Pentagondodekaeder
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Was ist das Pentagondodekaeder?
Beschreibungen
Symmetrien
Ein Würfel im Dodekaeder
Größen
Mehrere Würfel im Dodekaeder
Weitere Körper im Dodekaeder
Vom Dodekaeder zu weiteren Körpern
Weitere Dodekaeder
Basteleien
Referenzen
Pentagondodekaeder im Internet.
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Was ist das Pentagondodekaeder?
....... Das Pentagondodekaeder (Kurzform Dodekaeder) ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen Fünfecken gebildet wird.
Pentagondodekaeder heißt Fünfeck-Zwölf-Flächner.

Das Pentagondodekaeder ist ein platonischer Körper.


Die folgenden Bildpaare ermöglichen eine dreidimensionale Sicht des Körpers.

durchsichtig

undurchsichtig

Im Englischen heißt der Körper Regular Dodecahedron, meist abgekürzt als Dodecahedron.
Offensichtlich in Anlehnung daran findet man statt des Wortungetüms Pentagondodekaeder auch die Bezeichnung Regelmäßiges Dodekaeder wie z.B. bei de.wikipedia.

Beschreibungen  top
Daten
Das Dodekaeder hat k=30 Kanten, f=12 Flächen und e=20 Eckpunkte. 
Es gilt der eulersche Polyedersatz e+f=k+2.
In jedem Eckpunkt treffen drei Kanten und drei Flächen aufeinander.


Aufbau
...... Sechs regelmäßige Fünfecke bilden in der Ebene eine Rosette. 

Klappt man die äußeren Fünfecke nach oben, so dass sie sich berühren, entsteht eine Schale. 


...... Legt man zwei Schalen verdreht aufeinander, erhält man das Dodekaeder.

Zwei Fünfecke liegen parallel und sind um 36° gegeneinander verdreht. Sie bilden die Grundflächen. Dazwischen liegt im Zickzack ein Band aus zehn Fünfecken.


Zwei Rechtecke 
In das Dodekaeder lassen sich wegen der parallelen Gegenflächen u.a. die folgenden Rechtecke einpassen.

Anzahl der Raumdiagonalen
...... Verbindet man die 20 gegenüberliegenden Eckpunkte, entstehen 10 Raumdiagonalen.

Sie verlaufen durch den Mittelpunkt des Dodekaeders.


Es gibt noch zwei Sorten kürzerer Raumdiagonalen. 
...... Von einem Punkt gehen 3 Diagonalen einer mittleren Länge aus.
Da es 20 Ecken gibt, macht das 3*20=60 Diagonalen. 
Dabei wird jede Diagonale doppelt gezählt.

Es gibt also 30 Raumdiagonalen dieser Art.


...... In jedem Punkt beginnen 6 kurze Diagonalen.
Da es 20 Ecken gibt, macht das 6*20=120 Diagonalen. 
Dabei wird jede Diagonale doppelt gezählt.

Es gibt also 60 Raumdiagonalen dieser Art.


Auf die Anzahl 10+30+60=100 Raumdiagonalen kommt man auch auf einem anderen Wege.
Das Dodekaeder hat 20 Eckpunkte. 
Verbindet man alle Punkte, so erhält man "20 über 2" oder 190 Linien. 
Die Anzahl der Raumdiagonalen ergibt sich, wenn man die Anzahl der Kanten (30) und die Anzahl der Flächendiagonalen (12*5=60) abzieht. Das ergibt 100.

Halbierung des Dodekaeders
...... Verbindet man die Mittelpunkte von sechs passenden Kanten, erhält man ein regelmäßiges Sechseck.

Eine Ebene durch das Sechseck halbiert das Dodekaeder.


...... Diese Halbierung ermöglicht einen Zugang zu den Formeln des  Pentagondodekaeders (s.u.).

Parallelprojektionen

Ein Fünfeck vorne
.

Eine Kante vorne
.

