Hyperbel
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Was ist eine Hyperbel?
Hyperbel als Ortslinie 
Diskussion der Gleichung 
Geraden und Hyperbel 
Hyperbel als Bild einer Funktion 
Hyperbel zeichnen 
Hyperbel als Kegelschnitt
Hyperbel im Internet 
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine Hyperbel?
...... Die Hyperbel ist eine mathematische Kurve. 

Man erhält eine einfache Hyperbel als Graph der Relation mit  x²/9-y²/4=1.
Der Definitionsbereich ist Dx={x |x<=-3 /\ x>=3} sowie Dy=|R. 
Der Graph besteht aus zwei Ästen. 
Er ist symmetrisch bezüglich der Achsen und punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunkts. 
Die beiden Punkte, die dem Nullpunkt am nächsten sind, heißen Scheitelpunkte.


Hyperbel als Ortslinie top
Es folgt eine Definition der Hyperbel.
...... Alle Punkte, deren Differenz der Abstände von zwei festen Punkten F1 und F2 gleich ist, liegen auf einer Hyperbel. 
Die beiden Punkte heißen Brennpunkte.


Mit diesem Ansatz gelangt man zu der Hyperbelgleichung x²/a²-y²/b²=1, die auch x²/9-y²/4=1 von oben umfasst.
Die Gleichung x²/a²-y²/b²=1 heißt Mittelpunktsgleichung der Hyperbel. Die Variablen a und b stehen für positive reelle Zahlen.
Herleitung der Mittelpunktsgleichung
......
Es gilt wegen des Satzes von Pythagoras |s1-s2|=|sqrt[y²+(x+e)²]-sqrt[(y²+(x-e)²]|.
Ist y=0, so ist andererseits |s1-s2|=2a.
Somit ist |sqrt[y²+(x+e)²]-sqrt[(y²+(x-e)²]|=2a die Bestimmungsgleichung der Hyperbel.
Durch zweimaliges Quadrieren werden die Betragsstriche und die Wurzelterme entfernt. 
Die Gleichung heißt dann
e²x²-a²x²-a²y²-a²e²+(a²)²=0
<=> (e²-a²)x²-a²y²=a²(e²-a²)
Führt man die Variable b über b²=e²-a² ein, so vereinfacht sich die Gleichung zu  b²x²-a²y²=a²b² oder x²/a²-y²/b²=1, wzbw.. 

Die Gleichung x²/a²-y²/b²=1 ähnelt der Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1. 
Führt man die imaginäre Zahl i mit i²=-1 ein, stimmt sie mit der Ellipsengleichung überein: x²/a²+y²/(ib)²=1. So kommt es zu den Bezeichnungen reelle Halbachse für a und imaginäre Halbachse für b. (Berechnungen zur Ellipse könnten auch formal auf Hyperbeln übertragen werden. Diese Idee habe ich nicht weiter verfolgt.)

Diskussion der Gleichung top
Zahlenbeispiel
Die Hyperbel hat die Gleichung x²/9-y²/4=1 mit a=3 und b=2.
Definitionsbereich
Die Gleichung x²/a²-y²/b²=1  wird nach y aufgelöst und es ergibt sich y=+(b/a)sqrt(x²-a²) und y=-(b/a)sqrt(x²-a²). 
Die Relation ist nicht definiert für x²<a² oder |x|<a oder -a< x <a, denn für diese Werte ist der Term x²-a² unter der Wurzel negativ. 
So ergibt sich |Dx=|R\{-a<x<a}.
Asymptoten
Die roten Geraden mit y=(b/a)x und y=-(b/a)x heißen Asymptoten.
Herleitung der Gleichungen
Für y=+(b/a)sqrt(x²-a²) kann man auch schreiben y=(b/a)x*sqrt[1-(a²/x²)]. Geht x gegen Unendlich, so geht y gegen (b/a)x. Die Gleichung y=(b/a)x beschreibt die  Asymptote.  Die Gerade und die Hyperbeläste im ersten und dritten Quadranten  nähern sich immer mehr, je größer |x | wird. 
Die andere Asymptote ist y=-(b/a)x. 
Deutung von b
...... Ist x=a, so gilt für einen Punkt der Asymptote y=b. 
Dieser Punkt hat mit dem Scheitelpunkt S(a|0) den x-Wert gemeinsam.

Die rein formal eingeführte Variable b ist also der y-Wert der Asymptote in x=a. 

Lage des Brennpunktes
...... Die Strecke b bildet mit a ein rechtwinkliges Dreieck. Die Hypotenuse ist sqrt(a²+b²). 

