Abgestumpftes Oktaeder
Inhalt dieser Seite
Was ist ein abgestumpftes Oktaeder?
Lage der Quadrate und Sechsecke
Beschreibung
Größen
Raumausfüllung
Tensegrity Structure
Weitere Körper
Abgestumpftes Oktaeder im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein abgestumpftes Oktaeder?
......
Ein abgestumpftes Oktaeder ist ein Körper, der von 8 regelmäßigen Sechsecken und 6 Quadraten gebildet wird. 

Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den archimedischen Körpern. 


Das abgestumpfte Oktaeder entsteht aus einem Oktaeder, indem man an den Ecken passend quadratische Pyramiden abschneidet. Dazu teilt man alle Kanten des Oktaeders in drei gleiche Teile. 
...... An den sechs Ecken des Oktaeders entstehen bei diesem Körper sechs Quadrate.

Die acht Dreiecke des Oktaeders reduzieren sich auf acht Sechsecke. 


Neben den 6+8=14 Seitenflächen hat das abgestumpfte Oktaeder 36 Kanten und 24 Ecken.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:
durchsichtig:

Da beim Oktaederstumpf (5) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört er zu den 13 archimedischen Körpern

Beschreibung  top
Lage der Quadrate und Sechsecke
Drei Sechsecke und drei Quadrate umgeben ein Sechseck. 


Vier Sechsecke umgeben ein Quadrat. 

Es gibt vier Paare gegenüberliegender Sechsecke.

Es gibt drei Paare gegenüberliegender Quadrate.


Parallelprojektionen

Ein Sechseck, ein Quadrat, eine Kante, eine Kante und ein Eckpunkt liegen vorne.


Netze

Schlegel-Diagramm

Diagonalen
84 Flächendiagonalen
...... Die Diagonalen der Sechsecke und der Quadrate bilden die Flächendiagonalen des Oktaederstumpfes.
Das führt zu insgesamt 8*9+6*2=84 Flächendiagonalen.

156 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 24 Eckpunkte gehen je 13 verschieden lange Raumdiagonalen aus. 
Das führt zu insgesamt (1/2)*24*13=156 Raumdiagonalen des Oktaederstumpfes.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das abgestumpte Oktaeder bedeutet das, dass es (1/2)*23*24=276 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 36 Kanten, 84 Flächendiagonalen und 156 Raumdiagonalen.

Größen  top
Das abgestumpfte Oktaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich die Größen Volumen V, Oberfläche O, Radius R der Umkugel, Abstand r4 eines Quadrats vom Mittelpunkt des Oktaederstumpfes und Abstand r6 eines Sechsecks vom Mittelpunkt berechnen.


Herleitungen
Volumen V
Vorweg: Für das Oktaeder mit Kantenlänge a' gilt h' = (1/2)sqrt(2)a' und V' = (1/3)sqrt(2)a'³.
...... Für die quadratische Pyramide, die man abschneidet, gilt h=(1/3)h'= und a=a'/3 
und weiter Vp = (1/3)a²h = (1/3)a²(h'/3) = (1/6)sqrt(2)a³.
Man erhält das Volumen des abgestumpften Oktaeders, indem man das sechsfache Volumen der abgeschnittenen Pyramide vom Volumen des Oktaeders subtrahiert. 
V = V'-6Vp = (1/3)sqrt(2)a'³ - 6*(1/6)sqrt(2)a³ = 9sqrt(2)a³ - 6*(1/6)sqrt(2)a³ = 8sqrt(2)a³

Oberfläche O
Die Oberfläche setzt sich aus sechs Quadraten und der acht regelmäßigen Sechsecke zusammen.
O = 6a²+8[(3/2)sqrt(3)]a² = [6+12sqrt(3)]a²

Radius R der Umkugel 
......
Nach dem Satz des Pythagoras gilt R² = [(2/3)h']²+[(1/2)sqrt(2)a]² = (5/2)a² 
oder R = (1/2)sqrt(10)a.