Eine Ecke vorne
.

Je zwei Eckpunkte liegen 
hintereinander

Zwei Gegenflächen werden
zu Strecken

Netze
Das sind drei von 43380 Netzen.

Schlegel-Diagramm

Symmetrien   top
Das Dodekaeder hat einen Mittelpunkt. Er ist das Symmetriezentrum.
 
 
 
 
...... Schaut man auf ein Fünfeck, so stellt sich das Dodekaeder als eine fünfstrahlige oder fünfzählige, drehsymmetrische Figur dar.

Die Drehachse ist in der Zeichnung nur ein Punkt.


...... Da es sechs Paare von Fünfecken gibt, gibt es auch sechs Drehachsen. Sie verlaufen durch die Mittelpunkte der Fünfecke.

Links ein Beispiel


...... Schaut man so auf das Dodekaeder, dass zwei gegenüberliegende Kanten zusammenfallen, ergibt sich die nebenstehende achsensymmetrische Figur.
Auf das Dodekaeder übertragen heißt das, dass eine Ebene durch diese Kanten Symmetrieebene ist.

...... Es gibt 30 Kanten oder 15 Paare von Kanten. 
In der linken Zeichnung wird die Symmetrie-Ebene durch ein Rechteck gekennzeichnet.

Das ist ein Beispiel.


...... Verbindet man die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten, so stehen sie für weitere 15 zweistrahlige Achsensymmetrien. 

Links ein Beispiel


...... Schaut man auf eine Ecke des Dodekaeders, so stellt es sich als eine dreistrahlige, drehsymmetrische Figur dar. Diese Symmetrie überträgt sich auf das Dodekaeder.

Die Drehachse zeigt sich in der Zeichnung als Punkt in der Mitte.


...... Es gibt 20 Eckpunkte und damit 10 Paare von gegenüberliegenden Eckpunkten. Durch sie verlaufen die Drehachsen.
Es sind also die längeren Raumdiagonalen.

Links ein Beispiel


Zusammenfassung: Das Dodekaeder ist in höchstem Maße symmetrisch. 
Es gibt 6+15+10=31 Achsen und 15 Symmetrieebenen.

Ein Würfel im Dodekaeder top
Es ist möglich, in ein Dodekaeder einen Würfel einzuzeichnen, indem man bestimmte Eckpunkte miteinander verbindet. Dann erscheint das Dodekaeder als ein Würfel, auf dessen Seitenflächen Walmdächer aufgesetzt sind. 


Der Übersichtlichkeit halber wird nur ein Walmdach eingezeichnet. Von den anderen Dächern erscheinen nur die Höhe und der First.


......
Ein Walmdach besteht aus einem dreiseitigen Prisma und zwei schiefen Rechteckpyramiden. Die Rechtecke sind gelb gefärbt.
Unten wird gezeigt, dass man auf diesem Wege das Volumen des Dodekaeders bestimmen kann.

Konkaves Dodekaeder
...... Wenn man einen Würfel vorgibt und die sechs Walmdächer nach innen richtet, entsteht ein sogenanntes konkaves Dodekaeder. 
Will man den dreidimensionalen Raum lückenlos mit Dodekaeder ausfüllen, so kann man diesen Körper für die Lücken verwenden.

Größen  top
Das Dodekaeder hat die Kantenlänge a, das Volumen V, die Oberfläche O, den Radius R der Umkugel und den Radius r der Inkugel.
Ist die Kantenlänge a gegeben, so gilt für die übrigen Größen:


Herleitungen
......
Man verwendet folgende Formeln des regelmäßigen Fünfecks.
d = (1/2)[1+sqrt(5)]a
h = (1/2)sqrt[5 + 2sqrt(5)]a          [folgt aus d² = h²+(1/4)a²]
rf = (1/10)sqrt[25+10sqrt(5)]a
Af = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a² 

