MacMahons Farbwürfel
Inhalt dieser Seite
Was sind MacMahons Farbwürfel?
Es gibt 30 MacMahon-Würfel
Bau der Farbwürfel
Würfelkörper
Das MacMahon Problem
Das Mayblox-Problem 
Das Kowalewski-Problem 
Instant Insanity
Farbwürfel im Internet
Referenzen.
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Was sind MacMahons Farbwürfel? 
MacMahons Würfel sind die Würfel, die entstehen, wenn man sechs verschiedene Farben in allen möglichen Kombinationen auf die sechs Seitenflächen  verteilt. 
...... Die Farben sind nicht vorgeschrieben. Sie können zum Beispiel rot (1), hellblau (2) dunkelblau (3), dunkelgrün (4), hellgrün (5) und pink (6) sein.
Links wird ein möglicher Würfel dargestellt, als Netz und als Schrägbild mit drei umgeklappten Quadratseiten. 

P.A.MacMahon war ein englischer Mathematiker und Major. Er lebte von 1854 bis 1929. 


Es gibt 30 MacMahon-Würfel top
...... Gibt man die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 vor und bildet alle Umstellungen (Permutationen) der sechs Zahlen, so kommt man auf 1*2*3*4*5*6=6!=720 Würfel. Jetzt sind aber auch die Würfel aufgeführt, die sich durch Drehungen um eine der 13 Achsen ineinander überführen lassen. Es gibt 24 Drehungen dieser Art. Also gibt es nur 720:24 =30 verschiedene Würfel. 
Das folgende Bild illustriert diesen Sachverhalt. Die Zahlen unter den Würfeln geben die Anzahl der Drehungen an. 


Bau der Farbwürfel top
Die 30 Würfel kann man auch durch systematisches Färben gewinnen: 
...... >Alle Würfel erhalten hinten die Farbe pink.

>In jeder Zeile erhält die Vorderfläche eine der sechs Farben. 

>In jeder Zeile bekommt die Fläche unten die dritte passende Farbe.

>Die restlichen drei Flächen erhalten in einer Zeile alle Permutationen der übrigen drei Farben.

Die Bezeichnungen wie Ab stammen von Conway (s.u.)

Will man sich mit den Farbwürfeln beschäftigen, so muss man sie unbedingt bauen.
...... Man kann z.B. 30 runde Haftetiketten mit jeweils 1 bis 6 (an Stelle der Farben) beschriften und auf Spielwürfel kleben. Damit man die Übersicht behält, sollte jeder Würfel einen Namen wie Ab bekommen. 

Es ist natürlich schöner, wenn man größere Würfel verwendet und sie mit den sechs Farben versieht.


Würfelkörper  top
Bei den Puzzles mit den Farbwürfeln geht es in erster Linie darum, aus ihnen Quader oder Würfel mit einfarbigen Seitenflächen zu bauen. 
Die folgenden vier Körper sind relativ leicht zu finden. 

Der Würfel links wird zweimal um eine 1x2x2-Scheibe nach links hin erweitert. Es enstehen 3x2x2 und 4x2x2-Quader.
Für die Ecken des großen Würfels rechts wird der kleine Würfel links verwendet. Die 19 nicht angegebenen Würfel findet man leicht.
...... Der L-förmige Körper links wird aus symmetrischen Farbwürfeln aufgebaut. 

Das Besondere ist, dass innen als zusätzliche Bedingung gleiche Farben aufeinanderstoßen. Das ist die sogenannte Domino-Bedingung (Gardner).


Das MacMahon Problem top
Das zentrale Puzzle ist das MacMahon-Problem. 
......
Man wählt aus den 30 Würfeln einen Würfel, z.B. den Würfel Ab.
... Es bleiben 29 Würfel übrig. Aus ihnen wählt man acht, um einen 2x2x2 Würfel zu bauen mit den gleichen Farben auf den entsprechenden Seitenflächen wie der Würfel Ab. Erschwerend kommt hinzu, dass innen gleiche Farben aufeinanderliegen müssen. 
Die Lösung findet man nicht durch Probieren. Man muss systematisch vorgehen. 

