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Was ist das Pentagondodekaeder?
... .... |
Das Pentagondodekaeder (Kurzform
Dodekaeder) ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen
Fünfecken
gebildet wird.
Pentagondodekaeder heißt
Fünfeck-Zwölf-Flächner.
| Das Pentagondodekaeder ist
ein platonischer Körper. |
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Die folgenden Bildpaare ermöglichen
eine dreidimensionale Sicht des Körpers.
durchsichtig
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undurchsichtig
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Im Englischen heißt
der Körper
Regular Dodecahedron, meist abgekürzt als Dodecahedron.
Offensichtlich in Anlehnung daran findet man statt des
Wortungetüms Pentagondodekaeder immer
mehr die Bezeichnung Regelmäßiges Dodekaeder wie z.B.
bei de.wikipedia.
Beschreibungen top
Daten
Das Dodekaeder hat k=30 Kanten, f=12 Flächen und
e=20 Eckpunkte. Es gilt der eulersche Polyedersatz e+f=k+2.
In jedem Eckpunkt treffen drei Kanten und drei Flächen
aufeinander.
Aufbau
... ... |
Sechs regelmäßige Fünfecke bilden in
der Ebene eine Rosette.
Klappt man die äußeren Fünfecke nach oben,
so dass sie sich berühren, entsteht eine Schale. |
... ... |
Legt man zwei Schalen verdreht aufeinander, erhält
man das Dodekaeder.
Zwei Fünfecke liegen parallel und sind um 180°
gegeneinander verdreht. Sie bilden die Grundflächen. Dazwischen liegt
im Zickzack ein Band aus zehn Fünfecken. |
Zwei
Rechtecke
In das Dodekaeder lassen sich wegen
der parallelen Gegenflächen u.a. die folgenden Rechtecke einpassen.
Anzahl
der Raumdiagonalen
... ... |
Verbindet man die 20 gegenüberliegenden Eckpunkte,
entstehen 10 Raumdiagonalen.
Sie verlaufen durch den Mittelpunkt des Dodekaeders. |
Es gibt noch zwei Sorten
kürzerer Raumdiagonalen.
... ... |
Von einem Punkt gehen 3 Diagonalen einer mittleren Länge
aus.
Da es 20 Ecken gibt, macht das 3*20=60 Diagonalen.
Dabei wird jede Diagonale doppelt gezählt.
Es gibt also 30 Raumdiagonalen dieser Art. |
... ... |
In jedem Punkt beginnen 6 kurze Diagonalen.
Da es 20 Ecken gibt, macht das 6*20=120 Diagonalen.
Dabei wird jede Diagonale doppelt gezählt.
Es gibt also 60 Raumdiagonalen dieser Art. |
Auf die Anzahl 10+30+60=100
Raumdiagonalen kommt man auch auf einem anderen Wege.
Das Dodekaeder hat 20 Eckpunkte. Verbindet man alle Punkte,
so erhält man "20 über 2"=190 Linien.
Die Anzahl der Raumdiagonalen ergibt sich, wenn man die
Anzahl der Kanten (30) und die Anzahl der Flächendiagonalen (12*5=60)
abzieht. Das ergibt 100.
Halbierung
des Dodekaeders
... ... |
Verbindet man die Mittelpunkte von sechs passenden Kanten,
erhält man ein regelmäßiges Sechseck.
Eine Ebene durch das Sechseck halbiert das Dodekaeder. |
... ... |
Verbindet man die Mittelpunkte von zehn passenden Kanten,
erhält man ein regelmäßiges Zehneck.
Eine Ebene durch das Zehneck halbiert das Dodekaeder. |
... ... |
Diese Halbierung ermöglicht einen Zugang zu den
Formeln des Pentagondodekaeders (s.u.). |
Parallelprojektionen
Ein Fünfeck vorne
.
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Eine Kante vorne
.
|
Eine Ecke vorne
.
