Großes Rhombenkuboktaeder
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Was ist das große Rhombenkuboktaeder?
Abgestumpftes Kuboktaeder
Beschreibungen
Größen
Dualer Körper
Rhombenkuboktaeder im Internet
Referenzen
.
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Was ist das große Rhombenkuboktaeder?
......
Das große Rhombenkuboktaeder ist ein Körper, der von 12 Quadraten, 8 regelmäßigen Sechsecken und 6 regelmäßigen Achtecken gebildet wird. 

Der Körper heißt auch abgestumpftes Kuboktaeder. Dieser Name ist umstritten (s.u.).

Neben den 12+8+6=26 Seitenflächen hat das große Rhombenkuboktaeder 72 Kanten und 48 Eckpunkte.


Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.

durchsichtig

undurchsichtig



Da beim großen Rhombenkuboktaeder (6) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Abgestumpftes Kuboktaeder   top
...... Verbindet man die Kantenmitten eines Würfels und entfernt die dann entstehenden Pyramiden an den Ecken, so entsteht ein Kuboktaeder. 
...
...... Man kann vom Kuboktaeder wiederum Eckpyramiden entfernen. Dann werden aus den Quadraten Achtecke, aus den Dreiecken Sechsecke und die entfernten Pyramiden hinterlassen scheinbar Quadrate. 
Es sieht so aus, als ob man das große Rhombenkuboktaeder aus einem Kuboktaeder gewinnen könne.
Betrachtet man dieses Vorgehen genauer, so ergibt sich ein Widerspruch. Wenn das Quadrat zu einem regelmäßigen Achteck mit der Seite a werden soll, so muss die Pyramide die Seitenlängen (1/2)sqrt(2)a haben. Das ist aber auch die Grundseite der Pyramide, denn das Dreieck wird nur zu einem regelmäßigen Sechseck, wenn das blaue Dreieck gleichseitig wird. Das ist aber ein Widerspruch. Die Grundfläche der Pyramide kann kein Quadrat werden, sondern sie ist ein Rechteck mit den Seiten a und (1/2)sqrt(2)a.
Kepler hat den Körper irrtümlicherweise als abgestumpftes Kuboktaeder angesehen und so bezeichnet. Dieser Name hat sich bis heute gehalten. 


...... Auf der Seite von Geneviève Tulloue (URL unten) wird demonstriert, dass man das große Rhombenikosidodekaeder als abgeschrägtes Kuboktaeder verstehen kann. 

Beschreibungen  top
Umgebungen der Vielecke
... Jedes Quadrat ist von 2 Sechsecken und 2 Achtecken umgeben.



 
... Jedes Achteck ist von 4 Quadraten und 4 Sechsecken umgeben.

... Jedes Sechseck ist von 3 Quadraten und 3 Achtecken umgeben.

... Gleiche Vielecke liegen paarweise parallel zueinander.

Jedes Vieleck ist isoliert. 

Parallelprojektionen
Ein Achteck, ein Sechseck, ein Quadrat, eine Kante 8/6, eine Kante 8/4 und eine Kante 6/4 liegen vorne.

... Ein Eckpunkt liegt vorne.

Ein Quadrat, ein Sechseck und ein Achteck stoßen dort aufeinander.


Netz und Schlegel-Diagramm 

Diagonalen
216 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Achtecke, der Sechsecke und der Quadrate sind die Flächendiagonalen des großen Rhombenkuboktaeders
Das Achteck hat 20, das Sechseck 9 und das Quadrat hat 2 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 6*20+8*9+12*2=216 Flächendiagonalen.

840 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 48 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 9 Flächendiagonalen und 3 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 48-12=36 Punkten enden dann Raumdiagonalen. Das führt zu insgesamt (1/2)*48*35=840 Raumdiagonalen des großen Rhombenkuboktaeders.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das große Rhombenkuboktaeder bedeutet das, dass es (1/2)*47*48=1128 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 72 Kanten, 216 Flächendiagonalen und 840 Raumdiagonalen.

Größen  top
Das große Rhombenkuboktaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich die Größen Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand d4 der Quadrate, Abstand d6 der Sechsecke und Abstand d8 der Achtecke berechnen.


Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden in diesem Kapitel benutzt.
Quadrat
Flächeninhalt A4 = a² 
Diagonale d = sqrt(2)a
.
Regelmäßiges Sechseck
A6 = (3/2)sqrt(3)a² 
r6 = a
.
Regelmäßiges Achteck
A8 = 2[1+sqrt(2)]a²
R8 = (1/2)sqrt[4+2sqrt(2)]a
r8 = (1/2)[1+sqrt(2)]a

Oberfläche O
O = 12*A4+8*A6+6*A8 = 12*a²+8*[(3/2)sqrt(3)a²]+6*{[2+2sqrt(2)]a²} =...= 12[2+sqrt(2)+sqrt(3)]a², wzbw.

Abstand der Quadrate d4
...... Man legt durch den Körper eine Schnittfläche so durch den Mittelpunkt des Körpers, dass Quadrate und Achtecke halbiert werden. Es entsteht als Schnittfläche ein unregelmäßiges Achteck mit den Seiten 2r8 und a.
Dann gilt für den gesuchten Abstand d4 = 2(y+a/2).
Nach dem Satz des Pythagoras gilt y²+y² = (2r8)² oder y² = (1/2){[1+sqrt(2)]a}² = (1/2)[3+2sqrt(2)]a². 
Dann ist y = (1/2)sqrt(2)sqrt[3+2sqrt(2)]a = (1/2)[1+sqrt(2)]a. 
Dann ist d4 = 2(y+a/2) = [3+sqrt(2)]a, wzbw..

Abstand der Achtecke d8
......
In der Querschnittfläche erscheint auch der der Abstand der Achtecke 
d8 = 2*r8+sqrt(2)a.
Das heißt d8 = 2*(1/2)[1+sqrt(2)]a+sqrt(2)a = [1+2sqrt(2)]a, wzbw..

Radius der Umkugel R
......
M sei der Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaeders.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt R² = (d4/2)²+[(1/2)sqrt(2)a]².
Dann ist R² = {(1/2)[3+sqrt(2)]a}²+[(1/2)sqrt(2)a]² = [13/4+(3/2)sqrt(2)]a².
Daraus folgt R = (1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a, wzbw..

Abstand der Sechsecke d6
...... Nach dem Satz des Pythagoras gilt (d6/2)²=R²-r6².
Also ist (d6/2)² = {(1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a}²-a² =...= (1/4)[9+6sqrt(2)]a².
Weiter ist d6/2 = (1/2)sqrt(3)sqrt[3+2sqrt(2)]a = (1/2)sqrt(3)[1+sqrt(2)]a = (1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a.
Dann ist schließlich d6 = [sqrt(3)+sqrt(6)]a, wzbw..

Volumen V
Verbindet man den Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaeders mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich aus der Summe der Einzelpyramiden.
V = 12*V4+8*V6+6*V8
= 12*(1/3)a²(d4/2)+8*(1/3)A6(d6/2)+6*(1/3)A8(d8/2)
= 12*(1/3)a²{(1/2)[3+sqrt(2)]a}..
...+ 8*(1/3)[(3/2)sqrt(3)a²]{(1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a}
...+6*(1/3){2[1+sqrt(2)]a²}{(1/2)[1+2sqrt(2)]a}
=...
= [6+2sqrt(2)]a³+[6+6sqrt(2)]a³+[10+6sqrt(2)]a³
= [22+14sqrt(2)]a³, wzbw.

Drei Winkel
Der Winkel zwischen einer Achteck- und Quadratfläche ist 135°.
Der Winkel zwischen einer Achteck- und Sechseckfläche ist 125°16'.
Der Winkel zwischen einer Sechseck- und Quadratfläche ist 144°44'.
(1), Seite 106

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Hexakisoktaeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des großen Rhombenkuboktaeders, so entsteht der duale Körper, das Hexakisoktaeder. 


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Deutsch

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Großes Rhombenkuboktaeder

Wikipedia
Großes RhombenkuboktaederArchimedischer KörperCatalanischer KörperHexakisoktaeder



Englisch

Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Great Rhombicuboctahedron,  dual:  Disdyakis Dodecahedron
 
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Truncated Octahedron and the Truncated Cuboctahedron

G. Korthals Altes
Paper Model Truncated Cuboctahedron

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Great Rhombicuboctahedron

Wikipedia
Truncated cuboctahedronArchimedean solidCatalan solidDisdyakis Dodecahedron


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 112)


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©  2008, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

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