Abstand r4 eines Quadrates vom Mittelpunkt
Der Abstand beträgt r4 = (1/2)sqrt(2)a'-(1/2)sqrt(2)a = (3/2)sqrt(2)a-(1/2)sqrt(2)a = sqrt(2)a 

Abstand r6 eines Sechseckes vom Mittelpunkt
Vorweg: Der Radius der Inkugel im Oktaeder der Kantenlänge a' ist r = (1/6)sqrt(6)a'.
Dann ist r6 = (1/6)sqrt(6)(3a) = (1/2)sqrt(6)a.

Winkel zwischen zwei Seitenflächen
Der Winkel zwischen zwei Sechsecken beträgt 125°15'.
Der Winkel zwischen Quadrat und Sechseck beträgt 109°28'. 
Quelle (1)

Raumausfüllung top
Es ist bekannt, dass Würfel den Raum lückenlos ausfüllen. 

Es ist erstaunlich, dass auch abgestumpfte Oktaeder den Raum ausfüllen.


Tensegrity Structure top
Ich wähle für die folgende Anordnung die englische Bezeichnung, da es offenbar kein deutsches Wort gibt.
Modell
......
Mein Beispiel für eine Tensegrity structure ist das nebenstehende Gebilde aus 12 Stäben, die kunstvoll an den Enden durch Schnüre miteinander verbunden sind. 

Der Körper ist in sich stabil. 

Im Inneren ist als Blickfang eine Glaskugel eingeschlossen. 
 


......
Verbindet man die Endpunkte der Stäbe durch Linien, so ergibt sich - leicht verfälscht - ein abgestumpftes Oktaeder. 

Hintergrund
In das unübersichtliche Gebilde kommt Ordnung, wenn man im abgestumpften Oktaeder für jedes Sechseck-Paar drei Raumdiagonalen einzeichnet. 

Da es, wie oben durch eine Animation veranschaulicht, vier Paare von Sechsecken gibt, ergeben sich insgesamt 12 Raumdiagonalen. 

Die roten Linien sind die Stäbe, die schwarzen Begrenzungslinien des abgestumpften Oktaeders sind Schnüre.


Zweite Version
...... Dieses ist eine Version, bei der die Schnüre durch dünne Stäbe ersetzt sind, die durch Bohrungen der dickeren Stäbe führen und sie in ihrer Lage halten. 

Es wird  als Denkspiel (schwer) verkauft: Man soll die Kugel im Inneren befreien.

Im Moment (November 2007) wird es im Dänischen Bettenhaus für 2,99 € verkauft.


Mehr Informationen über das interessante Thema Tensegrity kann man sich über die zahlreichen Links meiner Linkliste unten holen. 

Weitere Körper   top
Kuboktaeder
...... Aus einem Oktaeder kann ein zweiter Körper auch durch Abschneiden quadratischer Pyramiden entstehen. Dazu halbiert man die Kanten.
Dieser Körper entsteht auch aus einem Würfel durch die gleiche Prozedur. Er heißt Kuboktaeder.


Tetrakishexaeder
Verbindet man die Mittelpunkte nebeneinander liegender Mittelpunkte der Seitenflächen, so entsteht der duale Körper des abgestumpften Oktaeders, das Triakistetraeder oder der Pyramidenwürfel.
Er gehört zu den catalanischen Körpern.
...... Das Tetrakishexaeder setzt sich aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammen.

Er hat weiter 14 Ecken und 36 Kanten.


Abgestumpftes Oktaeder im Internet       top

Deutsch

H.B.Meyer
Abgestumpftes Oktaeder aus (sechs) Flechtstreifen

Wikipedia
Oktaederstumpf, Archimedischer KörperTensegrity, Tensegrity (Architektur)Tetrakishexaeder



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated OctahedronArchimedean SolidTensegrity

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Truncated Octahedron and the Cuboctahedron (Applet) 

G. Korthals Altes 
Paper Models of Truncated Octahedron

H.B.Meyer
Truncated Octahedron of six paper strips

Jaap Zonneveld's Stereoscopic show of Mathematical Models
Truncated Octahedron  (.gif picture)

Kenneth Snelson
Structure and Tensegrity

NN, Polyhedral toy (Japanische Seite)
Tensegrity

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programmes.

Wikipedia
Truncated octahedron, Archimedean solidTensegrity, Bitruncated cubic honeycomb
Tetrakis hexahedron

Französisch

Robert FERRÉOL
OCTAÈDRE TRONQUÉ


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 104)


Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2007, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

top