Bascetta-Stern
Inhalt dieser Webseite
Was ist der Bascetta-Stern?
Vergleich mit dem Großen Sterndodekaeder
Falten eines Moduls
Zusammenfügen zu einer Zacke
Zusammenbau des Sterns
Etwas Mathematik 
Weitere Körper aus den Modulen
Körper aus anderen Modulen
Bekrönte Polyeder
Bascetta-Stern im Internet.
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Was ist der Bascetta-Stern?
...... Der Bascetta-Stern ist ein dreidimensionaler Stern, der aus 30 Modulen zusammengesteckt wird. 

Die Module werden aus Quadraten gefaltet.

Mathematisch gesehen ist er ein Ikosaeder, auf dessen Seitenflächen 20 Dreieckspyramiden stehen.

Der Name geht auf den Erfinder des Moduls und des Sterns, den Italiener Paolo Bascetta, zurück.


Vergleich mit dem Großen Sterndodekaeder  top
Das Große Sterndodekaeder hat den gleichen Aufbau. Es ist auch ein Ikosaeder mit geraden Dreieckspyramiden als Krönung, allerdings sind die Zacken spitzer. 

Ikosaeder


...... Die Bezeichnung Dodekaeder erklärt sich dadurch, dass ein Pentagondodekaeder entsteht, wenn man die Spitzen miteinander verbindet.

Die Bildpaare werden mit dem 3D-Blick dreidimensional.

Falten eines Moduls      top
Material
...... Man benötigt für den Stern 30 Quadrate aus Papier.

Da bieten sich die Notizzettel 9cm x 9cm an, die man in jedem Schreibwarengeschäft kaufen kann.


11 Schritte
01
...... Halbiere das Quadrat mit einer Talfaltung.

Es ist günstig, dass man für diese Knickfaltung und die folgenden nicht nur mit dem Finger über den Knick geht, sondern z.B. mit einer umgekehrten Schere.


02
...... Falte an den roten Linien.

03
...... Das müsste dann so aussehen.

04
...... Drehe das Papier um und falte an den roten Linien.

05
... Das müsste dann so aussehen.

06
...... Drehe das Papier um und falte an den roten Linien.

07
...... Das müsste dann so aussehen.

08
...... Drehe das Papier um und falte an den roten Linien.

09
...... Das müsste dann so aussehen.

Falte an der roten Linie.


10
........................ Das müsste dann so aussehen.

11
...... Entfalte das Dreieck mehrmals bis du wieder auf die Figur 05 gelangst.

...... Da muss man durch.

Falte das Modul noch 29 x. 


...... Es sei schon einmal angemerkt, dass jedes Modul zu zwei Seitenflächen nebeneinander liegender Zacken beiträgt.

Zusammenfügen zu einer Zacke    top
.... Drei Module steckt man zu einer Zacke zusammen. 


Und das geht so.
...... Stecke ein Modul in die (rosa) Tasche eines zweiten Moduls.

...... Das müsste dann so aussehen.

...... Das sind schon einmal zwei Seitenflächen einer Zacke. 
Die obere Seitenfläche wird nach hinten weg geklappt. 

Ein drittes Modul umfasst die beiden ersten und wird fixiert.

Die erste Zacke ist fertig. 


Zusammenbau des Sterns      top
An die erste Zacke werden nacheinander Module, die jeweils eine weitere Zacke bilden, angefügt, bis der Stern sich endlich schließt. 
...... Es ist in dem entstehenden Durcheinander eine große Hilfe, wenn man sich das erzeugende Ikosaeder vorstellt: 
An jedem Eckpunkt treffen fünf Dreiecke zusammen. 

Für den Stern heißt das, dass immer fünf Zacken einen Kranz bilden.


Etwas Mathematik top
...... Entfaltet man das Modul, so erkennt man zwei Seitenflächen von Zacken als  gleichschenklige Dreiecke.

Der Winkel an der Spitze eines Dreiecks beträgt wegen des Faltvorgangs 22,5°.

Die Höhe des Dreiecks ist die halbe Seitenlänge des Quadrats.


Der Winkel 22,5° tritt auch im Grunddreieck des regelmäßigen Achtecks auf. 
......
Deshalb kann man die folgenden Formeln übernehmen.
Ist die Grundseite a gegeben, dann gilt 
für die Höhe im Dreieck r = (1/2)[sqrt(2)+1]a (gerundet r = 1,207a) 
und für den Schenkel R = (1/2)sqrt[4+2sqrt(2)]a (gerundet R = 1,307a).

Auf drei Fragen soll eingegangen werden.
1. Frage
Die Quadratfläche Aq des Moduls wird nur zu einem kleinen Teil genutzt. Wie viel Prozent sind das?

Antwort
Die beiden gleichschenkligen Dreiecke haben zusammen den Flächeninhalt  2A = ar. 
Das Quadrat des Moduls hat die Fläche Aq = 4r².
Dann gilt (2A)/Aq = (ar)/(4r²) = a/(4r) = 1/[2(sqrt(2)+1)] = (1/2)[sqrt(2)-1] = 0,207 = 20,7%.
Ergebnis
Etwa 20% der Fläche des Ausgangsquadrats werden genutzt.

