Pentagondodekaeder

Inhalt dieser Seite

Was ist ein Pentagondodekaeder?
Aufbau eines Dodekaeders
Parallelprojektionen
Dodekaeder und Würfel
Größen

Zwillingswürfel
Dualität von Pentagondodekaeder und Ikosaeder
Fünfeckleuchte
Referenzen
Pentagondodekaeder im Internet..

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Was ist ein Pentagondodekaeder?
Ein Pentagondodekaeder oder kurz ein Dodekaeder ist ein Körper aus 12 regelmäßigen Fünfecken.

Pentagondodekaeder heißt Fünfeckzwölfflächner.

Es gehört zu den fünf Platonischen Körpern.

Das Bildpaar (und die folgenden) ermöglichen eine dreidimensionale Sicht der Körper.

Aufbau eines Dodekaeders top

1
2
3
4

1 Sechs regelmäßige Fünfecke bilden eine Rosette. Klappt man die äußeren Fünfecke nach oben, so dass sie sich berühren, entsteht eine Schale.
2 Zwei Schalen legt man verdreht aufeinander und erhält so das Dodekaeder. Zwei Fünfecke (grün) liegen parallel und bilden die Grund- und Deckfläche.
3, 4 Zwischen ihnen liegen zehn Fünfecke.

Parallelprojektionen top
Das Dodekaeder hat 30 Kanten, 12 Flächen und 20 Eckpunkte.

Blick auf eine Kante, eine Seitenfläche und eine Ecke in Richtung auf den Mittelpunkt des Dodekaeders.

Hauptdiagonalen top

Zeichnet man alle zehn Diagonalen ein, die durch den Mittelpunkt des Dodekaeders verlaufen, so erkennt man:
Das Dodekaeder wird von 12 fünfseitigen gleichen Pyramiden gebildet, die sich in der Mitte treffen.

Dodekaeder und Würfel top
Es ist möglich, in ein Dodekaeder einen Würfel einzuzeichnen, indem man bestimmte Eckpunkte miteinander verbindet. Dann erscheint es als Würfel, auf dessen Seitenflächen Walmdächer aufgesetzt sind.

Der Übersichtlichkeit halber wird nur ein Walmdach eingezeichnet. Von den anderen Dächern erscheinen nur die Höhe und der First.

...

Ein Walmdach besteht aus einem dreiseitigen Prisma und zwei schiefen Rechteckpyramiden. Die Rechtecke sind gelb gefärbt.

Unten wird gezeigt, dass man auf diesem Wege das Volumen des Dodekaeders bestimmen kann.

Konkaves Dodekaeder

...

Wenn man einen Würfel vorgibt und die sechs Walmdächer nach innen richtet, entsteht ein sogenanntes konkaves Dodekaeder.

Will man den dreidimensionalen Raum mit Dodekaeder ausfüllen, so kann man diesen Körper für die Lücken verwenden.

Größen top
Das Dodekaeder hat die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Radius R der Umkugel und den Radius r der Inkugel.
Ist die Kantenlänge a gegeben, so gilt für die übrigen Größen:

Herleitungen

...

Man verwendet im folgenden Formeln des regelmäßigen Fünfecks.
d=[1+sqrt(5)]/2*a
h = sqrt[5 + 2*sqrt(5)]/2*a (folgt aus d²=h²+a²/4)
A_f=sqrt[25+10sqrt(5)]/4*a²

Volumen V

...

Das Dodekaeder setzt sich aus einem Würfel der Kantenlänge d und sechs Walmdächern zusammen. Ein Walmdach besteht aus einem Prisma und zwei schiefen Rechteckpyramiden.
V=d²+6*(dH/2)a+12*d(d-a)H/6
Die Höhe H der Rechteckpyramide wird wie folgt bestimmt:

...

Man benötigt die Dreieckshöhe h', die im regelmäßigen Fünfeck auftaucht.
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras h'²=a²-d²/4.
Weiter ist H²=h'²-(d-a)²/4 = (a²-d²/4)-(d-a)²/4 und schließlich H=a/2.

Man setzt d=[1+sqrt(5)]/2*a und H=a/2 in die Volumenformel V=d³+6(dH/2)a+12d(d-a)H/3 ein. Es ergibt sich
V=d³+6*[1+sqrt(5)]/8+12*a³/12 = [15+7sqrt(5)]/4*a³ oder ungefähr V=7,7a³.

Einfacher kann man das Volumen wohl über die zwölf fünfseitigen Pyramiden, die durch die Raumdiagonalen erzeugt werden, bestimmen.

Oberfläche O
O=12A_f=12*sqrt[25+10sqrt(5)]/4*a² = 3*sqrt[25+10sqrt(5)]a² oder ungefähr 20,6a²

Radius R der Umkugel und Radius r der Inkugel
1 Man legt durch die Mitte des Körpers einen Schnitt, der dann die Kugeln als Kreise zeigt.