Volumen V
......
Das Dodekaeder setzt sich aus einem Würfel der Kantenlänge d und sechs Walmdächern zusammen. Ein Walmdach besteht aus einem Prisma und zwei schiefen Rechteckpyramiden.
V = d³+6*(1/2)(dH)a+2d(d-a)H
Die Höhe H der Rechteckpyramide wird wie folgt bestimmt:

......
Man benötigt die Dreieckshöhe h', die im regelmäßigen Fünfeck auftaucht. 
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras h'² = a²-d²/4.
Weiter ist H² = h'²-(d-a)²/4 = (a²-d²/4)-(d-a)²/4 und 
schließlich mit d = [1+sqrt(5)]/2*a die Aussage H =(1/2)a. 

Man setzt d = [1+sqrt(5)]/2*a und H = a/2 in die Volumenformel V = d³+6(dH/2)a+12d(d-a)H/3 ein. 
Es ergibt sich
V = d³+6*[1+sqrt(5)]/8+12*a³/12 = [15+7sqrt(5)]/4*a³ oder ungefähr V = 7,7a³.

Einfacher kann man das Volumen wohl über die zwölf fünfseitigen Pyramiden, die durch die Raumdiagonalen erzeugt werden, bestimmen (s.u.). 

Oberfläche O
O = 12Af = 12*sqrt[25+10sqrt(5)]/4*a² = 3sqrt[25+10sqrt(5)]a² oder ungefähr O = 20,6a²

Radius R der Umkugel 
...... Man legt durch die Mitte des Körpers einen Schnittebene, in der die Kugeln als Kreise erscheinen. 

...... Die Schnittfläche ist ein Sechseck, das aus vier Fünfeckhöhen und zwei Kanten des Dodekaeders gebildet wird.

...... Den Radius R der Umkugel bestimmt man, indem man nach dem Satz des Pythagoras zunächst die Hilfsstrecke x bestimmt. Es gilt h²=x²+(x-a/2)². Nach längerer längerer Rechnung erhält man 
x = (1/4)a+(1/4)[sqrt(9+4sqrt(5))]a = (1/4)a+(1/4)[2+sqrt(5)] = (1/4)a[3+sqrt(5)].
Dann gilt wieder nach dem Satz des Pythagoras R² = (1/4)a²+x² oder
R = (1/4)sqrt[18+6sqrt(5)]a  gerundet 1,4a.

Radius r der Inkugel
Man betrachtet wieder das Sechseck, das das Pentagondodekaeder halbiert. 
Da befindet sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem der Radius r der Inkugel als Kathete erscheint. Die andere Kathete liegt im regelmäßigen Fünfeck und ist gleich der Differenz aus seiner Höhe und seinem Radius des Inkreises. Die Hypotenuse ist R.
Es gilt r² = R²-(h-rF)² . Nach längerer Rechnung ist r²/a² = (5/8)+(11/40)sqrt(5) = 250/400+110/400sqrt(5).
Das führt zu r = (1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a.

Mehrere Würfel im Dodekaeder     top
Zwillingswürfel
Wie oben erwähnt, ist es möglich, einem Dodekaeder einen Würfel einzubeschreiben. 
Hier sind zwei Würfel dieser Art.


Legt man die Bilder übereinander, so sieht man, dass die Würfel eine gemeinsame Raumdiagonale (grün) haben und um diese gegeneinander gedreht sind. In Buch (1) kann man nachlesen, dass der Drehwinkel 60° beträgt.
Lässt man das Dodekaeder weg und färbt die sichtbaren Teile der Würfel unterschiedlich, so entsteht ein Köper, der nach (2) Seite 455f. twin cube  bzw. Zwillingswürfel heißt.

Sternpolyeder mit 360 Flächen (Cube 5-Compound)
Es gibt fünf Möglichkeiten, einen Würfel in das Dodekaeder zu legen (1, Seite 103ff.).

