Kleines Rhombenikosidodekaeder
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Was ist das Rhombenikosidodekaeder?
Entstehung
Beschreibungen
Größen
Dualer Körper
Rhombenikosidodekaeder im Internet
Referenzen
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Was ist das kleine Rhombenikosidodekaeder?
......
Das kleine Rhombenikosidodekaeder ist ein Körper, der von 20 gleichseitigen Dreiecken, 30 Quadraten und 12 regelmäßigen Fünfecken gebildet wird. 

Der Körper heißt auch "abgeschrägtes Dodekaeder" oder "abgeschrägtes Ikosaeder". 


Neben den 20+30+12=62 Seitenflächen hat das Rhombenikosidodekaeder 120 Kanten und 60 Eckpunkte.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
 

durchsichtig

undurchsichtig



Da beim kleinen Rhombenikosidodekaeder (11) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Entstehung   top

Man kann das Rhombenikosidodekaeder aus einem Pentagondodekaeder gewinnen. 
1 Man gibt ein Dodekaeder vor.
2 Alle Kanten werden passend abgeflacht, hier angedeutet an einer Kante. 
3 Aus den blauen, abgeschrägten Kanten werden in der Mitte die Quadrate. Die Ecken werden abgeflacht.
4 Es entsteht das Rhombenikosidodekaeder.

Die 12 fünfeckigen Seitenflächen des Dodekaeders werden reduziert zu kleineren Fünfecken.
Die 20 Ecken des Dodekaeders werden dreieckig abgeschnitten. 
Die 30 Mittelstücke der Kanten des Dodekaeders werden zu Quadraten.

Man erhält das Rhombenikosidodekaeder auch, wenn man beim Ikosaeder die Kanten in gleicher Weise abschrägt.
Dann werden die 20 dreieckigen Seitenflächen des Ikosaeders zu 20 Dreiecken.
Die 12 Ecken des Ikosaeders werden fünfeckig abgeschnitten. 
Die 30 Mittelstücke der Kanten des Ikosaeders werden zu Quadraten.

Beschreibungen  top
Umgebungen der Vielecke

Jedes Dreieck ist von drei Quadraten umgeben.

Jedes Fünfeck ist von fünf Quadraten  umgeben.

Jedes Quadrat ist von zwei Dreiecken und zwei Fünfecken umgeben.



Fünfeckkuppeln
Die Fünfeckkuppel hat ein Zehneck als Grundfläche und ein Fünfeck als Deckfläche. Die Fläche dazwischen besteht aus fünf Dreiecken und fünf Quadraten. 

...... Beim kleinen Rhombenikosidodekaeder gehört zu jedem Fünfeck eine Fünfeckkuppel. Zwei Kuppeln liegen sich jeweils gegenüber. 
Danach besteht der Körper aus 12 ineinander geschachtelten Fünfeckkuppeln.
Im Körper liegen also 12 Zehnecke.

Halbierung
Umläuft man längs einer Halbierungslinie den Körper, so folgen Fünfeck/Quadrat/Fünfeck und Dreieck/Quadrat/Dreieck 2x aufeinander. 

Parallelprojektionen
Ein Fünfeck, ein Quadrat, ein Dreieck, eine Kante 4/3, eine Kante 4/5 und ein Eckpunkt liegen vorne.

Netz und Schlegel-Diagramm

Diagonalen
120 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Fünfecke und der Quadrate sind die Flächendiagonalen des kleinen Rhombenikosidodekaeders
Das Fünfeck hat 5, das Quadrat 2 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 12*5+30*2=120 Flächendiagonalen.

1530 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 60 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 4 Flächendiagonalen und 4 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 60-8=52 Punkten enden dann Raumdiagonalen. Das führt zu insgesamt (1/2)*60*51=1530 Raumdiagonalen des kleinen Rhombenikosidodekaeders.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das kleine Rhombenikosidodekaeder bedeutet das, dass es (1/2)*59*60=1770 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 120 Kanten, 120 Flächendiagonalen und 1530 Raumdiagonalen.

Größen  top
Das kleine Rhombenikosidodekaedersei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich die Größen Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand der Dreiecke d3, Abstand der Quadrate d4 und Abstand der Fünfecke d5 berechnen.


Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.

Beim Pentagondodekaeder ist der Radius der Inkugel r=(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a.


Gleichseitiges Dreieck
Flächeninhalt A3 = (1/4)sqrt(3)a²
h3 = (1/2)sqrt(3)a
R3 = (1/3)sqrt(3)a
.
Quadrat
Flächeninhalt A4 = a² 
Diagonale d = sqrt(2)a
R4 = (1/2)sqrt(2)a.
.
Regelmäßiges Fünfeck
d=(1/2)[sqrt(5)+1]a
A5 = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a² 
R5 = (1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a
r5 = (1/10)[sqrt(25+10sqrt(5))]a 

Radius der Umkugel R
Man muss etwas weiter ausholen.
......
Gegeben sei ein regelmäßiges Fünfeck mit der Seitenlänge a'. Seine Seiten werden in drei gleiche Strecken aufgeteilt. Zeichnet man durch die Teilpunkte Parallelen zu den Seiten, so entsteht im Inneren ein Fünfeck mit der Seitenlänge a. Die Strecke a ist die kurze Diagonale in einem Fünfeck mit der Grundseite (1/3)a'.

Es besteht also die Beziehung a = (1/2)[sqrt(5)+1](1/3)a' oder a = (1/6)[sqrt(5)+1]a'.
Das bedeutet a' = 6/{[sqrt(5)+1]a} oder a' = (3/2)[sqrt(5)-1]a.