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Je zwei Eckpunkte liegen
hintereinander
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Zwei Gegenflächen werden
zu Strecken
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Netze
Das sind drei von 43380 Netzen.
Schlegel-Diagramm
Symmetrien
top
Das Dodekaeder hat einen Mittelpunkt.
Er ist das Symmetriezentrum.
| ...... |
Schaut man auf ein Fünfeck, so stellt sich das Dodekaeder
als eine fünfstrahlige oder fünfzählige, drehsymmetrische
Figur dar.
Die Drehachse ist in der Zeichnung nur ein Punkt. |
Da es sechs Paare von Fünfecken
gibt, gibt es auch sechs Drehachsen. Sie verlaufen durch die Mittelpunkte
der Fünfecke.
| ...... |
Schaut man so auf das Dodekaeder, dass zwei gegenüberliegende
Kanten zusammenfallen, ergibt sich die nebenstehende achsensymmetrische
Figur.
Auf das Dodekaeder übertragen heißt das, dass
eine Ebene durch diese Kanten Symmetrieebene ist. |
Es gibt 30 Kanten oder 15 Paare von Kanten.
In der linken Zeichnung sind die Symmetrie-Ebenen durch
Rechtecke gekennzeichnet.
Verbindet man die Mittelpunkte gegenüberliegender
Kanten, so stehen sie für weitere 15 zweizählige Achsensymmetrien.
| ...... |
Schaut man auf eine Ecke des Dodekaeders, so stellt es
sich als eine dreistrahlige, drehsymmetrische Figur dar. Diese Symmetrie
überträgt sich auf das Dodekaeder.
Die Drehachse zeigt sich in der Zeichnung als Punkt in
der Mitte. |
Es gibt 20 Eckpunkte und
damit 10 Paare von gegenüberliegenden Eckpunkten. Durch sie verlaufen
die Drehachsen.
Zusammenfassung: Das Dodekaeder
ist in höchstem Maße symmetrisch.
Es gibt 6+15+10=31 Achsen und 15 Symmetrieebenen.
Ein Würfel
im Dodekaeder
top
Es ist möglich, in ein Dodekaeder
einen Würfel einzuzeichnen, indem man bestimmte Eckpunkte miteinander
verbindet. Dann erscheint das Dodekaeder als ein Würfel, auf dessen
Seitenflächen Walmdächer aufgesetzt sind.
Der Übersichtlichkeit
halber wird nur ein Walmdach eingezeichnet. Von den anderen Dächern
erscheinen nur die Höhe und der First.
... ...
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Ein Walmdach besteht aus einem dreiseitigen Prisma und
zwei schiefen Rechteckpyramiden. Die Rechtecke sind gelb gefärbt. |
Unten wird gezeigt, dass man auf diesem Wege das Volumen
des Dodekaeders bestimmen kann.
Konkaves
Dodekaeder
... ... |
Wenn man einen Würfel vorgibt und die sechs Walmdächer
nach innen richtet, entsteht ein sogenanntes konkaves Dodekaeder.
Will man den dreidimensionalen Raum lückenlos mit
Dodekaeder ausfüllen, so kann man diesen Körper für die
Lücken verwenden. |
Größen
top
Das Dodekaeder hat die Kantenlänge a, das
Volumen
V, die Oberfläche O, den Radius R der
Umkugel und den Radius
r der Inkugel.
Ist die Kantenlänge a gegeben, so gilt für
die übrigen Größen:
Herleitungen
... ...
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Man verwendet folgende Formeln des regelmäßigen
Fünfecks.
d = (1/2)[1+sqrt(5)]*a
h = (1/2)sqrt[5 + 2*sqrt(5)]*a
[folgt aus d² = h²+(1/4)a²]
Af = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]*a² |
Volumen
V
... ...
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Das Dodekaeder setzt sich aus einem Würfel der Kantenlänge
d und sechs Walmdächern zusammen. Ein Walmdach besteht aus einem Prisma
und zwei schiefen Rechteckpyramiden.
