Figurierte Zahlen
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Was ist eine figurierte Zahl?
Polygonzahlen
Beweise
Zentrierte Polygonzahlen
Pyramidenzahlen
Polyederzahlen
Sternzahlen
Dreiecke und Quadrate
Sonstige figurierte Zahlen
Beziehungen zwischen figurierten Zahlen
Besondere Dreieckszahlen
Folgen im pascalschen Dreieck
Figurierte Zahlen im Internet
Referenzen.
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Was ist eine figurierte Zahl?
...... Eine figurierte Zahl (oder Figurenzahl) ist eine natürliche Zahl, die man durch eine Figur - zum Beispiel gelegt aus Kugeln - darstellen kann.
Das gleichseitige Dreieck stellt die Dreieckszahl 1+2+3+4+5+6+7=28 dar.


Eine figurierte Zahl steht nicht für sich allein, sie ist das Glied in einer Folge von Zahlen.
...
So sind zum Beispiel die Vielfachen einer Zahl wie 6 und sogar die natürlichen Zahlen figurierte Zahlen.
......

Doch man erwartet schon, dass die Figuren komplexer sind. Figurierte Zahlen beziehen sich meist - ausgehend von den Dreiecken oben - auf ausgefüllte regelmäßige Vielecke und auf platonische Körper. 
Sie heißen dann Polygonzahlen bzw. Polyederzahlen.

Figurierte Zahlen sind ein beliebter Gegenstand der Unterhaltungsmathematik. 
Ich begegnete ihnen immer wieder bei den Recherchen für meine Seiten. 
Hier sollen sie einmal im Zusammenhang vorgestellt werden.

Fast alle figurierten Zahlen auf dieser Seite findet man auch in der Sammlung OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). Ich gebe hier die Verlagerung der externen Links ans Ende auf und weise bei jeder Folge auf den Fundort bei OEIS hin. Es ergeben sich leichte Abweichungen, da auf dieser Seite die Zahl 0 nicht als erstes Glied der Folgen zugelassen wird, bei OEIS oft schon.

Polygonzahlen  top
Wie man Polygonzahlen mit Hilfe regelmäßiger Vielecke erzeugt, wird anhand der Sechseckzahl 45 erklärt.
...... Man gibt vier sechseckige Rahmen aus Kugeln vor mit den Seitenlängen 2, 3, 4 und 5. 


...... ...... Dann setzt man die drei kleineren Sechsecke nacheinander in das große Sechseck der Seitenlänge 5 und schiebt sie in die obere Ecke. Die endgültige Figur enthält dann 45 Kugeln. 

Mit dieser Methode ermittelt man die Polygonzahlen, hier aufgeführt der Reihe nach.
Folge der Dreieckszahlen
......
bereitgestellt.
......... Die Folge der Dreieckszahlen wird durch die Gleichung D(n)=(1/2)n(n+1) beschrieben. 

OEIS: A000217   Triangular numbers: a(n) = C(n+1,2) = n(n+1)/2 = 0+1+2+...+n.

Mehr findet man auf meiner Seite Dreieckszahlen

Folge der Quadratzahlen
......
bereitgestellt
......... Die Folge der Quadratzahlen wird durch die Gleichung Q(n)=n²  beschrieben. 

OEIS: A000290   The squares: a(n) = n^2.

Mehr findet man auf meiner Seite Quadratzahlen.

Folge der Fünfeckzahlen
......
bereitgestellt.
............ Die Folge der Fünfeckzahlen wird durch die Gleichung F(n)=(1/2)n(3n-1) beschrieben. 

OEIS: A000326   Pentagonal numbers: n*(3*n-1)/2. 

Folge der Sechseckzahlen
......
bereitgestellt.
......... Die Folge der Sechseckzahlen wird durch die Gleichung S(n)=n(2n-1) beschrieben. 

OEIS: A000384   Hexagonal numbers: n*(2*n-1). 

Folge der Achteckzahlen
Es folgen noch die Achteckzahlen. Sie tauchen weiter unten als Sternzahlen wieder auf.
...... Die Gleichung ist A(n)=n(3n-2).

OEIS: A000567   Octagonal numbers: n*(3*n-2). Also called star numbers.

Weitere Folgen von Zahlen mit ihren Figuren können so konstruiert werden.