 

...... Legt man die fünf Würfel übereinander, so entsteht ein kompliziert aufgebauter Körper. Man käme ihm näher, verbände man noch passende Schnittpunkte miteinander. Selbst dann könnte man sich von ihm wegen der Vielzahl der Linien kein Bild machen.
Wozu gibt es Computer-Programme?

...... Bei aller Unübersichtlichkeit erkennt man in der Zeichnung mit allen Würfeln, dass man jede Kante eines Würfels in der Diagonale eines Fünfecks wiederfindet.
Allgemeiner: Alle Diagonalen der 12 Fünfecke werden zu einer Kante eines der fünf Würfel. - Die Bilanz stimmt, 5*12=60. 

......  Ich empfehle, mit folgender Grafik zu spielen.
Eric W. Weisstein (Graphics Gallery) Cube 5-Compound (URL unten)
Der Körper aus den fünf Würfeln ist ein Sternpolyeder mit 30 körperlichen Ecken (Bild), die sich an den Kanten des Dodekaeders ausbilden.  Der Körper hat 30*12= 360 Seitenflächen.

Es ist bewundernswert zu lesen, wie Hugo Steinhaus in seinem Buch (1) aus Vor-Computer-Zeiten ein Bild des Körpers auf sechs Seiten entwickelt. 

Bemerkung zum Namen
Den Namen Sternpolyeder mit 360 Flächen habe ich dem Buch (1) entnommen. Das Buch ist eine Übersetzung aus dem Polnischen. Ich glaube nicht, dass dieser Begriff die Eigenschaften des Compound erfasst.
Bei en.wikipedia kann man folgende Beschreibung finden. "Polyhedral compound, a polyhedron composed of multiple polyhedra sharing the same centre of attention."
Ich kenne keine treffende Übersetzung von Compound.

Weitere Körper im Dodekaeder      top
Tetraeder im Dodekaeder
...... Verbindet man vier passende Eckpunke des Dodekaeders, so entsteht innen ein  Tetraeder.

Insgesamt gibt es 20/4=5 verschiedene Tetraeder. 


Sie bilden zusammen einen Sternkörper, den Tetrahedron 5-Compound.
Mehr dazu auf meiner Seite Tetraeder.

Antiprisma im Dodekaeder
...... Verbindet man die Eckpunkte gegenüberliegender Fünfecke durch eine Zickzacklinie, entsteht ein fünfseitiges Antiprisma.

Insgesamt gibt es sechs verschiedene Antiprismen. 


Zwölf fünfseitige Pyramiden
...... Zeichnet man die Diagonalen ein, die durch den Mittelpunkt des Dodekaeders verlaufen, so erkennt man: 

Das Dodekaeder wird von 12 fünfseitigen kongruenten Pyramiden gebildet, deren Spitzen sich in der Mitte treffen.


Sechsseitige Pyramide im Dodekaeder
...... Zeichnet man sechs kurze Raumdiagonalen ein, die von einem Eckpunkt ausgehen und verbindet die freien, nebeneinanderliegenden Endpunkte miteinander, entsteht eine gerade Pyramide. Die Grundfläche ist ein unregelmäßiges Sechseck abwechselnd aus drei Kanten und drei Flächendiagonalen.

20 Spitzen sind möglich und somit gibt es 20 Pyramiden.


Ikosaeder im Dodekaeder

Verbindet man die Mittelpunkte 
der Seitenfünfecke eines Dodekaeders,
entsteht ein Ikosaeder.


Verbindet man die Mittelpunkte
der Seitendreiecke eines Ikosaeders, 
entsteht ein Dodekaeder.

Dodekaeder und Ikosaeder sind duale Körper.

Die beiden letzten Zeichnungen stellte mir Christian Grünwaldner zur Verfügung. 