2 Die Schnittfläche ist ein Sechseck, das aus vier Höhen und zwei Kanten des Dodekaeders gebildet wird.

3 Den Radius R der Umkugel bestimmt man, indem man nach dem Satz des Pythagoras zunächst die Hilfsstrecke x bestimmt:
h²=x²+(x-a/2)² oder nach längerer Rechnung x=a/4+a/4[sqrt(9+4sqrt(5))]=a/4+a/4[2+sqrt(5)]=a/4[3+sqrt(5)].
Dann gilt wieder nach dem Satz des Pythagoras R²=a²/4+x² oder R=sqrt[18+6sqrt(5)]a/4=[sqrt(3)+sqrt(15)]a/4.

4 Den Radius r der Inkugel bestimmt man, indem man nach dem Satz des Pythagoras zwei Gleichungen für y und r aufstellt.

x²=r²+(h-y)² und R²=y²+r². Man eliminiert dann r und erhält x²-(h-y)²=R²-y² und weiter y=(R²-x²+h²)/(2h)=(a²/4+h²)/(2h) und y=[3+sqrt(5)]/[2sqrt(5+2sqrt(5))]a.
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich nach längerer Rechnung r=sqrt(R²-y²)=sqrt[250+110sqrt(5)]a/20.
Die Ergebnisse sind also

Winkel zwischen zwei Seitenflächen

...

Der Winkel taucht im unregelmäßigen Sechseck, das das Dodekaeder halbiert, auf und zwar zwischen den Höhen zweier Fünfecke.
Für den halben Winkel gilt sin (epsilon) = r/x oder sin (epsilon)=sqrt[50+10*sqrt(5)].
Daraus folgt epsilon = 58,3°.

Dann ist der Winkel zwischen zwei Seitenflächen 2*epsilon=116,6°.

In Formelsammlungen findet man 2*epsilon=arc cos[-sqrt(5)/5].

Zwillingswürfel top
Es gibt fünf Möglichkeiten, einen Würfel in das Dodekaeder zu legen (1, Seite 103ff.).

Hier ist eine zweite Möglichkeit:

Legt man die Bilder übereinander, so sieht man mit dem Stereoblick, dass die Würfel eine gemeinsame Raumdiagonale (grün) haben und um diese gegeneinander gedreht sind. In Buch (1) kann man nachlesen, dass es 60° sind.

Die Darstellung wird klarer, wenn man das Dodekaeder weglässt und nur die sichtbaren Teile der Würfel zeichnet.

Diese Anordnung heißt nach (2) Seite455f. Zwillingswürfel bzw.twin cube.

Dualität von Pentagondodekaeder und Ikosaeder top

Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenfünfecke
eines Dodekaeders, entsteht ein Ikosaeder.

Verbindet man die Mittelpunkte der Seitendreiecke
eines Ikosaeders, entsteht ein Dodekaeder.

Die beiden Zeichnungen hat mir Christian Grünwaldner zur Verfügung gestellt.

Fünfeckleuchte top
Zu Weihnachten erhielt ich einmal als Geschenk eine Leuchte in Form eines Dodekaeders.

...

Man stellt die Leuchte aus 11 einzelnen gleichen Fünfecken aus Karton der Seitenlänge 6,0cm her. Zum Zusammenkleben befinden sich auf den Seiten gleichschenklige Dreiecke der Schenkellänge 3,5cm.

Wie man ein Fünfeck zeichnet, wird auf meiner Seite regelmäßiges Fünfeck beschrieben.

Das Besondere an dieser Leuchte ist, dass sich auf den Fünfecken durch die Klebflächen ein Sternmuster bildet. Die Sterne werden sichtbar, wenn man in den oben offenen Behälter ein brennendes Teelicht stellt.

Referenzen top
(1) Hugo Steinhaus: 100 Aufgaben, Leipzig-Jena-Berlin, 1968
(2) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York - London 1997 (ISBN0-393-04002-X)

Pentagondodekaeder im Internet top

Deutsch:

Christian Zeiter
Das Pentagondodekaeder von Schwarzenacker

Christoph Pöppe (wissenschaft.online.de)
Serie zur räumlichen Geometrie
u.a. Folge 12: Durchdringungskörper

Dieter Ortner (Zentralschweizer Bildungsserver)
Die fünf Platonischen Körper (.pdf-Datei, 1,133 MByte)

Gerd Müller (Platonische Körper in Stereodarstellung)
u.a. Dodekaeder mit eingeschriebenem Oktaeder

Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Dodekaeder

Walter Fendt
Das Dodekaeder (.pdf-Datei)

Wikipedia
Dodekaeder

Englisch:

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Dodecahedron

Jim Lehmann
Regular Pentagonal Dodecahedron Overview