Abgestumpftes Tetraeder
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Was ist ein abgestumpftes Tetraeder?
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Abgestumpftes Tetraeder im Internet
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Was ist ein abgestumpftes Tetraeder?
......
Ein abgestumpftes Tetraeder ist ein Körper, der von 4 regelmäßigen Sechsecken und 4 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 


Es entsteht aus einem Tetraeder, indem man an den Ecken dreiseitige Pyramiden  passend abschneidet. 
...... Dazu teilt man die Kanten in drei gleiche Teile.
An den Ecken des Tetraeders entstehen vier gleichseitige Dreiecke. 
Die vier Seitenflächen des Tetraeders reduzieren sich auf vier Sechsecke. 

Neben den 4+4=8 Seitenflächen hat der abgestumpfte Tetraeder 18 Kanten und 12 Eckpunkte.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:

durchsichtig:




Da beim Tetraederstumpf (2) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört er zu den 13 archimedischen Körpern

Beschreibung  top
Gegenüberliegende Flächen
...... Dreieck- und Sechseckfläche liegen parallel zueinander.


Parallelprojektionen

Ein Sechseck liegt vorne.

Ein Dreieck liegt vorne.

Die Seite eines Dreiecks liegt vorne (?).

 

Die gemeinsame Seite 
zweier Sechsecke liegt vorne.

Eine Ecke liegt vorne.

Zwei Sechsecke liegen 
senkrecht zur Zeichenebene.

Netz und Schlegel-Diagramm

Diagonalen
36 Flächendiagonalen
...... Die Diagonalen der Sechsecke sind die Flächendiagonalen.

Das führt zu insgesamt 4*9=36 Flächendiagonalen des Tetraederstumpfes.


12 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 12 Eckpunkte gehen zwei gleich lange Raumdiagonalen aus.

Das führt zu insgesamt 12 Raumdiagonalen.


Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das abgestumpfte Tetraeder bedeutet das, dass es (1/2)11*12=66 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 18 Kanten, 36 Flächendiagonalen und 12 Raumdiagonalen.

Größen  top
Das abgestumpfte Tetraeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, der Abstand r3 eines Dreiecks vom Mittelpunkt und der Abstand r6 eines Sechsecks vom Mittelpunkt berechnen.


Herleitungen
Oberfläche O
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten der vier Sechsecke und der vier Dreiecke zusammen. 
Ein gleichseitiges Dreieck hat den Flächeninhalt (1/4)sqrt(3)a². Ein Sechseck besteht auch aus sechs kongruenten Dreiecken. 
Also ist die Oberfläche O = 4A6+4A3 = 6*4A3+4A3 = 28A3 = 28*[(1/4)sqrt(3)a²] = 7*sqrt(3)a², wzbw.
Volumen V

Vorweg: Das Volumen eines Tetraeders der Kantenlänge a' beträgt V3' = (1/12)sqr(2)*a'³
Man erhält das Volumen des abgestumpften Tetraeders V, indem man vom Volumen des Ausgangstetraeders V3'  das vier-fache Volumen einer abgeschnittenen Pyramide (V3) subtrahiert. 
...... Die abgeschnittene Pyramide der Kantenlänge a hat das Volumen V3 = (1/12)sqrt(2)a³. 
Nach dem ersten Strahlensatz gilt a = a'/3 und H = H'/3 und somit V3' = (1/12)sqr(2)*(3a)³.
Das bedeutet V = V3' - 4V3 = (1/12)sqr(2)*(3a)³ - 4(1/12)sqrt(2)a³ = (23/12)sqrt(2)a³, wzbw.

Radius R der Umkugel 
Vorweg: 
> Die Höhe im gleichseitigen Dreieck ist h = (1/2)sqrt(3)a. 
> Der Radius der Umkugel des Ausgangstetraeders ist R' = (1/4)sqrt(6)a'.
> Die Höhe im abgeschnittenen Tetraeder ist H = (1/3)sqrt(6)a.

......
M sei der Mittelpunkt des Tetraeders. In das Tetraeder legt man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten R, dem Abstand des Mittelpunkts von einer Seitenfläche R'-H und 2/3h. Nach dem Satz des Pythagoras gilt R² = (R'-H)²+(2/3h)²
= [(1/4)sqrt(6)(3a)-(1/3)sqrt(6)a]²+[(2/3)(1/2)sqrt(3)a]² = ... = (22/16)a² oder 
R = (1/4)sqrt(22)a, wzbw. 

Abstand r3 eines Dreiecks vom Mittelpunkt
Es gilt r3 = R'-H = (1/4)sqrt(6)a'-(1/3)sqrt(6)a = (3/4)sqrt(6)a-(1/3)sqrt(6)a = (5/12)sqrt(6)a.

Abstand r6 eines Sechsecks vom Mittelpunkt
Vorweg: Der Radius der Inkugel im Tetraeder der Kantenlänge a' ist r = (1/12)sqrt(6)a'.
Dann ist r6 = (1/12)sqrt(6)(3a) = (1/4)sqrt(6)a.

Der Abstand zwischen Dreieck und Sechseck ist (5/12)sqrt(6)a+(1/4)sqrt(6)a = (2/3)sqrt(6)a.

Winkel zwischen zwei Seitenflächen
Der Winkel zwischen zwei Sechsecken beträgt 70°32'.
Der Winkel zwischen Dreieck und Sechseck beträgt 109°28'. 
Quelle (1)

Weitere Körper  top
Triakistetraeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte nebeneinander liegender Mittelpunkte der Seitenflächen, so entsteht der duale Körper des abgestumpften Tetraeders, das Triakistetraeder.


...... Das Triakistetraeder kann als ein Tetraeder mit aufgesetzten, dreiseitigen Pyramiden angesehen werden.

Vom Tetraeder zum Oktaeder 
...... Aus einem Tetraeder kann ein zweiter Körper auch durch Abschneiden dreiseitiger Pyramiden entstehen. 

Dazu halbiert man die Kanten. Es entsteht ein Oktaeder.


Basteleien   top
Modell aus Stabmagneten
Aus 16 Kugeln und 24 Stabmagneten, die zwei Würfel bilden, kann man einen Tetraederstumpf bauen.


Papiermodell

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Deutsch

Jürgen Meier
Abgestumpftes Tetraeder

Wikipedia
Abgestumpftes Tetraeder, Archimedischer Körper, Catalanischer Körper, Triakistetraeder



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated TetrahedronArchimedean SolidSmall Triakis Octahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
Truncated Tetrahedron (Applet) 

G. Korthals Altes 
Paper Models of Truncated Tetrahedron

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programmes.

Wikipedia
Truncated tetrahedronArchimedean solid, Catalan solidTriakis tetrahedron

Französisch

Robert FERRÉOL
TÉTRAÈDRE TRONQUÉ


Referenzen    top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 101)


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©  2007, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

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