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Was ist der abgestumpfte Würfel?
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Der abgestumpfter Würfel
ist ein Körper, der von 6 regelmäßigen Achtecken und 8
gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. |
Er entsteht aus einem Würfel,
indem man an den Ecken passend dreiseitige Pyramiden abschneidet.
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Dazu teilt man alle Kanten so, dass regelmäßige
Achtecke entstehen.
An den acht Ecken des Würfels entstehen acht gleichseitige
Dreiecke. Die sechs Quadrate des Würfels reduzieren sich auf Achtecke. |
Neben den 8+6=14 Seitenflächen
hat der abgestumpfte Würfel 36 Kanten
und 24 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander
liegenden Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:
durchsichtig:
Da beim Würfelstumpf (1) an jeder Ecke regelmäßige
Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört er zu den 13
archimedischen
Körpern.
Beschreibung top
Paare
Im abgestumpften Würfel stehen
sich die Dreiecke und die Achtecke parallel und paarweise gegenüber.
4 Paare
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3 Paare
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Parallelprojektionen
Ein Achteck liegt vorne
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Ein Dreieck liegt vorne
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Die Seite eines Dreiecks liegt vorne
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Die gemeinsame Seite zweier
Achtecke liegt vorne
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Eine Ecke liegt vorne
durchsichtig
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Eine Ecke liegt vorne,
undurchsichtig
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Netz
und Schlegel-Diagramm
Diagonalen
120 Flächendiagonalen
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Die Diagonalen der Achtecke sind die Flächendiagonalen
des abgestumpften Würfels. Das Achteck hat 20 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 6*20=120 Flächendiagonalen. |
120
Raumdiagonalen
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Von jedem der 24 Eckpunkte gehen je 10 verschieden lange
Raumdiagonalen aus.
Das führt zu insgesamt (1/2)*24*10=120 Raumdiagonalen
des abgestumpften Würfels. |
Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen
steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien,
so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für den abgestumpften Würfel bedeutet das,
dass es (1/2)*23*24=276 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 36 Kanten, 120 Flächendiagonalen und
120 Raumdiagonalen.
Größen top
Der abgestumpfte Würfel sei durch die Kantenlänge
a gegeben.
Daraus lassen sich die weiteren Größen Radius
R
der Umkugel, Radius rk der Kantenkugel, Volumen
V
und Oberfläche O, Abstand d8 der Achtecke
und Abstand d3 der Dreiecke berechnen.
Herleitungen
Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich
aus den Flächeninhalten der sechs Achtecke und der acht Dreiecke
zusammen: O = 6A8+8A3
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Ist a die Kantenlänge des abgestumpften Würfels,
so hat das Achteck den Flächeninhalt
A8 = [a+sqrt(2)a]²-4*[(1/2)[(1/2)sqrt(2)]²a²]
= 2a²+2sqrt(2)a²
Es gilt A3 =
(1/4)sqrt(3)a². |
O= 6A8+8A3 =
6[2a²+2sqrt(2)a²]+8[1/4)sqrt(3)a²] = 2[6+6sqrt(2)+sqrt(3)]a²,
wzbw.
Volumen
Man erhält das Volumen des abgestumpften Würfels,
indem man vom Volumen des Würfels 8x das Volumen der abzuschneidenden
Pyramide subtrahiert.
Der Würfel hat ein Volumen von V'=[a+sqrt(2)a]³=[7+5sqrt(2)]a³.
Die Grundfläche der Pyramide ist ein gleichseitiges
Dreieck mit der Flächeninhalt
A3 = (1/4)sqrt(3)a².
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Die Raumhöhe H erhält man, wenn man einen Schnitt
durch die Pyramide längs einer Flächenhöhe h = (1/2)sqrt(3)a
des Dreiecks legt. Es tritt ein rechtwinkliges Dreieck auf mit den Seiten
H, (1/2)sqrt(2)a und (2/3)h. |
Nach dem Satz des Pythagoras gilt H² = [(1/2)sqrt(2)a]²-[(2/3)h]²
= (1/2)a²-(1/3)a² = (1/6)a² oder H = (1/6)sqrt(6)a.
