Triakistetraeder

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Was ist das Triakistetraeder?
Erste Annäherung
Zweite Annäherung
Dritte Annäherung
Zwei Netze und zwei Schlegel-Diagramme
Besondere Ansichten

Größen
Herleitungen
"Gekrönte" Tetraeder
Weitere Catalan-Körper
Triakistetraeder im Internet
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Was ist das Triakistetraeder?

...... Das Triakistetraeder ist ein mathematischer Körper, der von 12 gleichschenkligen, kongruenten Dreiecken gebildet wird. Es hat 8 Eckpunkte und 18 Kanten.
An vier Eckpunkten treffen drei, an den anderen vier Eckpunkten sechs Kanten aufeinander.

Es entsteht aus einem abgestumpften Tetraeder, indem man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen miteinander verbindet und dann den Körper aus diesen Strecken betrachtet. Das Triakistetraeder ist der duale Körper des Tetraederstumpfes. Die Körper, die auf diese Weise aus einem archimedischen Körper entstehen, heißen Catalan-Körper.

Mit dem Stereoblick sieht man das Triakistetraeder dreidimensional.

durchsichtig

undurchsichtig

Erste Annäherung top
Der Name erklärt sich dadurch, dass das Triakistetraeder auch entsteht, indem man auf die Seitenflächen eines Tetraeders vier passende Dreieckspyramiden setzt (tri=drei, acis=spitz).

Man zählt:
>Das Tetraeder hat 4 Seitenflächen. Dann hat das Triakistetraeder 4*3=12 Seitenflächen.
>Das Tetraeder hat 4 Eckpunkte. Dann hat das Triakistetraeder 4+8=8 Eckpunkte.
>Das Tetraeder hat 6 Kanten. Dann hat das Triakistetraeder 6+4*3=18 Kanten.

Zweite Annäherung top

...... Vorweg: Der Tetraederstumpf entsteht aus einem Tetraeder, indem man an den Ecken passend dreiseitige Pyramiden abschneidet.
Dazu teilt man die Kanten in drei gleiche Teile.

Wie oben erwähnt, entsteht das Triakistetraeder aus dem abgestumpften Tetraeder.
Es werden also die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des Tetraederstumpfes miteinander verbunden. Das geschieht in "Handarbeit" in mehreren Schritten.

...

Das abgestumpfte Tetraeder wird von 4 gleichseitigen Dreiecken und 4 regelmäßigen Sechsecken gebildet.

...

Markiere die Mittelpunkte der 4 Sechsecke in Rot und zur Unterscheidung die Mittelpunkte der 4 Dreiecke in Blau.

...

Verbinde die blauen Mittelpunkte der Dreiecke.
Es entsteht das rot markierte "erzeugende" Tetraeder, auf die noch die vier Dreieckspyramiden gesetzt werden müssen.

Das erfolgt in zwei Schritten.

...

Verbinde die Mittelpunkte jedes Sechsecks links und rechts mit den drei Mittelpunkten der benachbarten Dreiecke.

Man erkennt zwei aufgesetzte Dreieckspyramiden.

...

Verbinde die Mittelpunkte der Sechsecke hinten und unten mit den drei Mittelpunkten der benachbarten Dreiecke.

Das Triakistetraeder ist komplett.

...

Man kann das erzeugende, abgestumpfte Tetraeder außen weglassen.

Bei Dualität gelten die folgenden Aussagen:
>Die Anzahl der Seitenflächen und die der Eckpunkte tauschen sich aus.
>Die Anzahl der Kanten bleibt gleich.

>Das abgestumpfte Tetraeder hat 8 Seitenflächen. Dann hat das Triakistetraeder 12 Seitenflächen.
>Das abgestumpfte Tetraeder hat 12 Eckpunkte. Dann hat das Triakistetraeder 8 Eckpunkte.
>Das abgestumpfteTetraeder hat 18 Kanten. Dann hat das Triakistetraeder auch 18 Kanten.

Dritte Annäherung top

......
Oben wurde gezeigt, dass sich ein (rotes) Tetraeder ergibt, wenn man die Mittelpunkte der Dreiecke eines abstumpften Tetraeders miteinander verbindet.

...

Wenn man die Mittelpunkte der Sechsecke eines abstumpften Tetraeders miteinander verbindet, ergibt sich ein (kleineres) Tetraeder.