V = d³+6*(1/2)(dH)a+2d(d-a)H
Die Höhe H der Rechteckpyramide wird wie folgt bestimmt: |
... ...
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Man benötigt die Dreieckshöhe h', die im regelmäßigen
Fünfeck auftaucht.
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras h'² = a²-d²/4.
Weiter ist H² = h'²-(d-a)²/4 = (a²-d²/4)-(d-a)²/4
und
schließlich mit d = [1+sqrt(5)]/2*a die Aussage
H =(1/2)a. |
Man setzt d = [1+sqrt(5)]/2*a
und H = a/2 in die Volumenformel V = d³+6(dH/2)a+12d(d-a)H/3 ein.
Es ergibt sich
V = d³+6*[1+sqrt(5)]/8+12*a³/12 = [15+7sqrt(5)]/4*a³
oder ungefähr V = 7,7a³.
Einfacher kann man das Volumen
wohl über die zwölf fünfseitigen Pyramiden, die durch die
Raumdiagonalen erzeugt werden, bestimmen (s.u.).
Oberfläche
O
O = 12Af = 12*sqrt[25+10sqrt(5)]/4*a²
= 3*sqrt[25+10sqrt(5)]a² oder ungefähr O = 20,6a²
Radius R der Umkugel und Radius
r der Inkugel
| ...... |
Man legt durch die Mitte des Körpers einen Schnittebene,
in der die Kugeln als Kreise erscheinen. |
... ... |
Die Schnittfläche ist ein Sechseck, das aus vier
Fünfeckhöhen und zwei Kanten des Dodekaeders gebildet wird. |
... ... |
Den Radius R der Umkugel bestimmt man, indem man nach
dem Satz des Pythagoras zunächst die Hilfsstrecke x bestimmt: h²=x²+(x-a/2)²
oder nach längerer Rechnung
x = a/4+a/4[sqrt(9+4sqrt(5))] = a/4+a/4[2+sqrt(5)] =
(1/4)a[3+sqrt(5)].
Dann gilt wieder nach dem Satz des Pythagoras R²
= (1/4)a²+x² oder
R = (1/4)sqrt[18+6sqrt(5)]a = (1/4)[sqrt(3)+sqrt(15)]a
oder ungefähr R = 1,4a. |
... ... |
Den Radius r der Inkugel bestimmt man, indem man nach
dem Satz des Pythagoras zwei Gleichungen für y und r aufstellt.
x² = r²+(h-y)² und R² = y²+r².
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Man eliminiert dann r und erhält x²-(h-y)²
= R²-y² und weiter y = (R²-x²+h²)/(2h) = (a²/4+h²)/(2h)
und
y =[3+sqrt(5)]/[2sqrt(5+2sqrt(5))]a.
Aus der zweiten Gleichung ergibt sich nach längerer
Rechnung
r = sqrt(R²-y²) = ... = (1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a
oder ungefähr r = 1,1a.
Die Ergebnisse sind also
Winkel
zwischen zwei Seitenflächen
... ... |
Der Winkel 2*epsilon taucht im unregelmäßigen
Sechseck, das das Dodekaeder halbiert, auf und zwar zwischen den Höhen
zweier Fünfecke.
Für den halben Winkel gilt
sin(epsilon) = r/x oder sin(epsilon)=(1/10)sqrt[50+10*sqrt(5)].
Daraus folgt epsilon = 58,3°. Dann ist der Winkel
zwischen zwei Seitenflächen 2*epsilon=116,6°. |
Die Formel von de.wikipedia
cos(2*epsilon)=-(1/5)sqrt(5) ist einfacher.
Das ist noch eine offenes
Problem:
Wie lang sind - neben der langen Diagonale mit 2R - die
beiden kürzeren?
Mehrere
Würfel im Dodekaeder top
Zwillingswürfel
Wie oben erwähnt, ist es möglich, einem Dodekaeder
einen Würfel einzubeschreiben.
