Sternpyramide

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Was ist eine Sternpyramide?
Berechnungen
Ein Einheitskörper
Drei Erhebungswinkel
Ein Vergleich

Sternpyramide falten
Verwandte Körper
Alexander's Star
Sternpyramiden im Internet
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Was ist eine Sternpyramide?

... Ersetzt man in einer geraden Pyramide das Vieleck durch ein Polygramm, so entsteht eine Sternpyramide.
In diesem Falle ist die Ausgangspyramide fünfseitig und das Polygramm ein Pentagramm.

Wer den 3d-Blick beherrscht, sieht die Entstehung dreidimensional.

...

...

Zeichnet man in ein Pentagramm die Diagonalen und färbt jedes zweites Dreieck grau, so hat man den Eindruck, die Sternpyramide von oben zu sehen.

Diese Sternpyramide, auch Pentagrammpyramide genannt, hat 10+1 Eckpunkte.
Sie hat 20 Kanten, nämlich zehn Grundkanten, fünf lange und fünf kurze Seitenkanten.
Zehn kongruente Seitenflächen werden aus den drei verschiedenen Kanten gebildet.

Berechnungen top
Gegeben

... Die Sternpyramide ist durch zwei Größen gegeben,
z.B. durch die Höhe h und durch die Seitenlänge a des umfassenden Fünfecks.

Formeln
Für die folgenden Berechnungen braucht man Formeln des Pentagramms.
- Schenkel des Zackendreiecks b = (1/2)[-1+sqrt(5)]a
- Radius des Umkreises R = (1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]a
- Radius des Umkreises des inneren Fünfecks R' = (1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]*c = ... = (1/5)sqrt[25-10sqrt(5)]a
- Basis des Zackendreiecks oder Seitenlänge de inneren Fünfecks c = (1/2)[3-sqrt(5)]a
- Flächeninhalt A = (1/2)sqrt[25-10sqrt(5)]a²
- Radius des Inkreises r = (1/10)sqrt[25+10sqrt(5)]a

Lange Seitemkante u

Die Seitenkante u ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Katheten sind die Höhe h und der Radius R des Umkreises des Pentagramms.
Es gilt u = sqrt(R²+h²) = (1/10)sqrt[(50a²+10sqrt(5)a²+100h²].

Kurze Seitenkante v

Auch die Seitekante v ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Katheten sind die Höhe h und der Radius R' des Umkreises des inneren Fünfecks der Pentagramms.
R' = (1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]*c = ... = (1/5)sqrt[25-10sqrt(5)]a
Es gilt v = sqrt(R'²+h²) = (1/5)sqrt[25a²-10sqrt(5)a²+25h²].

Seitenfläche A'

Die Seitenfläche A' ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten b, u und v.
Die Seite b ist der Schenkel des Zackendreiecks.
Die Seitenkanten u und v wurden oben berechnet.

Sind drei Seiten eines Dreiecks gegeben,
so berechnet sich sein Flächeninhalt A' nach der heronschen Formel A' = sqrt[s(s-b)(s-u)(s-v)].
Die Variable s steht für die halbe Summe der drei Seitenlängen, s=(1/2)(b+u+v).

Oberfläche O

...	Die Oberfläche setzt sich aus dem Flächeninhalt des Pentagramms als Grundfläche und den zehn Seitenflächen zusammen, O = A+10A'.

Es ist wegen der unhandlichen heronschen Formel nicht sinnvoll, eine Formel A=A(a,h) anzugeben.
Man muss bei einer Berechnung Schritt für Schritt vorgehen.

Volumen
V = (1/3)Ah = (1/6)sqrt[25-10sqrt(5)]a²h

Ein Einheitskörper top
Das soll die Sternpyramide mit a = h = 1 sein.

... Erzeugende Pyramide Maßzahlen der Größen
A = 0,81, R = 0,85, u = 1,31, c = 0,38, R' = 0,32,
v = 1,05, s = 1,49, A' = 0,32, O = 4,01, V = 0,27
Die Zahlen werden auf zwei Stellen gerundet.

Drei Erhebungswinkel top

...
Es gilt
sin(alpha) = h/u = h/sqrt[(1/10)(5a²+sqrt(5)a²+h²]
cos(beta) = R'/h = h/{1/5)sqrt[25-10sqrt(5)]a}
tan(gamma) = h/r = h/{(1/10)sqrt[25+10sqrt(5)]}a

Maßzahlen für h=a=1

sin(alpha) = 1/1.31
cos(beta) = 1/0,18
tan(gamma) = 4.79

alpha = 49,8°
beta = 71,3°
gamma = 55,5°

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Ein Vergleich top

Wie groß ist das Verhältnis des Volumens der erzeugenden Pyramide zum Volumen der Sternpyramide?

Man benötigt für die Rechnung die Formel für den Flächeninhalt des Fünfecks A(Fünfeck) = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²....

V(Pyramide):V(Sternpyramide)
= {(1/3)(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²h} :{(1/6)sqrt[25-10sqrt(5)]a²h}
=(1/2){sqrt[25+10sqrt(5)]} :{sqrt[25-10sqrt(5)]}
= ... = (1/2)sqrt[(5+4sqrt(5) oder gerundet 6,975
Ergebnisse:
- Die Pyramide hat etwa ein sieben mal so großes Volumen wie die Sternpyramide.
- Da das Verhältnis die Seiten a und h nicht mehr enthält, gilt die Aussage für alle Sternpyramiden dieser Art.

Sternpyramide falten top

...... Faltet man aus einem Fünfeck eine Sternpyramide, so ergibt sich keine ebene Grundfläche (linkes Bild).
Erst wenn man die Faltfigur zu einem Dreieck zusammenlegt und eine Ecke abschneidet, ergibt sich eine Sternpyramide (rechtes Bild).

Die einzelnen Schritte zeigt die Bilderreihe.
...

1 Falte ein Fünfeck so an der roten Linien, dass die Faltfigur wie im Foto oben links entsteht.
2 Lege die Zacken aufeinander.
3 Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
4 Schneide das weiße Dreieck ab.
5 Entfalte das Dreieck.
6 Forme die Sternpyramide wie im Foto oben rechts.

Verwandte Körper top
Doppelpyramide

...... Es ergeben sich Doppelpyramiden, wenn man zwei gleiche Sternpyramiden Grundfläche an Grundfläche aufeinamderlegt.
Unten wird in einem Video unter "Crafty Channel" das Falten aus fünf Modulen beschrieben, leider muss geklebt werden.

Weitere Sternpyramiden
Zur Pentagrammpyramide gibt es neue Körper..

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Die Grundfläche kann ein anderer regelmäßiger Stern sein und dann allgemeiner ein beliebiger Stern.

Der nebenstehende Stern mit 4+4 Zacken ist ein Beispiel.
Fundstelle ist die Webseite von Gijs Korthals Altes (URL unten).

Sternprisma

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So, wie zu einer Pyramide eine Sternpyramide,
so gehört zu einem Prisma ein Sternprisma.

Alexander's Star top

...... Das große Dodekaederbesteht aus 15 regulären Fünfecken, die sich so durchdringen, dass Sternpyramiden gebildet werden. Es gibt 12 Fünfecksseitenflächen.
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