Kuboktaeder
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Was ist das Kuboktaeder? 
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Beschreibungen
Größen
Verschiedenes
Weitere Körper
Rainbow Cube
Kuboktaeder im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein Kuboktaeder?
......
Ein Kuboktaeder ist ein Körper, der von sechs Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.
Neben den 6+8=14 Seitenflächen hat das Kuboktaeder 24 Kanten und 12 Eckpunkte.


Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht das Kuboktaeder räumlich.
 

durchsichtig

undurchsichtig


Entstehung
Das Kuboktaeder kann aus einem Würfel entstehen. 

Man verbindet die Kantenmitten des Würfels. Dadurch entstehen an den Würfelecken acht Pyramiden, die man entfernt. Der Restkörper ist dann das Kuboktaeder. 


Name
Offenbar setzt sich das Wort Kuboktaeder aus Kubus und Oktaeder zusammen. 
......
Setzt man nämlich auf die Würfelflächen quadratische Pyramiden wie links im Bild, so kann man sich vorstellen, dass sich ein (grüner) Würfel und ein (rotes) Oktaeder durchdringen. 
Der gemeinsame Bereich, der Kern, ist das Kuboktaeder. 
Andere Namen sind Mittelkristall oder Kubooktaeder.

Einordnung
Da beim Kuboktaeder (8) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört er zu den 13 archimedischen Körpern.

Beschreibungen     top
Umgebungen
Jedes Quadrat wird von 4 gleichseitigen Dreiecken umgeben.


Jedes gleichseitige Dreieck wird von 3 Quadraten umgeben.

Parallelprojektionen

Ein Quadrat, ein Dreieck, eine Kante und ein Eckpunkt liegen vorne.

Netze

Schlegel-Diagramm

Diagonalen
12 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Quadrate bilden die Flächendiagonalen des Kuboktaeders. Jedes Quadrat hat 2 Diagonalen.

Das führt zu insgesamt 6*2=12 Flächendiagonalen.


30 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 12 Eckpunkte gehen je 5 Raumdiagonalen aus. 

Das führt zu insgesamt (1/2)*12*5=30 Raumdiagonalen des abgestumpften Würfels.


Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das Kuboktaeder bedeutet das, dass es (1/2)*11*12=66 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 24 Kanten, 12 Flächendiagonalen und 30 Raumdiagonalen.

Größen    top
Das Kuboktaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich weiteren die Größen Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand der Dreiecke d3 und Abstand der Quadrate d4 berechnen.
Es gilt:


Herleitung der Formeln
Umkugel
Es wird nur der erzeugende Würfel dargestellt.

In der Zeichnung kann man R=a ablesen.

Kennt man die Sechsecke im Kuboktaeder, so ist R=a noch einfacher einzusehen (siehe unten).

Oberfläche
Ist a die Kantenlänge, so ist die Oberfläche O = 6*a²+8*(1/4)sqrt(3)a² = [6+2sqrt(3)]a². 
Es wird die Flächenformel A = (1/4)sqrt(3)a² eines gleichseitigen Dreiecks benutzt.

Volumen
Vorweg: Der erzeugende Würfel hat die Kantenlänge sqrt(2)a. Sein Volumen V' = 2sqrt(2)a³.
Es bietet sich der Weg an: Das Volumen des erzeugenden Würfels wird um die Volumen der acht abgeschnittenen Dreieckspyramiden vermindert.
Für das Volumen einer abzuschneidenden Pyramide gilt:
V'' = (1/3)*[(1/2)sqrt(2)a]²*[(1/2)sqrt(2)a] = ... = (1/24)sqrt(2)a³.
Das Volumen des Kuboktaeder ist dann V = V'-8V'' = 2sqrt(2)a³-8*[(1/24)sqrt(2)a³] = (5/3)sqrt(2)a³.

Abstand der Dreiecke
Beim Kuboktaeder liegen sich zwei Dreiecksflächen gegenüber. Ihr Abstand d2 ist gleich der Raumdiagonalen des Würfels sqrt(6)a, vermindert um die doppelte Höhe der Eckenpyramide. 
Es gilt V'' = (1/3)[(1/4)sqrt(3)a²]h. Dabei ist die Grundfläche das gleichseitige Dreieck.
Andererseits ist V'' = (1/24)sqrt(2)a³ (s.o)
Daraus folgt h = (1/6)sqrt(6)a.
Der gesuchte Abstand ist d2 = sqrt(6)a-2[sqrt(6)/6]a = (2/3)sqrt(6)a, wzbw.

Abstand der Quadrate
Beim Kuboktaeder liegen sich zwei Quadratflächen gegenüber. Ihr Abstand ist d1=sqrt(2)a.
Winkel zwischen zwei Seitenflächen

Der Winkel zwischen Dreieck und Quadrat beträgt 125°16'. 
Quelle (2)

Verschiedenes    top
Sechsecke
Beim Kuboktaeder liegen immer zwei Dreiecke paarweise gegenüber. Genau in der Mittelebene liegt ein regelmäßiges Sechseck als Begrenzungslinie.