Hier sind zwei Würfel dieser Art.
Legt man die Bilder übereinander, so sieht man, dass
die Würfel eine gemeinsame Raumdiagonale (grün) haben und um
diese gegeneinander gedreht sind. In Buch (1) kann man nachlesen, dass
der Drehwinkel 60° beträgt.
Lässt man das Dodekaeder weg und färbt die
sichtbaren Teile der Würfel unterschiedlich, so entsteht ein Köper,
der nach (2) Seite 455f. twin cube bzw. Zwillingswürfel heißt.
Sternpolyeder mit 360 Flächen
(Cube 5-Compound)
Es gibt fünf Möglichkeiten, einen Würfel
in das Dodekaeder zu legen (1, Seite 103ff.).
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Legt man die fünf Würfel übereinander,
so entsteht ein kompliziert aufgebauter Körper. Man
käme ihm näher, verbände man noch passende Schnittpunkte
miteinander. Selbst dann könnte man sich von ihm wegen der Vielzahl
der Linien kein Bild machen.
Wozu gibt es Computer-Programme? |
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Bei aller Unübersichtlichkeit erkennt man in der
Zeichnung mit allen Würfeln, dass man jede Kante eines Würfels
in der Diagonale eines Fünfecks wiederfindet.
Allgemeiner: Alle Diagonalen der 12 Fünfecke werden
zu einer Kante eines der fünf Würfel. - Die Bilanz stimmt, 5*12=60. |
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Ich empfehle, mit
folgender Grafik zu spielen.
Eric W. Weisstein (Graphics Gallery) Cube 5-Compound
(URL unten)
Der Körper aus den fünf Würfeln ist ein
Sternpolyeder mit 30 körperlichen Ecken (Bild), die sich an den Kanten
des Dodekaeders ausbilden. Der Körper hat 30*12= 360 Seitenflächen. |
Es ist bewundernswert zu
lesen, wie Hugo Steinhaus in seinem Buch (1) aus Vor-Computer-Zeiten ein
Bild des Körpers auf sechs Seiten entwickelt.
Bemerkung zum Namen
Den Namen Sternpolyeder mit
360 Flächen habe ich dem Buch (1) entnommen. Das Buch ist eine
Übersetzung aus dem Polnischen. Ich glaube nicht, dass dieser Begriff
die Eigenschaften des Compound erfasst.
Bei en.wikipedia kann man folgende
Beschreibung finden. "Polyhedral compound, a polyhedron composed
of multiple polyhedra sharing the same centre of attention."
Ich kenne keine treffende Übersetzung von Compound.
Weitere
Körper im Dodekaeder top
Tetraeder im Dodekaeder
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Verbindet man vier passende Eckpunke des Dodekaeders,
so entsteht innen ein Tetraeder.
Insgesamt gibt es 20/4=5 verschiedene Tetraeder. |
Sie bilden zusammen einen
Sternkörper, den Tetrahedron 5-Compound.
Mehr dazu auf meiner Seite Tetraeder.
Antiprisma
im Dodekaeder
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Verbindet man die Eckpunkte gegenüberliegender Fünfecke
durch eine Zickzacklinie, entsteht ein fünfseitiges Antiprisma.
Insgesamt gibt es sechs verschiedene Antiprismen. |
Zwölf
fünfseitige Pyramiden
| ...... |
Zeichnet man die Diagonalen ein, die durch den Mittelpunkt
des Dodekaeders verlaufen, so erkennt man:
Das Dodekaeder wird von 12 fünfseitigen kongruenten
Pyramiden gebildet, deren Spitzen sich in der Mitte treffen. |
Sechsseitige
Pyramide im Dodekaeder
... ... |
Zeichnet man sechs kurze Raumdiagonalen ein, die von
einem Eckpunkt ausgehen und verbindet die freien, nebeneinanderliegenden
Endpunkte miteinander, entsteht eine gerade Pyramide. Die Grundfläche
ist ein unregelmäßiges Sechseck abwechselnd aus drei Kanten
und drei Flächendiagonalen.