Beweise  top
Es stellt sich die Frage, wie man eine Formel für das n-te Glied der Folge der Polygonzahlen herleitet und beweist. Das soll zunächst an Hand der Sechseckzahlen dargestellt werden, und zwar auf zwei Wegen. 


Erster Beweis der Formel S(n)=n(2n-1)
Die Sechseckzahlen bilden eine arithmetische Folge zweiter Ordnung. Bildet man nämlich die Differenzen nebeneinander liegender Glieder und dann von dieser Differenzenfolge wiederum die Differenzen, so erhält man die konstante Folge mit der Konstanten 4.
01     06    15    28     45     66    91   120  ... 
05       09   13    17     21    25    29  ...
04    04    04    04     04     04   ...
Folgen dieser Art haben die Darstellung S(n)=an²+bn+c.
Die Variablen a, b und c bestimmt man mit Hilfe der ersten drei Glieder.
Es gilt S(1)=1,
S(2)=6
und S(3)=15. 
oder (I) a+b+c=1,
(II) 4a+2b+c=6
und (III) 9a+3b+c=15.
(II)-(I) ergibt 3a +b=5  (IV).
(III)-(II) ergibt 5a+b=9  (V).
(V)-(IV) ergibt 2a=4 oder a=2.
(IV) ergibt 6+b=5 oder b=-1.
(I) ergibt 2-1+c=1 oder c=0.
Ergebnis: S(n)=2n²-n=n(2n-1) 

Zweiter Beweis der Formel S(n)=n(2n-1)
...... Man macht sich zunutze, dass jedes Glied der Folge aus dem vorhergehenden entsteht.

Die 5. Figur entsteht z.B., indem man zur 4. Figur 4*4+1 Kugeln hinzufügt. 

Die (n+1)-te Figur entsteht, indem man zur n-ten Figur 4*n+1 Kugeln hinzufügt.

Nach dieser Vorbereitung wird die Methode der vollständigen Induktion angewandt.

Die Formel S(n)=n(2n-1) gilt für  n=1 und n=2: 
S(1)=1*(2-1)=1  und  S(2)=2*(2*2-1)=6.

Es muss gezeigt werden, dass die Formel auch gilt, wenn man in der Formel n durch n+1 ersetzt unter der Voraussetzung, dass sie für n gilt.
Zu zeigen ist also: S(n+1)=(n+1)[2(n+1)-1] oder S(n+1)=(n+1)(2n+1) oder S(n)=2n²+3n+1.

Es gilt tatsächlich S(n+1)=S(n)+4n+1=n(2n-1)+4n+1=2n²-n+4n+1=2n²+3n+1, wzbw.

Verallgemeinerung
Es gibt eine Formel, nach der das n-te Glied der r-ten Polyederzahl Fr(n) mit einem Term angegeben werden kann.
(1), Seite 52

Überprüfung für r=6
F6(n)=n!/(n-1)!+(6-2){n!/[(n-2)!2!]}=n+4*[n(n-1)/2]=n+2n(n-1)=2n²-n=n(2n-1)=S(n)

Der Beweis der Formel gelingt wieder mit der Methode der vollständigen Induktion. Man muss sich dazu klar machen, dass die (n+1)-te Figur entsteht, indem man zur n-ten Figur (r-2)*n+1 Kugeln hinzufügt.

Zentrierte Polygonzahlen  top
......
...... Zentrierte Polygonzahlen entstehen, indem man eine Kugel vorgibt und um sie herum größer werdende Vielecke legt, immer mit einer um 1 größeren Seitenlänge. 


Das sind die ersten zentrierten Polygonzahlen. 
Folge der zentrierten Dreieckszahlen

bereitgestellt
Die Gleichung ist 

ZD(n)=(1/2)(3n²-3n+2).


OEIS: A005448   Centered triangular numbers: 3n(n-1)/2 + 1. 

Folge der zentrierten Quadratzahlen
...
bereitgestellt
...
Die Gleichung ist 

ZQ(n)=2n²-2n+1.


OEIS: A001844   Centered square numbers: 2n(n+1)+1 

Folge der zentrierten Fünfeckzahlen
...
bereitgestellt
...
Die Gleichung ist 

ZF(n)=(1/2)(5n²-5n+2).