Es folgt eine Beschreibung des Lösungsweges für den Würfel Ab. 

Zunächst werden die vier Würfel unten gesucht. Lege dazu alle Würfel so hin, dass dunkelblau unten ist. 

Für den Würfel unten, links, vorne kommen Bc, Ca, Df, Ed und Fe in Frage. Da bei Df, Ed, Fe innen und außen gleiche Farben lägen, scheiden Sie aus. Es bleiben Bc und Ca übrig. (Bc wird hier nicht weiter verfolgt. Man käme zu einer zweiten Lösung.)

Für den Würfel unten, rechts, vorne kommenBd, Cf, Da, Ec und Fe in Frage. Bd bleibt übrig.

Für den Würfel unten, links, hinten kommenBf und Ce in Frage. Bf bleibt übrig. 

Für den Würfel unten, rechts, hinten kommt nur Ea in Frage.

Drehe jetzt für die obere Schicht alle Würfel, so dass dunkelgrün oben liegt.

Für den Würfel oben, links, vorne kommen Be und Cd in Frage. Be bleibt übrig. 

Für den Würfel oben, rechts, vorne kommt nur Fa in Frage.

Für den Würfel oben, links, hinten kommt nur Da in Frage.

Für den Würfel oben, rechts, hinten kommt nur Bc in Frage.

Die Lösung ist also:

Rechts wird noch die zweite Lösung dargestellt, die bei der Suche des ersten Würfels schon erwähnt wurde. Es werden die gleichen Würfel verwendet. Sie liegen zum Würfelmittelpunkt symmetrisch und sind verdreht. 


J.H.Conway kommt das Verdienst einer umfassenden Lösung des Problems zu.
......... Er ordnete die 30 Würfel in einem 6x6-Feld an, wobei er die Hauptdiagonale frei hielt.

Die Spalten werden a,b,c,d,e,f genannt, die Zeilen A,B,C,D,E,F.

So erhält jeder Würfel je nach seiner Lage ein Paar aus einem großen und einem kleinen Buchstaben als Name.

Das Besondere an der Tabelle ist, dass sie für alle Würfel alle Lösungen des MacMahon-Problems enthält. 
Will man z.B.den Farbwürfel Ab vergrößert als 2x2x2-Würfel bauen, kann man die acht Würfel leicht auswählen: 
Man geht in der Tabelle von Würfel Ab aus zum Spiegelwürfel Ba und wählt die übrigen acht Würfel in der Zeile und der Spalte, in der der Würfel Ba liegt.

...... In dieser Anordnung liegen zueinander spiegelbildliche Farbwürfel spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen. So sind z.B. die Würfel Ab und Ba Spiegelbilder.
Noch eine Besonderheit: 
....... Legt man die fünf Würfeln einer Zeile oder Spalte zu einer 1x1x5-Stange und achtet darauf, dass irgendeine  Farbe unten liegt, so liegen die restlichen fünf Farben oben.

Das Mayblox-Problem top
Beim Mayblox-Problem werden wieder acht Würfel vorgegeben, aus denen ein 2x2x2-Würfel zu bauen ist. Jetzt steht aber ein kleiner Würfel als Vorlage nicht zur Verfügung. Darin liegt eine zusätzliche Schwierigkeit.


Das Kowalewski - Problem top
...... Der deutsche Mathematiker G. Kowalewski änderte das 8-Würfel-Problem ab: 
Er verlangte rechts und links bzw. vorne und hinten gleiche Farben, oben eine dritte und unten eine vierte Farbe. Innen sollten gleiche Farben zusammentreffen.
Dieses Problem hat zwei Lösungen. Eine Lösung wird rechts dargestellt. Für die zweite Lösung benötigt man 8 weitere Würfel.