...

Beide zusammen bilden einen Körper aus zwei sich durchdringenden Tetraedern.

...

Das Triakistetraeder ist der Körper, der um beide Tetraeder herum liegt.

Das kleine Tetraeder im Inneren ist in dieser Zeichung jetzt blau.

Zwei Netze und zwei Schlegel-Diagramme top

Besondere Ansichten top
1

Erzeugendes Tetraeder
durchsichtig
undurchsichtig
undurchsichtig

Die Verbindungslinie eines Punkte mit 3 Kanten und eines Punktes mit 6 Kanten liegt senkrecht zur Zeichenebene und erscheint somit als Punkt.

Erzeugendes Tetraeder

durchsichtig

undurchsichtig

Die Seitenfläche unten steht senkrecht zur Zeichenebene und erscheint als Strecke.

Erzeugendes Tetraeder

durchsichtig

undurchsichtig

Das erzeugende Tetraeder erscheint als Quadrat mit seinen Diagonalen.

Erzeugendes Tetraeder

durchsichtig

oder undurchsichtig

Oben liegen zwei Eckpunkte, von denen 6 Kanten ausgehen, hintereinander.

Erzeugendes Tetraeder

durchsichtig

undurchsichtig

Drei Eckpunkte, von denen 6 Kanten ausgehen, liegen in der Projektion auf einer Geraden.

Größen top
Formeln
Das Triakistetraeder wird i.a. durch die lange Kante a festgelegt. Dann lassen sich daraus die Größen kurze Kante b, Volumen V, Oberfläche O, Höhe k der aufgesetzten Pyramide und Radius r der Inkugel wie folgt berechnen.

Für die Herleitung dieser Formeln werden die folgenden Formeln als bekannt vorausgesetzt.
Tetraeder:
Radius der Umkugel R''=(1/4)sqrt(6)a'', Radius der Inkugel r''=(1/12)sqrt(6)a'', V=(1/12)sqrt(2)a'', Höhe H=(1/3)sqrt(6)a'', Abstand zweier windschiefer Kanten: c=(1/2)sqrt(2).

Abgestumpftes Tetraeder: Radius der Umkugel R'=(1/4)sqrt(22)a', Radius der Inkugel r'=(3/4)sqrt(26)a',
Abstand der Mitte vom Dreiecks r₃=(5/12)sqrt(6)a'¸ Abstand der Mitte vom Sechseck r₆=(1/4)sqrt(6)a'.

Herleitungen top
Kurze Kante b
Die kurze Kante b ist die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte eines Dreiecks und eines Sechsecks des erzeugenden Tetraederstumpfes.

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Im roten Tetraeder gilt für den Winkel zwischen dem Radius der Umkugel und der Inkugel cos(beta) = r/R = [(1/12)sqrt(6)a'']:[(1/4)sqrt(6)a''] = 1/3.

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Nach dem Kosinussatz gilt b² = r₃²+r₆²-2r₃r₆cos(beta).

b² = r₃²+r₆²-2r₃r₆cos(beta)
= [(5/12)sqrt(6)a']²+[(1/4)sqrt(6)a']²-2[ 5/12)sqrt(6)a'] [(1/4)sqrt(6)a'](1/3) = (25/24)a'²+(3/8)a'²-(10/24)a'² = a'².
Also ist b=a'.

Die lange Kante a steht in folgender Beziehung zur Kante a' des erzeugenden Tetraeders.
Die Kante a ist die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Dreiecke des erzeugenden Tetraederstumpfes.

...

Das erzeugende Tetraeder des Tetraederstumpfes und das erzeugende Tetraeder des Triakistetraeders sind ähnlich, so dass gilt
a'':R''=a:r₃= oder a''r₃=R''a oder a''[(5/12)sqrt(6)a']=(1/4)sqrt(6)a''a oder (5/12)a’=(1/4)a oder a'=(3/5)a.

Also ist b=a'=(3/5)a

Höhe k der aufgesetzten Pyramide

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Die Höhe der Dreieckspyramide taucht als Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck mit der kurzen Seite b=(3/5)a und dem längeren Abschnitt der Seitenhalbierenden eines gleichseitigen Dreiecks auf. Er hat die Darstellung (1/3)sqrt(3)a.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt k² = (3/5a)²-[(1/3)sqrt(3)a]².
Dann ist k² = (9/25)a²-(1/3)a² = (27/75)a²-(25/75)a² = (2/75)a² = (6/225)a².
Daraus folgt k = (1/15)sqrt(6)a.