OEIS: A005891   Centered pentagonal numbers: (5n^2+5n+2)/2 

Folge der zentrierten Sechseckzahlen (auch Hexnumber bei Mathworld genannt)
...
bereitgestellt
...
Die Gleichung ist 

ZS(n)=3n²-3n+1
 


OEIS: A003215   Hex (or centered hexagonal) numbers: 3*n*(n+1)+1 

Folge der zentrierten Zwölfeckzahlen
Es folgt noch die Folge der Zwölfeckzahlen. Sie tauchen weiter unten als Sternzahlen wieder auf.
......
Die Gleichung ist 

ZZ(n)=6n(n-1)+1.


OEIS: A003154   Centered 12-gonal numbers. Also star numbers: 6*n*(n-1) + 1.

Weitere Folgen von Zahlen mit ihren Figuren können so konstruiert werden.

Verallgemeinerung
Will man eine Formel für das n-te Glied der Folge der zentrierten Zahlen herleiten, geht man am besten auf die Dreieckszahlen zurück. 
...... Für der Zeichnung gilt ZS(5)=6*D(4)+1. Die Verallgemeinerung ist ZS(n)=6*D(n-1)+1. 
So wie das Sechseck kann man jede Figur der zentrierten Zahlen in Dreiecke aufteilen.
Es gilt allgemein für die k-te zentrierte Zahl ZFk(n)=k*D(n-1)+1 mit D(n-1)=(1/2)n(n-1).
Das führt zu ZFk(n)=(1/2)[kn(n-1)+2].

Pyramidenzahlen top
Die Pyramidenzahlen entstehen, wie der Name sagt, mit Hilfe von Pyramiden.

Tetraeder

Quadratische Pyramide

Fünfseitige Pyramide


Es hat sich so ergeben, dass in den folgenden Zeichnungen die Kreise durch Rechtecke ersetzt werden.

Folge der Tetraederzahlen
......... Die Folge der Tetraederzahlen ist die Reihe zur Folge der Dreieckszahlen.
Aus 1, 3, 6, 10, 15, 21 wird 1, 1+3, 1+3+6, 1+3+6+10, 1+3+6+10+15, 1+3+6+10+15+21, ....
Die ersten Tetraederzahlen sind also 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...

Die allgemeine Formel ist T(n)=(1/6)n(n+1)(n+2).

OEIS: A000292   Tetrahedral (or triangular pyramidal) numbers: a(n) = C(n+2,3) = n*(n+1)*(n+2)/6.

Ein Tetraederpuzzle

Folge der quadratischen Pyramidenzahlen
......... Die Folge der quadratischen Pyramidenzahlen ist die Reihe zur Folge der Quadratzahlen.

Aus 1, 4, 9, 16, 25 wird
1, 1+4, 1+4+9, 1+4+9+16, 1+4+9+16+25, ...

Die quadratischen Pyramidenzahlen sind also 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ...

Die allgemeine Formel ist QP(n)=(1/6)n(n+1)(2n+1).

OEIS: A000330   Square pyramidal numbers: 0^2 + 1^2 + 2^2 +...+ n^2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6. 

Folge der fünfseitigen Pyramidenzahlen
...... Die Folge der fünfeckigen Pyramidenzahlen ist die Reihe zur Folge der Fünfeckszahlen.

Aus 1, 5, 12, 22, ... wird 
1, 1+5, 1+5+12, 1+5+12+22, .... 


Das n-te Glied der Folge der fünfseitigen Pyramidenzahlen ist FP(n)=(1/2)n²(n+1).

Die ersten fünfseitigen Pyramidenzahlen sind also 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, ...

OEIS: A002411   Pentagonal pyramidal numbers: n^2*(n+1)/2. 

Verallgemeinerung
Das n-te Glied der r-seitigen Pyramidenzahl ist 
(1), Seite 52

Überprüfung für r=5
P5(n)=(n+1)!/[(n-1)!2!]+3*{(n+1)!/[(n-2)!3!]}=(1/2)[n(n+1)+(n+1)n(n-1)]=(1/2)(n³+n²)=(1/2)[n²(n+1)]

Herleitung der Formel für r=5, also FP(n)=(1/2)n²(n+1)=(1/2)n³+(1/2)n²
Das k-te Glied der Fünfeckzahlen ist (1/2)k(3k-1).
Die Reihe dazu ist 
Dann ist weiter FP(n) = (3/2)[(1/6)n(n+1)(2n+1)]-(1/2)[(1/2)n(n+1)] = ... = (1/2)n³+(1/2)n², wzbw.