2. Frage
Wie groß ist die Höhe H einer Zacke?

Antwort
Nach dem Satz des Pythagoras gilt 
H² = (1/4)[4+2sqrt(2)]a²-[(2/3)(1/2)sqrt(3)]²a² 
= [1+(1/2)sqrt(2)-1/3]a² = [2/3+(1/2)sqrt(2)]a²  = (1/36)[24+18sqrt(2)]a²

Dann ist H = (1/6)sqrt[24+18sqrt(2)]a (gerundet H = 1,172a)

Ergebnis
Die Höhe einer Zacke beträgt H = (1/6)sqrt[24+18sqrt(2)]a (gerundet 1,172a).

Die Höhe der Zacke des Großen Sterndodekaeders beträgt nach der Webseite von de.wikipedia 
k = (1/6)[3sqrt(3)+sqrt(15)] = 1,516a, ist also größer als die Zacke des Bascetta-Sterns.

3. Frage
Wie groß ist der Stern? 
Damit ist die Entfernung e der Spitzen zweier gegenüber liegender Zacken gemeint.

Antwort
> Der Abstand gegenüberliegender Seitenflächen des Ikosaeders ist d=(1/6)[3sqrt(3)+sqrt(15)]a =1,152a.
> Die Höhe einer Zacke ist H = (1/6)sqrt[24+18sqrt(2)]a = 1,172a
Dann ist e = 2H+d = (1/3)sqrt[24+18sqrt(2)]a+(1/6)[3sqrt(3)+sqrt(15)]a (gerundet e = 3,496a).
Es ist günstig, die Entfernung e auf die Seitenlänge 2r des Ausgangsquadrates zu beziehen.
Es gilt r = 1,207a oder a = 0,829r. Dann ist e = 3,496a = 3,496*0,829r = 2,898r = 1,450(2r).
Mit 2r = 9cm ist e = 13,04cm. 
Ergebnisse
Ist die Seitenlänge des Ausgangsquadrates 9cm, so wird der Stern 13,04 cm groß.
Das Verhältnis e/(2r) ist 1,45. Der Stern ist etwa 50% größer als die Seitenlänge des Quadrats.

Weitere Körper aus den Modulen      top
Rudolf Kunstmann, der die Anregung zu dieser Webseite gab, hat sich offenbar intensiv mit Körpern aus den Bascetta-Modulen nebst Varianten beschäftigt. Mit seinem Einverständnis zeige ich eine kleine Auswahl seiner Sterne.


Sterntetraeder

Stern zum Kuboktaeder 

Stern zum Kleinen Rhombenkuboktaeder

Stern zum abgeschrägten Würfel

Körper aus anderen Modulen         top
Auf meiner Webseite Körper flechten verwende ich andere Module, um einen Würfel zu bauen.
Modulares Origami oder (englisch) modular Origami ist ein weites Gebiet, zu dem man in Literatur und Internet viel findet. 


Bekrönte Polyeder top
Bekrönte Polyeder (oder sollte ich schreiben gekrönte oder gar gehörnte Polyeder?) sind konvexe Polyeder, auf dessen Seitenflächen gerade Pyramiden stehen. Im Englischen heißen sie so schön stellated polyhedra.
Körper dieser Art, die auf meiner Homepage zu finden sind, habe ich einmal zusammengestellt. 


Bekröntes Tetraeder

Triakis-Tetraeder

Tetraeder im Würfel



Hypertetraeder

Bekröntes Oktader

Oktaederstern

Triakisoktaeder


...
Rhombendodekaeder

Bekrönter Würfel

Tetrakishexaeder

Rhombendodekaeder

Bekröntes Ikosaeder und bekröntes Pentagondodekaeder

Großes Sterndodekaeder 

Kleines Sterndodekaeder 

Bekröntes Rhombendodekaeder

Yoshimoto Cube

Stern-Puzzle

Bekröntes Ikosidodekaeder
Papiermodell von Peter Lippke 

Mehr über das Ikosidodekaeder auf meiner Webseite 



Bekröntes Kleines Rhombenkuboktaeder
........ Bekrönt man ein kleines Rhombenkuboktaeder, so entsteht ein Stern aus 18 quadratischen Zacken und acht dreieckigen.

Das ist die Form des bekannten Herrnhuter Stern.


... Das ist der Herrnhuter Stern, gebaut aus einem Bausatz (12/2013).

Bascetta-Stern im Internet         top

Deutsch

Annerose Gemeinhardt
Bascetta Stern   (.pdf-Datei)

Guido Krohnke 
Bascettastern in zwei Schritten   (.pdf Datei)

Paolo Bascetta ist bei Facebook.

Stephanie Meschke
3d-Stern, Sonobe-Stern  (.pdf Dateien)

Wikipedia
Bascetta-Stern, Sternkörper, Herrnhuter Stern, Weihnachtsstern (Symbol)

Englisch

Jim Plank
Jim Plank's Origami Page (Modular)

Jo Nakashima
Origami Bascetta Star  (Video)

Origami-Resource-Center.com
Sonobe Stellated Octahedron (12 units)

Wikipedia
Sonobe, Moravian star, Star polyhedron, Polyhedral compound, Modular origami, Mitsonobu Sonobe



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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2012 Jürgen Köller

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