Instant Insanity  top
Im Jahre 1967 brachte die Firma Parker Brothers die "color matching box" unter dem Namen "Instant Insanity" auf den Markt. Es hieß in Deutschland "Vier verrückt" oder "Katzenjammer-Puzzle". Es wurde 12 Millionen mal verkauft (!?). 
...... Dieses Puzzle besteht aus vier farbigen Würfeln. Im Unterschied zu den MacMahon-Würfeln werden aber nur vier verschiedene Farben verwendet. 

Aufgabe des Puzzles ist es, die Würfel so zu einer 1x1x4-Stange zusammenzustellen, dass auf allen vier Seitenflächen die vier Farben erscheinen.

Es gibt im Wesentlichen nur eine Lösung. 

...... Es ist auch möglich, eine Stange aus MacMahon-Würfeln zu bauen, so dass auf allen vier Seitenflächen sechs verschiedene Farben erscheinen und darüber hinaus innen Farbanschlüsse gewährleistet sind. Bei dieser auch optisch schönen Lösung sind sogar die Enden der Stange gleichfarbig.
...... Man kann die 30 Würfel in 5 Gruppen zu je 6 Würfeln aufteilen, so dass jedesmal eine Stange gebaut werden kann wie eben beschrieben. [Lösung von Zoltan Perjés, Buch 6].
Sie werden links im Conway-Schema mit den römischen Ziffern I bis VI gekennzeichnet. Die gezeichnete Stange trägt die Ziffer I. 
Das Besondere ist, dass die Würfel einer Stange zusammenliegen und dass man die Würfel einer Stange zum Teil nicht nur nebeneinander, sondern auch voreinander oder untereinander anordnen kann, ohne dass sich die Eigenschaften  der sechs unterschiedlichen Farben und des Farbanschlusses ändern (Beobachtung von Torsten Sillke).


Farbwürfel im Internet top

Deutsch

Bernhard Häussner
MacMahonMosaik

VIA-Spiele Verlag Elfriede Pauli
Kubus Fugus

Wikipedia
Percy Alexander MacMahon


Englisch

David Darling
MacMahon squares

Ivars Peterson's MathTrek
Averting Instant Insanity

Jaap Scherpius  (Jaap's Puzzle Page)
Octacube, Instant Insanity

John J. O'Connor & Edmund F. Robertson, University of St Andrews
Percy Alexander MacMahon

Kadon Enterprises Inc.
Frank Armbruster invented Instant Insanity 

Paul Garcia
Major Percy Alexander MacMahon

Torsten Sillke
MacMahon's cubes (Multiple Cubes, Probabilities, References)

Wikipedia 
Percy MacMahon, Instant Insanity



Französisch

Charles-É. Jean   (Dictionnaire de mathématiques récréatives)
Cube coloré


Referenzen   top
(1) Gerhard Kowalewski: Alte und neue mathematische Spiele, Leipzig 1930 (Reprint bei Teubner, Stuttgart 1978)
(2) Bruno Kerst: Mathematische Spiele, Berlin 1933 (Nachdruck: Martin Sändig, Wiesbaden 1968)
(3) Gardner, Martin: Mathematische Knobeleien, Braunschweig 1980 (Vieweg)
(4) Rüdiger Thiele: Das große Spielvergnügen, Leipzig 1984 (Urania-Verlag)
(5) Gardner, Martin: Mathematische Hexereien, Berlin 1988 (Ullstein)
(6) Gardner, Martin:  Fractal Music, Hypercards and More Math. Recreations from SA Magazin,   New York 1991 (Freeman)
(7) Rüdiger Thiele, Konrad Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig/Jena/Berlin 1991 (Urania-Verlag)
(8) Rüdiger Thiele, Konrad Haase: Teufelsspiele, Leipzig/Jena/Berlin 1991 (Urania-Verlag)


Ich bedanke mich bei Sabine Sprankel für die Anregung zu dieser Seite und bei Torsten Sillke für Unterstützung.

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©  2002 Jürgen Köller

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