Es gibt vier verschiedene Sechsecke. 


Oktaeder bauen
Man kann die acht vom erzeugenden Würfel abgeschnittenen Dreieckspyramiden zu einem Oktaeder zusammensetzen, der in den erzeugenden Würfel passt.

Dichteste Kugelpackung
Legt man an eine (rote) Kugel in der Ebene sechs gleiche Kugeln und in die Vertiefungen oben und unten je drei weitere Kugeln, so bilden die Mittelpunkte der (grauen) Kugeln die Eckpunkte eines Kuboktaeders.

Das führt zur kubisch dichtesten Kugelpackung im Raum. 12 Kugeln berühren eine Zentralkugel. 
Im zweidimensionalen Fall berühren 6 Kreise eine Zentralkreis, im vierdimensionalen 24 Hyperkugeln eine Zentralhyperkugel. Eine Zahl wie 6,12 oder 24 heißt "kissing number".

Eulerscher Weg
Beim Kuboktaeder treffen an jeder Ecke vier Kanten aufeinander. Deshalb ist es möglich, den Kanten so zu folgen, dass man jede Kante genau einmal passiert. 
Mehr findet man auf meiner Seite Haus des Nikolaus.


Papiermodell
Zum Buch "M.C.Escher Kaleidozyklen" gehört auch die Vorlage für einen Kuboktaeder.

Weitere Körper     top
Zwei Hemipolyeder
...... Verbindet man die Eckpunkte des Kuboktaeders mit dem Mittelpunkt, so entstehen Vertiefungen in Form von quadratischen und dreiseitigen Pyramiden. Man könnte das Gebilde auch aus den vier Sechsecken im Kuboktaeder erzeugen. 



Oktahemioktaeder
...... Füllt man nur die dreiseitigen Pyramiden aus, so entsteht ein Körper aus acht dreiseitigen Pyramiden, die sich berühren und deren Spitzen sich im Mittelpunkt treffen.

Kubohemioktaeder
......
Füllt man nur die quadratischen Pyramiden aus, so entsteht ein Körper aus sechs quadratischen Pyramiden, die sich berühren und deren Spitzen sich im Mittelpunkt treffen.

Rhombendodekaeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des Kuboktaeders, so entsteht sein dualer Körper, das Rhombendodekaeder.

Dreieckskuppel (Triangular Cupola)
Die Dreieckskuppel entsteht, wenn man das Kuboktaeder längs eines Sechsecks halbiert. 
Sie wird von einem Sechseck, drei Quadraten und vier gleichseitigen Körpern gebildet. 
Sie ist der Johnson-Körper J3.

Rhombenkuboktaeder
Kleines Rhombenkuboktaeder

Großes Rhombenkuboktaeder oder abgestumpftes Kuboktaeder


Rainbow Cube     top
...... Das Kuboktaeder ist zu einem Puzzle geworden. Es stammt aus Japan.
Zwischen der Sechseckebene und dem Außendreieck wird eine Mittelebene gelegt. So entsteht zu jedem Dreieck eine Scheibe, die drehbar ist, und zwar um eine Achse, die senkrecht zur Dreiecksebene liegt und durch den Körpermittelpunkt verläuft. 
Links ist eine von acht drehbaren Scheiben grau gekennzeichnet. 


...... Die Außenflächen des Kuboktaeder sind wie bei Rubiks Zauberwürfel gefärbt. Gegenüberliegende  Flächen haben die gleiche Farbe.

Dreht man planlos einige der acht Schichten, so wird der Körper bunt. Aufgabe ist es den Körper so zu ordnen, dass die Außenflächen wieder einfarbig werden. 


So sieht das Puzzle aus:

Kuboktaeder im Internet       top

Deutsch

Claus Michael Ringel 
Kuboktaeder

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
Truncated Cube and Cuboctahedron (Applet) 

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Kubo-Oktaeder

Wikipedia
Kuboktaeder, Archimedischer KörperGroßes RhombenkuboktaederRhombendodekaeder

Englisch

Eric W. Weisstein     (MathWorld) 
Cuboctahedron, Triangular CupolaArchimedean Solid, Kissing NumberOctahemioctahedron
Cubohemioctahedron

Eric Swab
Why This Site?, Archimedean Polyhedra 

George W. Hart
Virtual Polyhedra (The Encyclopedia of Polyhedra)

Gijs Korthals Altes 
Paper model Cuboctahedron

H. B. Meyer (Polyhedra plaited with paper strips)
Cuboctahedron

Jaap Scherphuis
Rainbow Cube

Kenneth James Michael MacLean
THE CUBEOCTAHEDRON

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia
Cuboctahedron, Truncated cuboctahedron, Triangular cupolaRhombic dodecahedronHemipolyhedron, Cubohemioctahedron, Octahemioctahedron

Französisch

Robert FERRÉOL
CUBOCTAÈDRE


Referenzen        top
(1) Doris Schattenschneider und Wallace Walker, M.C.Escher Kaleidozyklen, Köln 1992
(2) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 102)


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©  2004, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

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