......
Man errichtet über der Grundseite a des kleinen Fünfecks ein Rechteck mit den Seiten a und e. Dabei ist e eine Diagonale in einer Eckraute des großen Vierecks. Weiter errichtet man seitlich über e ein gleichseitiges Dreieck.
Durch die Drittelung des großen Fünfecks hat man aber erricht, dass e=a gilt. 

Das wird in der Zeichnung oben gezeigt. 
Nach dem zweiten Strahlensatz ist e:d' = 1:3 oder e=(1/3)d'=(1/6)[sqrt(5)+1]a'=a.

Man kann also an das innere Fünfeck ein Quadrat und an das Quadrat ein gleichseitiges Dreieck anhängen und so schrittweise zu allen Seitenflächen des kleinen Rhombenikosidodekaeders gelangen. 

Das große Fünfeck gehört also zum erzeugenden Pentagondodekaeder und das innere zum kleinen Rhombenikosidodekaeder.

Mit der Beziehung a' = (3/2)[sqrt(5)-1]a von oben wird der Radius R der Umkugel des kleinen Rhombenikosidodekaeders berechnet.
...... Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem R als Hypotenuse erscheint.
Die Katheten sind r' als Radius der Inkugel des erzeugenden Dodekaeders und R5 als Radius des Umkreises des Fünfecks.
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras 
R²=r'²+R5² oder R² = {(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a'}²+{(1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a}²
Dann ist R² = (1/400)[250+110sqrt(5)]a'²+(1/100)[50+10sqrt(5)]a².
In diese Gleichung setzt man noch a' = (3/2)[sqrt(5)-1]a bzw. a'²=(9/4)[6-2sqrt(5)]a² ein und vereinfacht.
R²/a² = (9/160)[(25+11sqrt(5)][6-2sqrt(5)]+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = (9/160)[150-50sqrt(5)+66sqrt(5)-110]+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = (9/160)[40+16sqrt(5)]+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = 9/4+(9/10)sqrt(5)+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = 11/4+sqrt(5)
Dann ist R = sqrt[11/4+sqrt(5)]a oder R = (1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a, wzbw..

Diese Herleitung wurde von Alexandra Meier-Holst zur Verfügung gestellt, danke!

Oberfläche O
O = 20*A3+30*A4+12*A5 = 20*(1/4)sqrt(3)a² + 30*a²+12*(1/4){sqrt[25+10sqrt(5)]}a² 
...= [30+5sqrt(3)+3{sqrt[25+10sqrt(5)]}a², wzbw.

Abstand der Dreiecke d3
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d3/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d3/2)² = R²-R3² und weiter 
(d3/2)² = {(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[ ]² =...= (1/144)[348+144sqrt(5)]a².
Dann ist d3/2 = (1/12)sqrt[348+144sqrt(5)]a oder 
dank Derive d3/2 = (1/12)[6sqrt(3)+4sqrt(15)]a.

Abstand der Quadrate d4
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d4/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d4/2)² = R²-R4² und weiter 
(d4/2)² = {(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[(1/2)sqrt(2)a]² =...= (1/4)[9+4sqrt(5)]a².
Dann ist d4/2 = (1/2)sqrt[9+4sqrt(5)]a oder dank Derive d4/2 = (1/2)[2+sqrt(5)]a.

Abstand der Fünfecke d5
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d5/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d5/2)² = R²-R5² und weiter 
(d5/2)² = {(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[(1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a]²
... = (1/100)[225+90sqrt(5)]a²
Dann ist d5/2 = (1/10)sqrt[225+90sqrt(5)]a.

Volumen V
Verbindet man den Mittelpunkt des kleinen Rhombenikosidodekaeders mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich als der Summe der Volumina der Einzelpyramiden.
V = 20*(1/3)A3(d3/2) + 30*(1/3)A4(d4/2) + 12*(1/3)A5(d5/2)
= 20*(1/3)[(1/4)sqrt(3)a²](1/12)[6sqrt(3)+4sqrt(15)]a
...+30*(1/3)a²(1/2)[2+sqrt(5)]a
...+12*(1/3){(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²}(1/10)sqrt[225+90sqrt(5)]a
= ...
= (5/18)[3sqrt(15)+10sqrt(10)]a³+5[2+sqrt(5)]a³+(3/2)[5+2sqrt(5)]a³
=...
= [20+(29/3)sqrt(5)]a³ = (1/3)[60+29sqrt(5)]a³, wzbw.


Zwei Winkel
Der Winkel zwischen einer Fünfeck- und Quadratfläche ist 148°17'.
Der Winkel zwischen einer Dreieck- und Quadratfläche ist 159°6'.
(1) Seite 111

Dualer Körper top
Deltoidalhexakontaeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des kleinen Rhombenikosidodekaeders, so entsteht der duale Körper, das Deltoidalhexakontaeder. 


Rhombenikosidodekaeder im Internet    top

Deutsch

Wikipedia
Rhombenikosidodekaeder, Archimedischer KörperCatalanischer KörperDeltoidalhexakontaeder



Englisch

Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Small Rhombicosidodecahedron  Dual: Deltoidal Hexecontahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Rhombicosidodecahedron (Applet)

G. Korthals Altes
Paper Model Rhombicosidodecahedron

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia
Rhombicosidodecahedron, Archimedean solid, Catalan solid, Deltoidal hexecontahedron

Französisch

Robert FERRÉOL
RHOMBICOSIDODÉCAÈDRE


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 111)


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©  2008, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

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