Auf dem gleichen Wege kann man die allgemeine Formel für die r-seitige Pyramidenzahl herleiten, doch  mit viel mehr Aufwand.

Polyederzahlen  top
Die Polyederzahlen entstehen mit Hilfe platonischer Körper.
Folge der Tetraederzahlen
...... Die Tetraederzahlen werden im Kapitel Pyramidenzahlen vorgestellt


Folge der Oktaederzahlen
Das Oktaeder entsteht, indem man die quadratische Pyramide an der Grundfläche spiegelt.
......... Die quadratischen Pyramidenzahlen sind 
1, 5, 14, 30, 55, ...
Durch das Spiegeln an der Grundfläche der quadratischen Pyramide erhält man die Oktaederzahlen. Man addiert dazu zu jeder quadratischen Pyramidenzahl die vorhergehende.
Das führt zu 1, 5+1, 14+5, 30+14, 44+19, ...
Die allgemeine Formel ist O(n)=(1/3)(2n³+n). 

Die ersten Oktaederzahlen sind also 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, ...

OEIS: A005900   Octahedral numbers: (2n^3 + n)/3. 

Folge der zentrierten Oktaederzahlen
......... Die Figur zu den zentrierten Oktaederzahlen entsteht aus den Oktaederzahlen, indem man in jedes elementare 2x2 Quadrat einer Ebene in die Mitte einen weiteren Stein hinzufügt. 

Die allgemeine Formel ist ZO(n)=(1/3)(2n-1)(2n²-2n+3).


Die ersten zentrierten Oktaederzahlen sind 1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, ...

OEIS: A001845   Centered octahedral numbers

Die folgenden Darstellungen der Oktaederzahlen als Kugel- und Würfelpackungen machen klar, warum es neben den Polyederzahlen die zentrierten Polyederzahlen gibt.

Oktaederzahlen 1, 6 und 19

Zentrierte Oktaederzahlen 1, 7 und 25

Folge der Kubikzahlen
Die Kubikzahlen werden durch Würfel oder Kuben veranschaulicht.

Die ersten Kubikzahlen sind 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

OEIS: A000578   The cubes: a(n) = n^3. 

Folge der zentrierten Kubikzahlen
Addiert man zwei aufeinander folgende Kubikzahlen, so entstehen die zentrierten Kubikzahlen.
Das Bildungsgesetz ist ZK(n)=2n³-3n²+3n-1
=(2n-1)(n²-n+1)=n³+(n -1)³


Die ersten zentrierten Kubikzahlen sind 1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, ...


OEIS: A005898   Centered cube numbers: n^3 + (n+1)^3. 

Sternzahlen   top
...... Das ist eine Möglichkeit, Sterne zu erzeugen: 

Man gibt ein regelmäßiges Vieleck vor und setzt auf die Seiten gleichseitige Dreiecke.


Folge der Zahlen des Dreieckssterns
......... Aus einem Dreieck und 3 weiteren Dreiecken entsteht ein dreizackiger Stern.
Die sich daraus ergebende Folge wird mit dem Term 
V(n) = D(n)+3*D(n-1) = (1/2)n(n+1)+3*(1/2)(n-1)n = 2n²-n beschrieben. 
Es ergibt sich eine Teilfolge der Folge der Dreieckszahlen, nämlich die mit ungeraden Nummern. 
Folge der Zahlen des Vierzacksterns
......... Aus einem Quadrat und 4 Dreiecke entsteht ein vierzackiger Stern.
Die sich daraus ergebende Folge wird mit der Formel
V(n) = Q(n)+4*D(n-1) = n²+4*(1/2)(n-1)n = 3n²-2n
beschrieben. 

OEIS: A000567   Octagonal numbers: n*(3*n-2). Also called star numbers.

