13 983 816
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Was bedeutet die Zahl 13 983 816?
3 aus 6
Noch einmal 3 aus 6
6 aus 49
k aus n
Noch einmal 6 aus 49
Lotto im Internet
Referenzen.
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Was bedeutet die Zahl 13 983 816?
13 983 816 ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus 49 Zahlen eine Kombination von sechs Zahlen zu bilden.
Sie werden als Sechs Richtige in Deutschland beim Lottospiel in jeder Woche zweimal nach dem Zufallsprinzip ausgelost. 
Zum Beispiel waren 14,  25,  31,  32,  41 und  49 die Lottozahlen am Mittwoch, den 25.3.2009.
Die Reihenfolge war 31, 49, 25, 32, 41 und 14, aber auf sie kommt es nicht an. 

Füllt man vor einer Ziehung einen Lottoschein aus, gibt ihn bei einer Annahmestelle ab und und zahlt dabei 1 € pro Tipp, kann man mit der richtigen Vorhersage der Lottozahlen reich werden.


Auf dieser Seite wird die Anzahl der Kombinationen 13 983 816 bei 6 aus 49 hergeleitet.
Daneben findet man noch einige Links zum Thema Lotto.

3 aus 6     top
Zum Einstieg wählt man am besten einen einfachen Fall. 
Statt 6 aus 49 geht es zuerst einmal um 3 aus 6
Gegeben sind also die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Aus ihnen sollen 3 beliebige Zahlen (3-Tupel oder Tripel) ausgewählt werden. 
Sie sollen wie beim Lotto voneinander verschieden sein, und auf die Reihenfolge soll es auch nicht ankommen. 

Unter diesen Bedingungen gibt es 20 Tripel, hier systematisch bestimmt und der Größe nach geordnet:

123 124 125 126 
134 135 136
145 146
156 
234 235 236 
245 246 
256
.
345 346 
356
.
.
456
.
.
.

Noch einmal 3 aus 6       top
Ich sehe keinen Weg, dieses Vorgehen auf 6 aus 49 zu übertragen. 
Deshalb wird die Anzahl 20 noch einmal wie in (1), Seite 26 ff. hergeleitet. 

Man bildet alle Tripel aus 6 Zahlen, nun aber unter Berücksichtigung der Reihenfolge. 
123 124 125 126
132 134 135 136
142 143 145 146
152 153 154 156
162 163 164 165
213 214 215 216
231 234 235 236
241 243 245 246
251 253 254 256
261 263 264 265
312 314 215 216
...........................
...........................
...........................
361 ..............365
412 413 415 416
...........................
...........................
...........................
461 ..............465
512 513 514 516
...........................
...........................
...........................
561 ..............564
612 613 614 615
...........................
...........................
...........................
651 ..............654
Man kommt auf (5*4)*6=120 Tripel.
Greift man 3 verschiedene Zahlen wie 123 heraus, so sind  zu diesem Tripel in der Tabelle noch die Kombinationen 132, 213, 231, 312 und 321 vorhanden. Die 120 Tripel können also in Klassen zu je 6 Tripeln eingeteilt werden. 
Folglich muss man die Anzahl 120 noch durch 6 dividieren, wenn es auf die Reihenfolge nicht mehr ankommt. 
So gelangt man wieder zur Anzahl 20 wie oben.


Auf die Permutationen 123, 132, 213, 231, 312 und 321 soll noch einmal eingegangen werden. 
Es geht um das allgemeiner formulierte Problem, k Elemente auf alle möglichen Arten umzuordnen. 
Die Anzahl ist 1*2*3*...*k, für k=3 ist sie 1*2*3=6. 
Für 1*2*3*...*k schreibt man kürzer k! und liest es "k Fakultät". Das Zeichen wird unten verwendet.

6 aus 49     top
Nach dem Muster "Noch einmal 3 aus 6" könnte man für 6 aus 49 auf die Anzahl 13 983 816 kommen. 
Aber es ist erstrebenswert und günstig, von 6 aus 49 gleich auf den Fall k aus n überzugehen. 
Man leitet eine allgemeine Formel her und spezialisiert sie dann auf k=6 und n=49.


k aus n     top
Gegeben sind also die Zahlen 1,2,3,...,n und eine Zahl k mit k<n.
Gesucht ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus den n Zahlen alle k-Tupel unter Berücksichtigung der Reihenfolge zu bilden. Man nennt sie in der Kombinatorik Variationen k-ter Ordnung, im Mangoldt/Knopp noch Kombinationen k-ter Ordnung mit Beachtung der Reihenfolge.


