Oktaeder
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Was ist ein Oktaeder?
Größen des Oktaeders 
Würfel und Oktaeder 		 Gemischtes
Oktaeder im Internet
.
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Was ist ein Oktaeder?

Ein Oktaeder ist ein Körper aus acht gleichseitigen Dreiecken. Oktaeder heißt Achtflächner.

>Das Oktaeder kann auch als quadratische Doppelpyramide mit gleich langen Kanten angesehen werden. 
>Das Oktaeder wird nur von gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Deshalb ist es ein Deltaeder.
>Das Oktaeder gehört zu den platonischen Körpern.
>Das Oktaeder ist ein Antiprisma (s.u.).
Die Grün-Rot-Bilder (Anaglyphen) und die Bildpaare auf dieser Seite ermöglichen dreidimensionale Ansichten. Für die Anaglyphen muss man eine Rot-Grün-Brille verwenden, für die Bildpaare genügt der Stereoblick.

Größen des Oktaeders top
Das Oktaeder hat die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Radius R der Umkugel, den Radius r der Inkugel, die Dicke d, den Winkel zwischen zwei Seitenflächen 2*epsilon und die Raumdiagonale e.

Wenn a die Kantenlänge ist, dann gilt

Herleitungen
Vorweg: Höhe und Flächeninhalt des Seitendreiecks
... Ein Seitendreieck wird herausgegriffen: 
Wie bei jedem Dreieck schneiden sich die Höhen in einem Punkt. Nach dem Satz des Pythagoras ist die Höhe h=sqr(3)/2*a errechnen.
Die Fläche des Dreiecks ist gleich A=ah/2=sqr(3)/4*a².
Volumen
...... Das Volumen einer quadratischen Pyramide ist V'=(1/3)a²H mit H=sqrt(2)/2*a

Dann ist V=2V'=2sqrt(2)/6*a³=sqrt(2)/3*a³.
 
Oberfläche
O=8A=8sqr(3)/4*a²=2sqr(3)*a²
Radius R der Umkugel
......
 Die Umkugel verläuft durch alle sechs Eckpunkte. Der Durchmesser ist eine Diagonale in einem Quadrat.

R=sqrt(2)/2*a.
Radius r der Inkugel
...... Die Inkugel berührt von innen alle Seitenflächen. Zur Berechnung greift man eine Raute heraus, die durch zwei Kantenmitten verläuft und die somit zwei Seitenlängen h=sqr(3)/2*a hat. Die Inkugel erscheint als Inkreis der Raute. 
Man bestimmt den Berührpunkt B als Schnittpunkt der Geraden OS und BM und dann den Radius r über die Strecke BM.
Es ergibt sich r=sqrt(6)/6*a.
Dicke d
...... Man kann das Oktaeder auch auf eine Seitenfläche stellen. 
Dann erhält man in der Aufsicht ein Sechseck mit Diagonalen als Bild des Oktaeders. In dieser Darstellung wird der Name Antiprisma deutlich. Zwei Dreiecke werden parallel gestellt, gegeneinander gedreht und die Eckpunkte oben und unten werden verbunden, so dass Dreiecke entstehen.		 .......
Den Abstand der parallelen Dreiecke soll als Dicke d des Oktaeders bezeichnet werden. Es gilt d=2r=sqrt(6)/3*a
Winkel zwischen zwei Seitenflächen
...... In der oben beschriebenen Raute taucht auch der Winkel 2*epsilon zwischen zwei Seitenflächen in Originalgröße auf. 

Es gilt cos(epsilon)=(a/2)/h=(a/2)/sqr(3)/2a=sqrt(3)/3. Das führt zu 2*epsilon=2*arc cos[sqrt(3)/3] oder 109,5°.
Raumdiagonalee
e=2H=sqrt(2)*a.

Würfel und Oktaeder top
Würfel und Oktaeder sind duale Körper.
Es gilt nämlich: Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen des Würfels, so ergibt sich ein Oktaeder.
 

Verbindet man umgekehrt die Mittelpunkte der Seitendreiecke des Oktaeders, so ergibt sich ein Würfel.

Ecken, Kanten, Flächen
Der Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen. Vertauscht man die Zahlen 8 und 6 und behält 12 bei, so erhält man die Daten des Oktaeders:
Das Oktaeder hat 6 Ecken, 12 Kanten und 8 Flächen.
Besondere Ansichten

Würfel

Oktaeder
Eine Seitenfläche, eine Kante und eine Ecke liegen vorne.
Netze
Der Würfel hat 11 Netze. 
Das Oktaeder hat auch 11 Netze.

Die Farben helfen die Netze einander zuzuordnen.

Symmetrieebenen

Der Würfel hat neun Symmetrieebenen.

Das Oktaeder hat neun Symmetrieebenen. 
Es scheint nicht ganz einfach zu sein zu erklären, dass man Eigenschaften eines Körpers auf den dualen übertragen kann. 

Gemischtes    top
Sechseck im Oktaeder

Die Eckpunkte des regelmäßigen Sechsecks liegen in den Mittelpunkten von sechs Kanten. 

Oktaeder im Tetraeder 

Die Eckpunkte des Oktaeders liegen in den Mittelpunkten der Kanten des Tetraeders.

Oktaeder im Rhombendodekaeder
 

Die roten Linien sind die längeren Flächendiagonalen im Rhombendodekaeder.

Oktaeder in Tetraeder
Zwei Tetraeder durchdringen sich. Der Schnittkörper ist ein Oktaeder.

Abgestumpftes Oktaeder 
Man schneidet die acht Ecken eines Oktaeders ab. Dazu teilt man jede Kante in drei gleiche Teile. 
 
Es entsteht ein Körper, der von sechs Quadraten und acht regelmäßigen Sechsecken begrenzt wird. Er gehört damit zu den archimedischen Körpern. 
Kuboktaeder im Oktaeder
Legt man einen Würfel in ein Oktaeder, so entsteht als Schnittkörper ein Kuboktaeder. Er ist auch ein archimedischer Körper.

Die Mittelpunkte der Kanten des Würfel und des Oktaeders fallen zusammen.

Raumausfüllung
Das Oktaeder füllt nicht den Raum aus, wohl aber zusammen mit zwei Tetraedern. Sie bilden zusammen ein Parallelepiped. So wie der Würfel den Raum "parkettiert", so auch Parallelepipede als "gereckte" Würfel. 

Eulerweg
In der Ecke eines Oktaeders treffen immer vier Kanten zusammen. Deshalb ist ein Eulerweg möglich.

Mehr über den Eulerweg findet man auf meiner Seite Haus des Nikolaus.

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Deutsch

Gerd Müller
Platonische Körper in Stereodarstellung

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Oktaeder

Udo Hebisch
Oktaeder

Wikipedia
Oktaeder

Englisch

Eric W. Weisstein
Octahedron, Truncated Octahedron
 
G. Korthals Altes 
Paper model Octahedron

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Octahedron

Robert Webb
cube  <=>  octahedron

Wikipedia
Octahedron

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©  2004 Jürgen Köller

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