20 Spitzen sind möglich und somit gibt es 20 Pyramiden. |
Ikosaeder
im Dodekaeder
Verbindet man die Mittelpunkte
der Seitenfünfecke eines Dodekaeders,
entsteht ein Ikosaeder.
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Verbindet man die Mittelpunkte
der Seitendreiecke eines Ikosaeders,
entsteht ein Dodekaeder.
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Dodekaeder
und Ikosaeder sind duale Körper.
Die beiden letzten Zeichnungen
stellte mir Christian Grünwaldner zur Verfügung.
Vom
Dodekaeder zu weiteren Körpern top
Kleines
Sterndodekaeder
durchsichtig
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undurchsichtig
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Vom Kleinen Sterndodekaeder zum Großen
Ikosaeder
Weitere Dodekaeder
top
Ein Dodekaeder ist ein Zwölfflächner.
Es folgen einige bekannte Körper, die auch von 12
Vielecken gebildet werden.
Es folgen vier Johnson-Körper, also
Körper, die von regelmäßigen Vielecken gebildet werden.
Doppelt beschnittenes Ikosaeder (J62)
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Trigondodekaeder (J84)
.
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Basteleien top
Fünfeckleuchte
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Zu Weihnachten erhielt ich einmal eine Leuchte in Form
eines Dodekaeders. |
... ... |
Man stellt die Leuchte aus 11 einzelnen gleichen Fünfecken
aus Karton z.B. der Seitenlänge 6,0 cm her.
Zum Zusammenkleben befinden sich auf den Seiten gleichschenklige
Dreiecke, die durch das Mittenfünfeck entstehen. |
Wie man ein Fünfeck zeichnet, wird auf meiner Seite
regelmäßiges
Fünfeck beschrieben.
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Das Besondere an dieser Leuchte ist, dass sich auf den
Fünfecken durch die Klebflächen ein Sternmuster bildet.
Die Sterne werden sichtbar, wenn man in den oben offenen
Behälter ein brennendes Teelicht stellt. |
Haube
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Die Gewächshaus-Haube für ein Rundbeet entsteht
in Schweden.
Zur Verfügung gestellt von Bernd Schneider. |
Referenzen top
(1) Hugo Steinhaus: 100 Aufgaben, Leipzig-Jena-Berlin,
1968
(2) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers,
New York - London 1997 [ISBN0-393-04002-X]
Pentagondodekaeder
im Internet top
Deutsch
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Dodekaeder
Christoph Pöppe (wissenschaft.online.de)
Serie
zur räumlichen Geometrie
u.a. Folge 12: Durchdringungskörper
Dieter Ortner (Zentralschweizer Bildungsserver)
Die
fünf Platonischen Körper (.pdf-Datei)
Gerrit Ansmann
Das
Dodekaeder und der Rhombendreißigflächner1
Gerd Müller
Platonische
Körper in Stereodarstellung
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Dodekaeder
Walter Fendt
Das
Dodekaeder (.pdf-Datei)
Wikipedia
Dodekaeder,
Pentagondodekaeder
(Römer), Trigondodekaeder
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Dodecahedron,
Cube
5-Compound,
Tetrahedron
5-Compound,
Small
Stellated Dodecahedron
Eric W. Weisstein (Graphics Gallery)
Cube
5-Compound
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Dodecahedron
Jim Lehmann
Regular
Pentagonal Dodecahedron Overview
Jim Loy
Regular
Solids
Marcus Hutter (Marcus' Puzzles Games Pages)
My
Rubik's Dodekahedron
Paul Kunkel
The
Dodecahedron
Poly (Pedagoguery Software Inc.)
A program
for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
Die meisten Bilder dieser Seite wurden mit diesem
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Wikipedia
Dodecahedron,
Polyhedral
compound, Snub
disphenoid, Pentagonal
antiprism, Decagonal
prism, Pyritohedron
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