Evolute
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Was ist eine Evolute?
Krümmung einer ebenen Kurve
Krümmung des Kreises
Krümmungskreis einer Kurve
Evolute der Normalparabel
Evolute der Ellipse
Weitere Evoluten
Die Evolute als Einhüllende
Evolute im Internet
.
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Was ist eine Evolute?
...... Das wird an einem Beispiel erklärt.

Gegeben ist die Normalparabel durch f(x) = x². Ihr wird eine Kurve zugeordnet, die Evolute. Sie ist der geometrische Ort der Mittelpunkte der Krümmungskreise der Parabel.

Für eine ausführlichere Erklärung muss man weiter ausholen.


Krümmung einer ebenen Kurve        top
Steigungsdreieck der Sekante
...... Gegeben seien der Graph der Funktion f durch die Gleichung y=f(x) und ein fester Punkt P0(x0|y0) auf ihm. Durch den Punkt P0 gehe eine Gerade, die den Graphen auch in Punkt P(x|y) schneidet. Die Steigung dieser Sekante erfasst man durch das Steigungsdreieck mit den Seiten y-y0 und x-x0
Die Steigung ist ms= tan(alpha) = (y-y0)/(x-x0).


......

Steigungsdreieck der Tangente
...... Interessant wird die Figur, wenn sich der Punkt P auf den Punkt P0 zu bewegt. Ist P=P0, so ist die Sekante zur  Tangente geworden; der Winkel alpha wird Steigungswinkel der Tangente. Das Steigungsdreieck der Sekante verschwindet und seine Seiten werden zu Null. Die Steigung ist mt = 0/0 und nicht definiert, andererseits weist die Zeichnung darauf hin, dass die Tangente eine Steigung hat. Klärung bringt der Begriff des Grenzwertes.

...... Als Beispiel wird die Steigung der Tangente der Normalparabel mit y=x² als Grenzwert bestimmt. Für die Sekante ist ms= (y-y0 )/(x-x0) = (x²-x0²)/(x-x0) = [(x+x0)(x-x0)]/(x-x0) = x+x0. Dann ist mt = x0+x0 = 2x0. Die Steigung der Tangente ist also das Doppelte des x-Wertes. 
Ist die Funktionsgleichung f(x) = x², dann nennt man die Zuordnung der Steigung zu einem x-Wert Ableitung der Funktion und schreibt y' = f '(x) = 2x.

...... Allgemein ist die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x0 gleich dem Grenzwert. 

...... Es ist möglich, Grenzwerte mit Hilfe von Differentialen zu schreiben. Mit ihnen kann man dann rechnen wie mit Variablen.

Beispiel


Krümmung einer Kurve
Man definiert für die Kurve zu y = f(x) die Krümmung als k=(d alpha)/ds.

Der Term (d alpha)/ds wird umgeformt. 
Durch Erweitern erhält man (d alpha)/ds = [(d alpha)/dx]/[ds/dx].

Für (d alpha)/dx schreibt man:
Es gilt dy/dx = y' = f '(x) = tan(alpha)
und weiter nach der Kettenregel 
y'' = f ''(x) = d2y/(dx)²
= [1+tan(alpha)][(d alpha)/dx)] 
= [1+(dy/dx)²][(d alpha)/dx)]
Dann ist (d alpha)/dx = [d2y/(dx)²]/[1+(dy/dx)²].

Für ds/dx schreibt man:
Aus (ds)² = (dx)²+(dy)² folgt (ds)²/(dx)² =1+(dy)²/(dx)² oder (ds)/(dx) =sqrt [1+(dy/dx)²].

Zusammengefasst:
Für die Krümmung k = (d alpha)/ds = [d2y/(dx)²]/[ds/dx] ergibt sich dann
k = [d2y/(dx)²]/[1+(dy/dx)²]/[sqrt [1+(dy/dx)²] = {[d2y/(dx)²]/[1+(dy/dx)²]3/2
oder ohne Differentiale übersichtlicher geschrieben k = y''/(1+y'²)3/2.
Diese Formel gilt für Kurven von Funktionen, die zweimal differenzierbar sind.


Krümmung des Kreises top
...... Gegeben sind zwei Kreise mit den Radien R und r. 
Man sagt: Der große Kreis ist weniger gekrümmt als der kleine. 
Als ein Maß für die Krümmung sind die reziproken Radien geeignet.
Man definiert: Der große Kreis hat die Krümmung k1 = 1/R, der kleine k2 = 1/r.
Da in diesem Falle R=2r gilt, hat der kleine Kreis die doppelte  Krümmung wie der große, k2 = 2k1.
Hat ein Kreis z. B. den Radius r=5 cm, so ist seine Krümmung k = 1/5 (1/cm) = 0,2 (1/cm).