1.Schritt
Gesucht sind alle Paare. D.h., es ist k=2. Man findet sie angedeutet in folgender Tabelle.
12
13
...
1n
21
23
...
2n
...
...
...
...
...
...
...
...
n1
n2
...
n(n-1)
Die Zahlen bilden ein Rechteck mit n Zeilen und n-1 Spalten. Die Anzahl der Paare ist n*(n-1)

2.Schritt
Gesucht sind alle Tripel. D.h., es ist k=3. Man findet sie angedeutet in folgender Tabelle.
123
124
...
12n
132
134
...
13n
...
...
...
...
1n2
1n3
...
1n(n-1)
213
214
...
21n
...
...
...
...
...
...
...
...
n(n-1)1
n(n-1)2
...
n(n-1)(n-2)
In den ersten vier Zeilen sind alle Tripel aufgeführt, die mit 1 beginnen. Die Anzahl beträgt (n-1)*(n-2).
Darunter stehen die Tripel, die mit 2, 3, ...,n beginnen. Es gibt von jeder Sorte Blöcke mit der Anzahl (n-1)*(n-2) und insgesamt n Blöcke. Das führt zu der gesuchten Anzahl n*(n-1)*(n-2).

k-ter Schritt
Es liegt die folgende Verallgemeinerung nahe.
Ordnung k
k=2
k=3
...
k
Anzahl der Variationen
n(n-1)
n(n-1)(n-2)
...
n(n-1)(n-2)...(n-k+1)
Man kommt also nach dem Permanenzprinzip auf die Anzahl n(n-1)(n-2)...(n-k+1).
Die Verallgemeinerung ist zwar richtig, aber eine logisch gesicherte Herleitung dieses Terms bietet erst die Methode der vollständigen Induktion. Man setzt die Gültigkeit für k voraus und schließt dann logisch auf k+1. Dahinter steckt die Beweiskette: Wenn die Anzahl für k=3 richtig ist (s.o.), dann auch für k=4; wenn für k=4, dann auch für k=5 usw..

Voraussetzung: Die Anzahl der Variationen k-ter Ordnung für n Zahlen ist n(n-1)(n-2)...(n-k+1).
Zu zeigen:  Die Anzahl der Variationen (k+1)-ter Ordnung für n Zahlen ist dann n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k).
Zum Beweis:
Man kennt die Anzahl der Variationen k-ter Ordnung. Geht man auf die Ordnung k+1 über, so gibt es n-k Zahlen, die nicht unter den Variationen k-ter Ordnung sind und eingeordnet werden müssen. Fügt man diese Zahlen den Variationen k-ter Ordnung systematisch hinzu, erhält man das (n-k)-fache der Variationen k-ter Ordnung. 
Das ist die Anzahl der Variationen (k+1)-ter Ordnung n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k), w.z.b.w..


Wenn es auf die Reihenfolge der Variationen aus k Zahlen nicht ankommen soll, muss man die Anzahl noch durch k! dividieren. Dann spricht man von Kombinationen k-ter Ordnung.

Der rechte Term wird gelesen als n über k und heißt  Binomialkoeffizient.


Noch einmal 6 aus 49      top
Setzt man k=6 und n=49, so gilt:
n!/[k!(n-k)!]=49!/(6!43!)=(49*48*47*46*45*44)/(2*3*4*5*6)=13983816.


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Deutsch

Christoph Caspari
Lotto

Georg Einfalt
Georgs Lottozahlengenerator

Bernhard Berchtold (mathematik.ch)
Simulation der Ziehung beim Schweizer Zahlenlotto

Wikipedia
LOTTO, Glücksspiel, Hypergeometrische VerteilungFakultät (Mathematik)Binomialkoeffizient



Englisch

Wikipedia
Lottery


Referenzen   top
(1) H. von Mangoldt / K. Knopp: Einführung in die höhere Mathematik, Leipzig 1958
(2) http://www.dielottozahlen.de/


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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2009 Jürgen Köller

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