Folge der Zahlen des Fünfzacksterns
......... Aus einem Fünfeck der zentrierten Fünfeckzahlen und 5 Dreiecken entsteht ein fünfzackiger Stern. Die sich daraus ergebende Folge wird durch die Formel
FS(n) = ZF(n)+5*D(n-1) = 5n²-5n+1
beschrieben.
Bei OEIS steht nur: A062786   Centered 10-gonal numbers. 

Sternzahlen (Folge der Zahlen des Sechszacksterns) 
......... Aus einem Sechseck der zentrierten Sechseckzahlen und 6 dreiecken entsteht ein sechszackiger Stern.
Die sich daraus ergebende Folge wird durch die Formel
SS(n) = ZS(n)+6*D(n-1) = 6n²-6n+1
beschrieben.

OEIS: A003154   Centered 12-gonal numbers. Also star numbers: 6*n*(n-1) + 1. 

Dreiecke und Quadrate  top
Folge zu einem Dreieck mit drei Quadraten
......... Setzt man auf ein gleichseitiges Dreieck Quadrate, so entsteht eine nebenstehende Figur. Sie erinnert an ein Bild zum Satz des Pythagoras, bei dem aber in der Mitte ein rechtwinkliges Dreieck liegt.
Die Zahlenfolge wird durch den Term D(n)+3*Q(n)=(1/2)n(7n+1) beschrieben. 


OEIS: A022265   n*(7n+1)/2. 

Folge zu einem Dreieck mit einem Quadrat
......... Setzt man auf ein Quadrat nur ein Dreieck, so entsteht ein unregelmäßiges Fünfeck. 
Die Zahlen werden durch den Term 
D(n)+Q(n)=n²+(1/2)n(n-1)=(1/2)(3n²+n) beschrieben.

OEIS: A005449   Second pentagonal numbers: n * (3*n + 1) / 2.

Folge der Schmetterlingszahlen
......... Setzt man auf ein Dreieck zwei Quadrate, so entsteht ein konkaves Siebeneck. Die Folge wird durch den Term D(n)+2*Q(n)=(1/2)n(5n+1) beschrieben.
OEIS kennt diese Folge nicht: "Sorry, but the terms do not match anything in the table."

Folge zu einem Quadrat mit zwei Dreiecken
......... Setzt man auf ein Quadrat zwei Dreiecke, so entsteht ein konvexes Sechseck. Die Folge wird durch den Term Q(n)+2*D(n-1)=n²+2(1/2)(n-1)n=2n²-n beschrieben.

......... Auch die Folge der Sechseckzahlen besteht aus diesen Zahlen.

OEIS: A000384   Hexagonal numbers: n*(2*n-1). 

Folge zu einem Quadrat mit drei Dreiecken
...... Setzt man auf ein Quadrat drei Dreiecke, so entsteht ein konkaves Siebeneck. Die Folge wird durch den Term Q(n)+3*D(n-1)=n²+3*(1/2)(n-1)n=(1/2)n(5n-3) beschrieben.

OEIS: A000566   Heptagonal numbers (or 7-gonal numbers): n(5n-3)/2. 

Sonstige figurierte Zahlen    top
Folge der Rechteckzahlen
......... Man kann sich beliebig viele Rechteckzahlen vorstellen. Der Begriff wird eindeutig, wenn man fordert, dass die Seitenlängen in der Folge der natürlichen Zahlen hintereinander stehen. 
Die Zahlen heißen 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110,  ... mit der Beschreibung RE(n)=n(n+1). 


Vielleicht tauchen sie nur wegen ihrer Nähe zu den Dreieckszahlen in den Sammlungen figurierter Zahlen auf.
...... Es gilt RE(n)=2*D(n), wie in der Zeichnung illustriert. 

OEIS: A002378   Oblong (or promic, pronic, or heteromecic) numbers: n*(n+1). 

Tannenbaum-Folge 
...... Gibt man die arithmetische Folge mit 3n+3 von Trapezzahlen vor, so bildet die zugehörige Reihe eine "Tannenbaum-Folge".

Das n-te Glied der Tannenbaum-Folge ist
(3*1+3)+(3*2+3)+(3*3+3)+...+(3*n+1)=3*(1+2+3...+n)+3n
=3*(1/2)n(n+1)+3n=(3/2)n(n+3)


OEIS: Für die Zahlenfolge wurde leider keine Übereinstimmung gefunden.

