC ist nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck mit der Kathete AB=a, der Hypotenuse AC=2*R und dem Hypotenusenabschnitt AD=R-s. Es gilt der Kathetensatz a²=2*R*(R-s).  Daraus folgt mit s=sqrt(2)/2*R die Formel R=sqrt[4+2*sqrt(2)]/2*a.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt r²=R²-(a/2)².  Daraus folgt r=sqrt[3+2*sqrt(2)]/2*a=sqrt[(1+sqrt(2))²]/2*a=[1+sqrt(2)]/2*a.

A=8*[(a*r)/2]=2*[1+sqrt(2)]*a² U=8*a

d1²=(a+b)²+b². Daraus folgt d1=sqrt[2+sqrt(2)]*a.  d2=a+2*b=[1+sqrt(2)]*a d3=2*R=sqrt[4+2*sqrt(2)]*a.

Mittelpunktswinkel: 360°/8=45° Basiswinkel des Bestimmungsdreiecks des Achtecks: (180°-45°)/2=67,5° Innenwinkel: 2*67.5°=135°

Zeichnen eines Achtecks top
Erste Zeichnung

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(1) Zeichne eine vertikale und horizontale Gerade und halbiere die rechten Winkel. (2) Zeichne einen Kreis um den Schnittpunkt der Geradenkreuzung mit einem beliebigen Radius. (3) Verbinde die Schnittpunkte "Kreis/Gerade".  Die Verbindungslinien sind die Seiten eines Achtecks.

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(1) Zeichne ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. (2) Zeichne einen Kreis um einen Endpunkt der Hypotenuse. (3) Ergänze die Figur zu einem Quadrat mit der Seitenlänge b+a+b und zeichne Dreiecke in die drei übrigen Ecken.  Es entsteht ein Achteck.

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(1) Zeichne ein Quadrat und die beiden Diagonalen.  (2) Zeichne einen Kreis um einen Eckpunkt des Quadrates mit dem Radius "halbe Diagonale". (3) Zeichne den gleichen Kreis um die übrigen Eckpunkte und verbinde entsprechende Schnittpunkte. Es entsteht ein Achteck.

Diagonalen im Achteck  top
Das Achteck hat 20 Diagonalen.

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Vier Diagonalen verbinden gegenüberliegende Eckpunkte, acht jeden zweiten und acht jeden dritten Eckpunkt.

Achtecke im Quadrat  top

Annäherung an Pi  top
Erste Näherung: Der Kreis liegt zwischen zwei Achtecken.

Umfang des äußeren Achtecks: U=8*a Umfang des inneren Achtecks: u=8*s=4*sqrt[2+sqrt(2)]*a oder etwa 7,39*a Mittelwert: 7,70*a Umfang des Kreises:2*k*r=k*[1+sqrt(2)]*a oder etwa 2,41*k*a  Das führt angenähert zu Pi:  k=3,20.          Abweichung von Pi:       (k-Pi)/Pi=1,9%

Umfang des Kreises: U=2*k*(1.5*a)=3*k*a Umfang des Achtecks: u=4*a+4*sqrt(2)*a=4*[1+sqrt(2)]*a=9,66*a Das führt angenähert zu Pi:  k=3,22.  Abweichung von Pi:     (k-Pi)/Pi=2,5%

Achteckzahlen    top

Zentrierte Achteckzahlen

"Achteckrand-Zahlen"

"Achtzackzahlen"

Achtecke aller Art   top
Die folgenden Figuren aus Quadraten und gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken sind Achtecke. Sie heißen Polyominos und Polyabolos. 

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Ein räumliches "Achteck" mit gleich langen Seiten

Ein "Achteck" aus acht Halbkreisen

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Eigentlich kann auch der Würfel als Achteck bezeichnet werden, wenn man nur auf die Anzahl der Ecken achtet.  Ein ähnliches Beispiel ist das Oktaeder mit acht Flächen.

Parkettierung    top
Legt man Achtecke aneinander, so entstehen quadratische Lücken. 

Bei Fußböden sind die Quadrate oft kleiner.

Venedig, Canale Grande 6/2004

Verschiedenes    top
Hyperwürfel   top
Achtecke mit Innenlinien können Bilder des vierdimensionalen Würfels, des Hyperwürfels, sein.  Näheres findet man auf meiner Seite über den Hyperwürfel.

Die folgende Figur habe ich mehrfach im Internet gefunden.

Das Farbenspiel hat keinen tieferen Sinn, aber System.

Oktogon    top
Nach dem Lexikon ist ein Oktogon ein achteckiges Bauwerk. 

Meine Auswahl:

Baujahr 669 bis 692 798 bis 804 um 1180 1240 bis um 1250 1338-1359 1700 bis 1717 1878 1937 1958-1963 1959-1962 1960-1969

Bauwerk Felsendom Mittelraum der Pfalzkapelle Karls des Großen Turm der Gaukirche Castel del Monte Baptisterium am Dom Oktogon des Herkulesbauwerks Café Achteck   ;-) Seligpreisungskirche PanAm Building, jetzt mit dem Schriftzug MetLife Hauptbau der Kaiser-Wilhelm-Gedächtniskirche Zentralbau der Verkündigungskirche

Ort Jerusalem, Israel Aachen, Deutschland Paderborn, Deutschland Apulien, Italien Florenz, Italien Kassel, Deutschland Berlin, Deutschland Kapernaum, Israel New York City, USA Berlin, Deutschland Nazareth, Israel

Kapelle oberhalb des Touristendörfchens Vitt auf Rügen (1816)

Grillhaus Oktagon in Berlin-Friedrichshain Warschauer Straße (19??)

Das Gartenhaus meines Nachbarn

Achteck im Internet  top

Deutsch

Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik der Universität Bayreuth 
Achteck

Wikipedia
Achteck, Oktogon (Architektur)

Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Octagon, Octagram, Star of Lakshmi 

John Page
Octagon

Wikipedia
Octagon,  Octagonal number

Referenzen    top
(1) H.Kreul [u.a.]: Lehrgang der Elementarmathematik, Leipzig 1986   [ISBN 3-343-00140-6]