Hyperkubus
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Was ist ein Hyperkubus?
Schrägbilder
Zentralprojektionen
Netze
Schnitte
Weitere Bilder
Der n-dimensionale Würfel
Der Hyperkubus im Internet
Referenzen
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Was ist ein Hyperkubus?
Der Hyperkubus ist der vierdimensionale Würfel.

Unsere Vorstellungskraft reicht nicht aus, um sich die vierte Dimension und speziell den Hyperkubus als Ganzes vorzustellen. 
In Analogie zum Übergang vom Quadrat zum Würfel kann man sich dem Hyperkubus vom Würfel aus von verschiedenen Seiten nähern und wird so mit ihm vertraut.

Er heißt auch Tesserakt, Hyperwürfel oder Achtzell.


Schrägbilder      top
...... Verschiebt man ein Quadrat parallel im Raum und verbindet entsprechende Ecken, so entsteht das Schrägbild eines Würfels.


...... Verschiebt man einen Würfel parallel im Raum und verbindet entsprechende Ecken, so entsteht das Schrägbild eines Hyperkubus. 
Der Hyperkubus hat 16 Ecken (aus 2 Würfeln hervorgegangen) und 32 Kanten (2 Würfel und Verbindungslinien).

......
Der Hyperkubus hat 24 Quadrate.

......... So wie der Würfel von 6 Quadraten begrenzt wird, so bilden 8 Würfel den Hyperkubus.
Die Zahlen 134, 124, 234, 123 geben Basisvektoren an (unten erklärt).

Wer den 3D-Blick beherrscht, kann den Hyperkubus auch dreidimensional betrachten:


Zentralprojektionen     top
 
....... In einer Zentralprojektion ist der Würfel verzerrt. Von den sechs Quadraten eines Würfels erscheinen vier als Trapeze, die zwischen dem kleinen und großen Quadrat liegen.


... Daraus ist eine Darstellung des Hyperkubus entstanden, die auf 
Viktor Schlegel (1888) zurückgeht.

...... Von den 8 Würfeln erscheinen 6 als Pyramidenstümpfe, 
die zwischen einem kleinen und großen Würfel liegen. 
An jeder Ecke stoßen 4 Würfel, 6 Quadrate und 4 Kanten zusammen.
An jeder Kante stoßen 3 Würfel und 3 Quadrate zusammen.
An jedem Quadrat stoßen 2 Würfel zusammen.

Netze    top
............ Klappt man den Würfel auf, so entsteht sein Netz. Die 6 Quadrate haben zusammen 6*4=24 Seiten. 2*5=10 Seiten (rot) sind gebunden. Beim Zusammenbau des Würfels müssen die restlichen 14 Seiten paarweise zusammengeklebt werden. Es gibt insgesamt 11 Netze.


......... Klappt man den Hyperkubus auf, so entsteht als Netz ein Würfelkörper aus 8 Würfeln. Die acht Würfel haben zusammen 8*6=48 Quadrate. 2*7=14 Quadrate sind gebunden. Beim Zusammenbau des Hyperkubus müssen die restlichen 34 Quadrate paarweise zusammengeklebt werden. Peter Turney bzw. Dan Hoey haben 261 Netze gezählt. 

Schnitte      top
...... Ein Würfel (genauer: Einheitswürfel) wird durch drei paarweise aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren (rot) erzeugt. Sie bilden ein Koordinatensystem (O,x1,x2,x3). Die Eckpunkte lassen sich dann durch Zahlentripel, gebildet aus den Zahlen 0 und 1, darstellen.


........... Zum Punkt P gehört das Tripel (011). Man gelangt zu P, indem man vom Nullpunkt (000) aus zuerst in Richtung x2 und dann in Richtung x3 geht. Das wird festgehalten mit 011.

......... Auf diese Weise kann man alle acht Eckpunkte mit Koordinaten versehen.
Es kommen alle Dreierkombinationen aus 0 und 1 vor.

............ Addiert man die Koordinaten eines Punktes, so ergeben sich die Summen 0,1,2 oder 3. Den Summen 0 und 3 sind gegenüberliegende Eckpunkte des Würfels zugeordnet. Sie stellen eine Raumdiagonale dar (grün). Verbindet man die Punkte mit den Summen 1 und 2, so ergeben sich Dreiecke (rot). 
Setzt man x1+x2+x3 = a und lässt a alle Zahlen von 0 bis 3 durchlaufen, so ergibt sich für jedes a eine Schnittebene. Der Schnitt erfolgt senkrecht zur Raumdiagonalen von (000) nach (111). Berühmt ist das Sechseck für a=1,5.

...... Entsprechend erzeugen 4 Basisvektoren (rot) den Hyperkubus. 

Als Koordinaten kommen alle Viererkombinationen aus 0 und 1 vor.



.........
Addiert man die Koordinaten eines Punktes, so ergeben sich die Summen 0,1,2,3 oder 4. Den Summen 0 und 4 sind Eckpunkte zugeordnet. Sie stellen eine Raumdiagonale dar (grün). 
Verbindet man die Punkte mit den Summen 1 und 3, so ergeben sich zwei Tetraeder (rot). Für die Summe 2 ergibt sich ein Oktaeder (blau). 

Setzt man x1+x2+x3+x4= a und lässt a alle Zahlen von 0 bis 4 durchlaufen, so ergibt sich für jedes a ein Schnittkörper. Der Schnitt erfolgt senkrecht zur Raumdiagonalen von (0000) nach (1111).


Weitere Bilder   top

 
 
Auch ein Rhombendodekaeder kann einen Hyperkubus darstellen.


Der n-dimensionale Würfel   top
Der Hyperkubus ist ein Gedankengebilde. Man erhält eine plausible "Erklärung" für seine Eigenschaften durch das Permanenzprinzip, das in der Mathematik häufig angewandt wird, um "vom Bekannten zum Unbekannten" zu gelangen. 

"Würfel" mit den Dimensionen 1, 2 und 3 haben folgende Eigenschaften.
Es müssten jetzt in der nächsten Zeile die Daten des Hyperwürfels folgen. Dimension=4, Ecken=16 ist klar. Wie die Folge der Kanten und Quadrate fortgesetzt werden muss, beschreibt das folgende Bildungsgesetz. 
Setzt man in die Terme n=4, so erhält man für den Hyperkubus folgende Daten. 

Daten des 5-dimensionalen Würfels, eine Zugabe:


Der Hyperkubus im Internet  top

Englisch

Eric W. Weisstein, (MathWorld) 
Hypercube

Frank Richter
living in the hyperspace

Peter Turney
Unfolding the Tesseract

Wikipedia
Hypercube, Tesseract, Fourth dimension



Deutsch

Bernd Grave Jakobi
ein rotierender vierdimensionaler Würfel

Hans Walser
Der n-dimensionale Hyperwürfel   (.pdf-Datei)

Roberto Neumann
Hyperwürfel und Hyperkugeln

Wikipedia
Hyperwürfel, Tesserakt, 4D


Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt am Main, 1975
(2) Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik I (Seite 172), München 1977
(3) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991


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©  2001 Jürgen Köller

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