Vom Dodekaeder zu weiteren Körpern    top
Abgestumpftes Dodekaeder
Abgeschrägtes Dodekaeder
Kleines Rhombenikosidodekaeder

Kleines Sterndodekaeder

durchsichtig

undurchsichtig


Vom Kleinen Sterndodekaeder zum Großen Ikosaeder

Vier Johnson-Körper
Johnson-Körper sind konvexe Körper aus verschiedenen regelmäßigen Vielecken. 
Vier (von 92) entstehen aus einem Dodekaeder.

J 58 Erweitertes Dodekaeder
...... ...... Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf eine Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J 59  Doppelt erweitertes Dodekaeder (para)
......
...... Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf zwei gegenüberliegende Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J 60 Doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)
......
......
Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf zwei nicht gegenüberliegende Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.



J 61 Dreifach erweitertes Dodekaeder
... ... ... ... Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf drei Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


Weitere Dodekaeder top
Ein Dodekaeder ist ein Zwölfflächner. 
Es folgen einige bekannte Körper, die auch von 12 Vielecken gebildet werden. 
Rhombendodekaeder

Triakistetraeder


Es folgen vier Johnson-Körper.
Fünfeckskuppel (J05)
 

j


 

Verlängerte tetragonale Bipyramide (J15)


Doppelt beschnittenes Ikosaeder (J62)

Trigondodekaeder (J84) 
.


Zehnseitiges gerades Prisma
Pentagonales Antiprisma

Hexagonale Bipyramide
Trapezoeder 

Basteleien  top
Fünfeckleuchte
...... Zu Weihnachten erhielt ich einmal eine Leuchte in Form eines Dodekaeders. 


...... Man stellt die Leuchte aus 11 einzelnen gleichen Fünfecken aus Karton z.B. der Seitenlänge 6,0 cm her. 

Zum Zusammenkleben befinden sich auf den Seiten gleichschenklige Dreiecke, die durch das Mittenfünfeck entstehen. 

Wie man ein Fünfeck zeichnet, wird auf meiner Seite regelmäßiges Fünfeck beschrieben.

...... Das Besondere an dieser Leuchte ist, dass sich auf den Fünfecken durch die Klebflächen ein Sternmuster bildet. 

Die Sterne werden sichtbar, wenn man in den oben offenen Behälter ein brennendes Teelicht stellt.


Haube
Die Gewächshaus-Haube für ein Rundbeet entsteht in Schweden.

Zur Verfügung gestellt von Bernd Schneider.


Referenzen   top
(1) Hugo Steinhaus: 100 Aufgaben, Leipzig-Jena-Berlin, 1968
(2) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York - London 1997 [ISBN0-393-04002-X] 


Pentagondodekaeder im Internet   top

Deutsch

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen) 
Dodekaeder

Christoph Pöppe (wissenschaft.online.de)
Serie  zur räumlichen Geometrie 
u.a. Folge 12: Durchdringungskörper 

Dieter Ortner (Zentralschweizer Bildungsserver)
Die fünf Platonischen Körper  (.pdf-Datei)

Gerd Müller 
Platonische Körper in Stereodarstellung

Udo Hebisch (Mathematisches Café) 
Dodekaeder

Walter Fendt
Das Dodekaeder (.pdf-Datei)

Wikipedia
Dodekaeder, Pentagondodekaeder (Römer)Trigondodekaeder


Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Dodecahedron, Cube 5-Compound, Tetrahedron 5-Compound, Small Stellated Dodecahedron

Eric W. Weisstein (Graphics Gallery)
Cube 5-Compound

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen) 
Dodecahedron

Jim Lehmann
Regular Pentagonal Dodecahedron Overview

Marcus Hutter (Marcus' Puzzles Games Pages)
Rubik's Dodekahedron

Paul Kunkel
The Dodecahedron

Poly (Pedagoguery Software Inc.)
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Die meisten Bilder dieser Seite wurden mit diesem Programm erzeugt.

Wikipedia
Dodecahedron, Polyhedral compound, Snub disphenoidPentagonal antiprism, Decagonal prism, Pyritohedron

Französisch

Robert FERRÉOL (MathCurve)
DODÉCAÈDRE


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