Es soll gezeigt werden, dass die Formel k = y''/(1+y'²)3/2 eine Verallgemeinerung von k=1/r ist oder - anders ausgedrückt - dass k = 1/r ein Sonderfall ist.
Nachweis
Es gilt für den Kreis x²+y²=1, abgeleitet 2x+2yy ' = 0 oder 
(*) x+yy ' = 0, noch einmal abgeleitet 
(**) 1+yy ''+y '² = 0.

Aus (*) folgt y ' = -x/y und 1+y'² =1+x²/y² = (y²+x²)/y².
Aus (**) folgt y '' = - (1+y '²)/y = - (1+x²/y²)/y = - (x²+y²)/y³.
Dann ist k = y''/(1+y'²)3/2 = - [(x²+y²)/y³]/[(y²+x²)/y²]3/2 = - (x²+y²)-1/2 = -1/r.

Ergebnis
Bis auf das Vorzeichen ist k = 1/r als Sonderfall bestätigt.


Positive oder negative Krümmung
Und was bedeutet das Vorzeichen in k= - 1/r? Dazu betrachtet man die Halbkreise oben und unten getrennt.
...... Der obere Halbkreis wird durch die Funktionsgleichung y=sqrt(4-x²) beschrieben. 
Die ersten beiden Ableitungen sind y ' = (-2x)/sqrt(4-x²) und y '' = -(8+2x²)/(4-x²)3/2.
Die zweite Ableitung ist negativ. Bekanntlich beschreibt ein Graph einer Funktion eine Rechtskurve, wenn die zweite Ableitung negativ ist. Das ist hier der Fall. 
Offenbar bestimmt in k = y''/(1+y'²)3/2 die zweite Ableitung, ob die Krümmung k positiv oder negativ ist.
Das führt zu folgender Aussage:
Ist die Krümmung k eines Kreises negativ, so beschreibt der Kreis eine Rechtskurve.

...... Der untere Halbkreis wird durch die Funktionsgleichung y=-sqrt(4-x²) beschrieben. 
Die ersten beiden Ableitungen sind y ' = (2x)/sqrt(4-x²) und y '' = (8+2x²)/(4-x²)3/2.
Die zweite Ableitung ist positiv. 
Der Graph einer Funktion beschreibt eine Linkskurve, wenn die zweite Ableitung positiv ist.
Das führt zu folgender Aussage:
Ist die Krümmung k eines Kreises positiv, so beschreibt der Kreis eine Linkskurve.

Resümee
Die Krümmung eines Kreises ist nach diesen Überlegungen 1/r oder -1/r. Es ist aber sinnvoll, dem Kreis die positive Zahl 1/r zuzuordnen. 
Man löst diese Problematik, indem man die Krümmung einer Kurve bei Bedarf auch mit k = |y''|/(1+y'²)3/2 definiert.
Dabei ist |y''| der Betrag der zweiten Ableitung. Dabei verzichtet man auf eine Aussage über die Krümmungsart.

Krümmungskreis einer Kurve   top
Die Krümmung einer Kurve in einem Punkt beschreibt man durch den Krümmungskreis. Das ist der Kreis, der die Kurve berührt. Kreis und Kurve haben die gleiche Tangente und darüber hinaus die gleiche Krümmung.  Der Mittelpunkt der Krümmungskreises liegt auf der Normalen des Berührpunktes. 
...... Das wird durch ein Beispiel veranschaulicht. 
Gegeben sind die Normalparabel mit y=x², y'= 2x und y''=2 und auf ihr der Punkt P(1/2|1/4). 
Die Krümmung in P ist k= y''/(1+y'²)3/2 = 2/(1+1)3/2 = 2/sqrt(8) = 1/sqrt(2).
Der Radius des Krümmungskreises ist dann r = 1/k = sqrt(2).
Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, dass der Mittelpunkt in M(-1/2|5/4) liegt. 
Der Krümmungskreis wird also durch die Gleichung (x+1/2)²+(y-5/4)² = 2 beschrieben.


Koordinaten des Mittelpunktes des Krümmungskreises
Für die Bestimmung des Mittelpunktes des Krümmungskreises benötigt man folgende trigonometrische Formeln.
sin(alpha) = tan(alpha)/sqrt[1+tan²(alpha)] und cos(alpha) = 1/sqrt[1+tan²(alpha)].

Gegeben sei der Graph der Funktion durch y = f(x) mit den Ableitungen y' und y''. Der Steigungswinkel sei alpha.
Da y' = tan(alpha) gilt, gilt sin(alpha) = y'/sqrt(1+y'²) und cos(alpha) = 1/sqrt(1+y'²).