Folge der dritten Fünfeckzahlen
......... Die Verbindungslinien zwischen dem Mittelpunkt eines Fünfecks und den Eckpunkten bilden sternförmige Figuren. 
Die zugehörige Folge ist arithmetisch und wird durch den Term 5n-4 beschrieben.

Folge der Rhombendodekaeder-Zahlen 
...... Das Rhombendodekaeder kann als ein Würfel aufgefasst werden, auf dessen Seitenflächen quadratische Pyramiden aufgesetzt werden.
Mit dieser Vorlage gelangt man zu den Rhombendodekaeder-Zahlen. 

...... Man gibt einen Würfel der zentrierten Kubikzahlen vor, und setzt auf ein Quadrat eine Pyramide mit ihren quadratischen Pyramidenzahlen. 

...... Wiederholt man das für alle Würfelflächen, so entsteht der nebenstehende Körper.

Das ist die Darstellung der zweiten Rhombendodekaeder-Zahl 15.

Die n-te Rhombendodekaeder-Zahl erhält man über die Formel RD(n)=ZK(n)+6*QP(n-1)
=(2n-1)(n²-n+1)+6*(1/6)(n-1)n(2n-1)=(2n-1)[(n²-n+1)+(n-1)n]=(2n-1)(2n²-2n+1).

Die Anfangsglieder der Folge sind 1, 15, 65, 175, 369, 671, ...

OEIS: A005917   Rhombic dodecahedral numbers: n^4 - (n-1)^4. 

Beziehungen zwischen figurierten Zahlen       top
Es ist ein beliebtes Thema, Beziehungen zwischen figurierten Zahlen zu finden und zu veranschaulichen.
1
...... In der Zeichnung gilt Q(5)=D(5)+D(4). Die Verallgemeinerung ist Q(n)=D(n)+D(n-1).
In Worten: Die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ist eine Quadratzahl. 


......... Man kann deshalb die Quadratzahlen auch durch eine Folge von Dreiecken aus Dreiecken illustrieren.

2
...... Für der Zeichnung gilt Q(5)=9+7+5+3+1. Die Verallgemeinerung ist Q(n)=1+3+5+...+(2n-1).

...... Für der Zeichnung gilt F(5)=D(5)+2*D(4). Die Verallgemeinerung ist F(n)=D(n)+2*D(n-1).

3
...... Für der Zeichnung gilt ZS(5)=6*D(4)+1. Die Verallgemeinerung ist ZS(n)=6*D(n-1)+1. 

4
...... Es ist übrigens möglich, die Formel zu den zentrierten Sechseckzahlen, nämlich ZS(n)=3n(n+1)+1, über drei Parallelogramme herzuleiten. 


Es folgt noch ein Satz ohne Zeichnung.
Die Summe zweier aufeinander folgender Tetraederzahlen ist eine quadratische Pyramidenzahl.
Herleitung
T(n)+T(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/6 + (n+1)*(n+2)*(n+3)/6 = [(n+1)(n+2)/6]*(n+n+3)=(n+1)(n+2)(2n+3)/6=QP(n+1), wzbw.

Besondere Dreieckszahlen top
Es ist eine Spielerei herauszufinden, ob z.B. eine Dreieckszahl auch in einer anderen Folge der Polygonzahlen vorkommt. 
Mit dem Computer fand ich heraus:
Dreieckszahlen
Quadratzahlen
Fünfeckzahlen
Sechseckzahlen
Siebeneckzahlen
Achteckzahlen
...
(1/2)n(n+1)

(1/2)n(3n-1)
n(2n-1)
(1/2)n(5n-3)
n(3n-2)
...
1 3 6 10 15 21 28... 
1 4 9 16 25 36 49... 
1 5 12 22 35 51 70... 
1 6 15 28 45 66 91... 
1 7 18 34 55 81 112... 
1 8 21 40 65 96 133...
...


Es fällt auf, dass jede zweite Dreieckszahl auch eine Sechseckzahl ist.
Schreibt man den Term  n(2n-1) zu (1/2)n(4n-2) um, so sieht man deutlicher die Darstellung einer Dreieckszahl mit ungerader Nummer.