Damit ist V8 = (1/3)*(1/4)sqrt(3)a²*(1/6)sqrt(6)a
= (1/24)sqrt(2)a³.
Es gilt V = V'-8V8 = [7+5sqrt(2)]a³ -
8*(1/24)sqrt(2)a³ = (1/3)[21+14sqrt(2)]a³, wzbw..
Radius
R der
Umkugel
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M sei der Mittelpunkt des Würfels. In den Würfel
legt man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten R, dem Abstand des Mittelpunkts
von einer Seitenfläche (1/2)[a+sqrt(2)]a und der Größe
y. Nach dem Satz des Pythagoras gilt R² = {(1/2)[a+sqrt(2)]a}²+y². |
Im blauen Dreieck gilt y² = {(1/2)[a+a*sqrt(2)]}²+[(1/2)a]²
= a²+(1/2)sqrt(2)a².
Damit ist R² = {(1/2)[a+sqrt(2)]a}²+a²+(1/2)sqrt(2)a²
= [7/4+sqrt(2)]a² oder R = (1/2)sqrt[7+4sqrt(2)]a, wzbw.
Radius rk der
Kantenkugel
Bei archimedischen Körpern liegen die Kantenmitten
auf einer Kugel, der Kantenkugel.
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Der Radius rk der Kantenkugel kann über
den Radius R der Umkugel bestimmt werden.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt rk² =
R²-[(1/2)a]² = (1/4)[7+4sqrt(2)]a²-(1/4)a² = (1/4)[6+4sqrt(2)]a².
Dann ist rk= (1/2)sqrt[6+4sqrt(2)]a = (1/2)[2+sqrt(2)]a,
wzbw. |
Abstand
d3
der
Dreiecke
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Der Abstand ist eine Teilstrecke der Raumdiagonale des
Würfels und ist die Länge der Verbindungslinie der Mittelpunkte
gegenüberliegender Dreiecke.
Im nebenstehenden rechtwinkligen Dreieck liest man ab:
(1/4)d3² = R²-[(2/3)h]²={(1/2)sqrt[7+4*sqrt(2)]²-(1/3)a²=(7/4)a²+sqrt(2)-(1/3)a² |
Dann ist weiter d3²
= [(17/3)+4*sqrt(2)]a² oder d3 =
(1/3)sqrt[51+36*sqrt(2)]a, wzbw.
Abstand
d8
der
Achtecke
Der Abstand der Achtecke ist die Kantenlänge des
Würfels: d8 = a+sqrt(2)a = [1+sqrt(2)]a, wzbw.
Winkel zwischen zwei
Seitenflächen
Der Winkel zwischen zwei Achtecken beträgt 90°.
Der Winkel zwischen Dreieck und Achteck beträgt
125°16'.
Quelle (1)
Weitere Körper top
Kuboktaeder
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Aus einem Würfel kann ein zweiter Körper auch
durch Abschneiden dreiseitiger Pyramiden entstehen. Dazu halbiert man die
Kanten.
Er heißt Kuboktaeder. |
Triakisoktaeder
Verbindet man die Mittelpunkte nebeneinander liegender
Mittelpunkte der Seitenflächen, so entsteht der duale Körper
des abgestumpften Würfels, das Triakisoktaeder.
Es gehört somit zu den catalanischen Körpern.
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Das Triakisoktaeder ist ein ebener Körper, der sich
aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt.
Es hat 14 Ecken und 36 Kanten.
Es kann auch als Oktaeder aufgefasst werden, auf dessen
Dreiecke Pyramiden stehen. So erklärt sich der Name. |
Abgestumpfter
Würfel im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Hexaederstumpf,
Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper, Triakisoktaeder
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated
Cube, Archimedean
Solid, Small
Triakis Octahedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour
la Physique )
Polyhedra
(Applets)
Poly
A program
for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden
mit Hilfe dieses Programmes.
Wikipedia
Truncated
cube,
Archimedean
solid, Catalan
solid, Triakisoctahedron
Französisch
Robert FERRÉOL
CUBE
TRONQUÉ
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961 (Seite 103)
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https://www.mathematische-basteleien.de/
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2007, überarbeitet 2013, Jürgen Köller
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