...... Ein fester Kurvenpunkt sei P(x|y) und der Mittelpunkt des Krümmungskreises M(u|v).
Die beiden gelben Dreiecke sind ähnlich. Die gekennzeichneten Winkel sind gleich, da die Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen.
Es gilt u = x-r*sin(alpha) und v = y+r*cos(alpha). Weiter ist r = 1/k = (1+y'²)3/2/y''.
Man setzt in die Gleichungen r, sin(alpha) und cos(alpha) ein.
Das führt zu u = x-[(1+y'²)3/2/y'']*[y'/sqrt(1+y'²)] und schließlich zu u(x) = x-y'(1+y'²)/y''.
Entsprechend gilt v(x) = y+(1+y'²)/y''.

Evolute
Die Gleichungen sind eine Parameterdarstellung der Ortslinie der Mittelpunkte M(u|v) der Krümmungskreise. Der Parameter ist x. 
Die Ortslinie heißt Evolute.

Evolute der Normalparabel    top
Die Funktionsgleichung der Normalparabel ist y = x². 
......
Zur Bestimmung der Parameterform setzt man y = x², y' = 2x und y'' = 2 in u = x-y'(1+y'²)/y'' und v = y+(1+y'²)/y'' ein.
Dann ist u = x-2x(1+4x²)/2 = -4x³ und v=x²+(1+4x²)/2 = 1/2+3x².
Nennt man wie üblich den Parameter x=t und setzt u=x und v=y, so wird die Evolute Parameterform
dargestellt durch
x = -4t³
y = 3t²+1/2.
Zur Koordinatengleichung gelangt man so.
Es gilt x2 = 16t6 und 3t² = (y-1/2) oder 27t6 = (y-1/2)³.
Daraus folgt (1/16)x² = (1/27)(y-1/2)³ oder (27/16)x² = (y-1/2)³

Die Evolute ist eine Neilsche Parabel.


Oben wurde der Mittelpunkt des Krümmungskreises im Punkte P(1/2|1/4) mit M(-1/2|5/4) angegeben. 
Das kann jetzt bestätigt werden.
x = -4t³ = -4/8 = -1/2
y = 3t²+1/2 = 3/4+1/2 = 3/4+2/4 = 5/4
Von Interesse ist die Stelle x = 0 mit der größten Krümmung.
... Es gilt k = y''/(1+y'²)3/2 = 2/(1+4x²)3/2.
Es gilt x = 4t³ = 0 und y = 3t²+1/2 = 1/2
Ergebnis
Der Mittelpunkt des Krümmungskreises liegt in M(0|1/2), der Radius ist r=1/2 und die Krümmung k = 2.

Auf der Webseite https://de.wikipedia.org/wiki/Evolute (URL unten) findet man eine Zeichnung, in der für viele Kurvenpunkte die Krümmungskreise eingezeichnet werden. So kann man die Entstehung der Evolute nachvollziehen.

Evolute der Ellipse top
Es ist vom Rechenaufwand her günstig, die Ellipse durch die Parameterform zu beschreiben. Sie lautet
x(t) = a cos(t) 
y(t) = b sin(t).


Die Evolute soll auch in Parameterform dargestellt werden. 
Aus den Gleichungen u(x) = x-y'(1+y'²)/y'' und v(x) = y+(1+y'²)/y'' wird 

Herleitung
x=x(t)
y=y(t)
y' = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = y'(t)/x'(t)
y'' = (d/dx) y' = [d/dt)y']*[dt/dx ] = (d/dt)[y'(t)/x'(t)][1/x'(t)] 
= {[x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)]/x'²(t)}[1/x'(t)] = [x'y''-x''y']/x'³

1+y'² = 1+(y'²/x'²) = (x'²+y'²)/x'²
Eingesetzt
u(t) = x-(y'/x')[(x'²+y'²)/x'²]/[x'y''-x''y']/x'³ = x-y'(x'²+y'²)/[x'y''-x''y']
v(t) = y+[(x'²+y'²)/x'²]/[(x'y''-x''y')/x'³]=y+x'[(x'²+y'²)/[(x'y''-x''y')]
Aus Gründen der besseren Lesbarkeit habe ich in den blau markierten Termen den Zusatz (t) weggelassen.


Zurück zur Ellipse.
Für sie gilt x(t) = a cos(t), x' = -a sin(t) und x'' = -a cos(t).
und y(t) = b sin t, y' = b cos(t) und y'' = -b sin(t).
Dann ist x'²+y'² = a² sin²(t)+b² cos²(t) und 
x'y''-x''y' = a sin(t) b sin(t)+a cos(t) b cos(t) = ab[sin²(t)+cos²(t)] = ab.