Mehr Zahlen findet man bei OEIS
OEIS: A001110   These are the numbers that are both triangular and square.
OEIS: A046174   Indices of pentagonal numbers which are also triangular. 
OEIS: A046194   Heptagonal triangular numbers. 
OEIS: A046181   Indices of octagonal numbers which are also triangular. 

Man kann in einer Verallgemeinerung  der Dimension 2 (Dreieckszahlen) auf  höhere Dimensionen ausdehnen:
Dreieckszahlen
Tetraederzahlen
Hypertetraederzahlen
...
(1/2)n(n+1)
(1/6)n(n+1)(n+2)
(1/24)n(n+1)(n+2)(n+3)
...
1 3 6 10 15 21...
1 4 10 20 35 56...
1 5 15 35 70 126...
...

Folgen im pascalschen Dreieck        top
Im pascalschen Dreieck findet man Folgen, die oben als figurierte Zahlen vorgestellt wurden.
......... In den Spalten stehen Folgen, nämlich
> in der 0.Spalte die stagnierende Folge von Einsen,
> in der 1.Spalte die Folge der natürlichen Zahlen,
> in der 2. Spalte die Folge der Dreieckszahlen,
> in der 3. Spalte die Folge der Tetraederzahlen,
> in der 4. Spalte die Folge der Zahlen 
zum 4.dimensionalen Tetraeder,
> in der 5. Spalte die Folge der Zahlen zum 5.dimensionalen Tetraeder usw.


Offenbar können Polygon- und Polyederzahlen auch für höhere Dimensionen definiert werden.

Figurierte Zahlen im Internet      top
 

de.wikipedia


Figurierte Zahl
Polygonalzahl
Dreieckszahl
Quadratzahl
Fünfeckszahl
Sechseckszahl
.
Zentrierte Polygonalzahl
Zentrierte Dreieckszahl
Zentrierte Quadratzahl
Zentrierte Fünfeckszahl
Zentrierte Sechseckszahl
...
.
Tetraederzahl
Quadratische Pyramidalzahl
Oktaederzahlen
Kubikzahl
Zentrierte Kubikzahl
.
...
.
Rechteckzahl
en.wikipedia


Figurate number
Polygonal number
Triangular number
Square number
Pentagonal number
Hexagonal number
.
Centered polygonal number
Centered triangular number
Centered square number
Centered pentagonal number
Centered hexagonal number
Centered decagonal number
.
Tetrahedron number
Square pyramidal number
Octahedral number
Cube (algebra)
Centered cube number
.
Star number
.
Pronic Number
MathWorld


Figurate Number
Figurate Number
Triangular Number
Square Number
Pentagonal Number
Hexagonal Number
.
Centered Polygonal Number
Centered Triangular Number
Centered Square Number
Centered Pentagonal Number
Hex Number
...
.
Tetrahedral Number
Square Pyramidal Number
Octahedral Number
Cubic Number
Centered Cube Number
.
Star Number
.
Pronic Number

Deutsch

georg wengler
Figurierte oder geometrische Zahlen    (.pdf-Datei)

Gerhard Hanebeck
Figurierte Zahlen - interaktiv

Jutta Gut
Figurierte Zahlen - die Arithmetik der Spielsteinchen

Martina Schettina
Psephoi (Zählsteine)

matroid
Figurierte ZahlenPentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung

Wikipedia
Pentatopzahl, Pyramidenzahl

Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Heptagonal Triangular Number, Square Triangular NumberPentagonal Triangular Number
Octagonal Triangular Number, Rhombic Dodecahedral NumberPyramidal Number

James A. Sellers
Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers  (.pdf file)

Kate Hobgood and Clay Kitchings (Jim Wilson's Home Page)
Investigating Figurate Numbers With Technology

OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)
Centered polygonal numbers

Wikipedia
Octagonal number, Centered octagonal numberNonagonal number


Referenzen top
(1) F. Ringleb: Mathematische Formelsammlung, Sammlung Göschen 51, Berlin 1956
(2) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York / London (1997) 
[ISBN 0-393-04002-X] Seite 298 ff.
(3) Albert A. Gächter: Figurenzahlen, 2012, www.didamath.com  [ISBN 978- 3 - 9523962-0-9]


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URL meiner Homepage:
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©   Jürgen Köller -  Juli 2012

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