Volumen V

...

Für das Volumen addiert man die Volumina des erzeugenden Tetraeders und der 4 aufgesetzten Dreieckspyramiden.

V = 4*(1/3)[(1/4)sqrt(3)a²][(1/15)sqrt(6)a]+(1/12)sqrt(2)a³ = (1/15)sqrt(2)a³+(1/12)sqrt(2)a³
= (4/60)sqrt(2)a³+(9/60)sqrt(2)a³ = (3/20)sqrt(2)a³

Oberfläche O

....

Das Triakistetraeder wird von 12 kongruenten, gleichschenkligen Dreiecken mit den Seitenlängen a und b=(3/5)a gebildet.
Für die Höhe gilt h'² = [(3/5)a]²-[(1/2)a]² = (9/25)a²-(1/4)a² = (11/25)a².
Dann ist h' = (1/10)sqrt(11)a.

Dann ist O = 12*[(1/2)a(1/10)sqrt(11)a] = (12/20)sqrt(11)a² = (3/5)sqrt(11)a²

Radius r der Inkugel

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Man legt durch das Triakis-Tetraeder eine Schnittfläche, in der die Inkugel als Kreis erscheint.

...

Die Schnittlinie ist ein Fünfeck aus den Strecken h', h', a', a' und (5/3)a', (5/3)a'.

Es ist für die Rechnung günstig, vorerst die Seitenlänge a' des abgestumpften Tetraeders beizubehalten.

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Man zeichnet den Kreis ein.
Der Radius r ist Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse r₆.
Die Strecke r₆ ist der Abstand des Mittelpunktes des Sechsecks vom Mittelpunkt des Tetraederstumpfes.
Führt man den Winkel gamma ein, so gilt sin(gamma)=r/r₆ oder r=r₆*sin(gamma).
Es gilt, den Winkel gamma zu bestimmen.

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Dazu betrachtet man das größere Dreieck mit den Seiten c, h' und r₆.
Die Strecke 2c ist der Abstand zweier windschiefer Kanten eines Tetraeders.
Es gilt 2c=(1/2)sqrt(2)(5/3)a'=(5/6)sqrt(2)a' oder c=(5/12)sqrt(2)a'.
Die Seite h' ist die Höhe einer Seitenfläche des Triakistetraeders.
Es gilt h'= (1/10)sqrt(11)a = (1/10)sqrt(11)*(5/3)a' = (1/6)sqrt(11)a'.
Schließlich ist r₆=(1/4)sqrt(6)a'.

Nach dem Kosinussatz gilt c²=r₆²+h'²-2r₆h'cos(gamma). Dann ist
...

Weiter
...

Dann ist r=(5/44)sqrt(22)a'==(5/44)sqrt(22)(3/5)a=(3/44)sqrt(22)a.

"Gekrönte" Tetraeder top
Triakistetraeder

...... Das Triakistetrader wird auf dieser Seite als ein Tetraeder vorgestellt, auf dessen Seitenflächen dreiseitige Pyramiden der Höhe k=(1/15)sqrt(6)a (oder gerundet 0,16a) liegen.

Würfel

...

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Wächst die Höhe der aufgesetzten Dreieckspyramiden weiter, so wird der Zustand erreicht, bei dem zwei aneinander stoßende Dreiecke in einer Ebene liegen.
Der Körper artet zu einem Würfel aus.
Die Höhe der Dreieckspyramide ist (1/6)sqrt(6)a (oder gerundet 0,40a).

Hypertetraeder

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Wächst die Höhe weiter, so wird der Körper konkav und zu einem Stern.

Markant ist er, wenn die aufgesetzten Pyramiden wie die erzeugende Pyramide auch Tetraeder sind.
Die Höhen sind dann h=(1/3)sqrt(6) (oder gerundet 0,82a).

Er ist dadurch bekannt, dass er ein Netz des vierdimensionalen Tetraeders, des Hypertetraeders, ist.

Weitere Catalan-Körper top
Auf meiner Webseite Archimedische Körper findet man Stereo-Bilder aller catalanischen Körper.

Drei Beispiele

05 Abgestumpftes Oktaeder und Hexaederstumpf