Die Terme für u(t) und v(t) sind dann

u(t) = a cos(t)-b cos(t)[a² sin²(t)+b² cos²(t)]/(ab) 
= a cos(t)-(1/a) cos(t)[ a²-a²cos²(t)+b²cos²(t)]
= a cos(t)-a cos(t)+a cos³(t)-(b²/a)cos³(t)
=  (a-b²/a)cos³(t) = [(a²-b²)/a]cos³(t)

v(t) = b sin(t)-a sin(t)[a² sin²(t)+b² cos²(t)]/ab 
= b sin(t)-(1/b) sin(t)[a² sin²(t)+b²-b² sin²(t)] 
= b sin(t) - (a²/b) sin³(t)-b sin(t)+b sin³(t)
=  - (a²/b) sin³(t)+b sin³(t) = [(b²-a²)/b]sin³(t)

Ergebnis
Hat die Ellipse die Darstellung x(t) = a cos(t) und y(t) = b sin (t), 
so gilt für die Evolute u(t) = [(a²-b²)/a]cos³(t) und v(t) = [(b²-a²)/b]sin³(t).
Das sind Parameterdarstellungen einer schiefen Astroide.


Zahlenbeispiel
...
Es sei a=2 und b=1.
Die Ellipsengleichung ist x(t) = 2 cos(t) und y(t) = sin(t).
Die Evolutengleichung ist u(t) = (3/2) cos³(t) und v(t) = -3 sin³(t).

Besondere Krümmungskreise
...... In den Hauptscheitelpunkten der Ellipse links sind zwei Kreise eingezeichnet, die die Ellipse in diesen Punkten gut annähern.
Die Radien sind r=b²/a. 

Weitere Evoluten     top

Zykloide: x=t-sin(t), y=1-cos(t)

Folium: r=cos³(t) 

Strophoide: r=-cos(2t)/cos(t)

Trifolium: r=cos(3t)



Kardioide: r=1-cos(t)

Astroide: x=cos³(t), y=sin³(t)

Kubische Parabel: y=x³

Lemniskate von Gerono: x=3sin(t), y=sin(t)cos(t)


Hyperbel: x=cosh(t) oder x=-cosh(t), y=sinh(t)

 Logarithmische Spirale: r=exp(0.1t)

Epizykloide (7:4)
x=11cos(t)-4cos(5.5t)
y=11sin(t)-4sin(5.5t)


Nephroide: x=6cos(t)-4cos³(t), y=4sin³(t)

f(x) = x(x-1)(x-3)

f(x) = (x+1)²(x-1)²

Mehr Beispiele findet man im Internet auf folgenden Webseiten.
- Auf der Webseite https://de.wikipedia.org/wiki/Evolute findet man Evoluten bekannter Kurven.
- Auf der Webseite Famous Curves Index (URL unten) kann man die Evoluten vieler Kurven aufrufen.
- Das Programm Winplot, das ich für diese Seite verwende, zeigt zu Funktionen die Evoluten an. 

Die Evolute als Einhüllende     top
Es folgt ein zweiter Zugang zur Evolute. Das wird am Beispiel der Normalparabel erklärt.
...... > Zeichne die Normalparabel mit f(x) = x².
> Zeichne in Punkt P(1|1) die Tangente t.
> Zeichne durch diesen Punkt P(1|1) die Senkrechte zur Tangente. Das ist die Normale n.

Die Gleichungen sind t(x) = 2x-1 und n(x) = -(1/2)x+3/2.


...... Zeichne zu hinreichend vielen Punkten P(x|y) die Normale. 
Die Normalen na formen eine "Einhüllende". Diese Kurve ist die Evolute.
Umgekehrt sind die Normalen Tangenten der Evolute.

Die Parametergleichung ist na (x) = -1/(2a)x+1/2+a² mit -2<a<2 und der Schrittlänge 50.


...... Das ist noch einmal die Evolute.

Verallgemeinerung
Zu einer beliebigen Kurve zeichnet man durch die Kurvenpunkte Normale. Die Normalen bilden eine Hüllkurve. Das ist die Evolute. 

Auf der Webseite der Universität Heidelberg (URL unten) findet man ab Seite 17 einen Beweis, dass die Evolute auch eine von den Normalen „eingehüllte” Kurve ist.

Evolute im Internet top

Deutsch

Mario Spengler  [Arbeitsgruppe „Bildung und Wissenschaft (BiWi)"]
Die Astroide als Evolute der Ellipse   (.pdf-Datei)

Steffen Hoheisel, Lara Knott (Universität Heidelberg)
Spezielle Kurven   (.pdf-Datei)

Wikipedia
Evolute, Krümmungskreis, Einhüllende

Englisch

Arbeitsblätter Geogebra
Evolute of a parabola

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Evolute, Involute, Circle Involute

Frederick Hartmann and Robert Jantzen
Apollonius's Ellipse and Evolute Revisited - The Alternative Approach to the Evolute 

MacTutor History of Mathematics archive  [University of St Andrews, Scotland] 
Famous Curves Index

Rick Parris 
Winplot

Wikipedia
Evolute


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  April 2016 Jürgen Köller

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