Das aber ist die oben eingeführte Entfernung e des Brennpunktes vom Nullpunkt. 

Die gleichen Überlegungen gelten für den linken Brennpunkt.
Alle Formen der Hyperbel
Man erhält alle Formen der Hyperbel, wenn man in x²/a²-y²/b²=1 für a und b alle positiven reellen Zahlen einsetzt. 
Die Variable a bestimmt die Entfernung der Scheitelpunkte.
Die Variable b bestimmt, wie weit die Hyperbeln auseinander gebogen werden. 
Das veranschaulichen die beiden Bilder.

b=1

a=1
Alle Lagen der Hyperbel
Wird in einem Koordinatensystem das Symmetriezentrum nach S(x0|y0) verschoben, so führt das zu den Gleichungen (x-x0)²/a²-(y-y0)²/b²=1. 
Drehungen der Hyperbeln werden unten im Kapitel "Hyperbel als Kegelschnitt" angesprochen.


Gleichseitige Hyperbel
...... Ist a=b=1, so vereinfacht sich die Hyperbelgleichung x²/a²-y²/b²=1 zu x²-y²=1. 

Die Asymptoten werden durch die Gleichungen y=x und y=-x erfasst. Sie stehen aufeinander senkrecht. 

Unten wird dargestellt, dass die Hyperbeln mit a=b auch Graph einer Funktion werden können. 


Geraden und Hyperbel top
Offensichtlich schneiden sich Hyperbel und Gerade in zwei Punkten, in einem Punkt oder gar nicht.
Genauer: Zeichnet man Geraden durch den Nullpunkt, so gibt es drei Fälle.
...... Im ersten Fall sind die Nullpunktsgeraden flacher als die Asymptoten und liegen im gelben Bereich. 

Zeichnet man zu ihnen Parallelen, so schneiden sie die Hyperbel zweimal. 

Die Schnittpunkte liegen auf je einem Ast. 


...... Im zweiten Falle liegen die Nullpunktsgeraden im anderen Winkelraum, der durch die Asymptoten gebildet wird. Es gibt keinen Schnittpunkt.
Für die Parallelen gibt es drei Möglichkeiten: 
Die Gerade schneidet die Hyperbel in zwei Punkten, in einem Punkt oder gar nicht. 
Falls zwei Schnittpunkte auftreten, liegen sie auf einem Ast.
Interessant ist der Fall genau eines Schnittpunktes. Dann entstehen Tangenten. 

Dann bleiben noch die beiden Asymptoten selbst, die als Tangenten der Hyperbel in ihren "unendlich fernen Punkten" angesehen werden können. 

Tangentengleichung
......
Lautet die Hyperbelgleichung x²/a²-y²/b²=1 und ist der Berührpunkt P(x1| y1), so ist die Gleichung der Tangente t
xx1/a²-yy1/b²=1 
Herleitung
>Die Hyperbelgleichung ist in der Form  b²x²-a²y²=a²b² handlicher. 
>Die Ableitung beider Seiten ergibt 2b²x-2a²yy'=0 oder nach y' aufgelöst y'=(b²x)/(a²y). 
>Für eine Gerade gilt die Punktrichtungsform (y-y1)/(x-x1)=y'. 
>Dabei ist P(x1| y1) der Berührpunkt und y' die Steigung der Hyperbel im Punkte P. 
>Eine Kombination der Gleichungen führt zur Tangentengleichung (y-y1)/(x-x1)=(b²x)/(a²y) und weiter zu xx1/a²-yy1/b²=1, wzbw..
Eine Halbierung
......
Die Tangente schneidet die Asymptoten in den Punkten A und B. 

Das Besondere ist, dass der Berührpunkt P den Tangentenabschnitt AB halbiert. 

Zum Beweis:
>Man bringt die Tangente mit xx1/a²-yy1/b²=1 und die Asymptote mit y=(b/a)x zum Schnitt und erhält xA=a²b/(bx1-ay1).
>Man bringt die Tangente mit xx1/a²-yy1/b²=1 und die zweite Asymptote mit y=-(b/a)x zum Schnitt und erhält  xB=a²b/(bx1+ay1).
>Bildet man (xA+xB)/2, so erhält man nach längerer Rechnung x1, den x-Wert des Punktes P. 
Ein Dreieck
...... Die Asymptoten und der Tangentenabschnitt bilden ein Dreieck. 
Sein Flächeninhalt AD ist unabhängig von der Lage des Berührpunktes. Es gilt AD=ab.

Zur Herleitung:
Die x-Werte der Punkte A und B sind xA=a²b/(bx1-ay1) und xB=a²b/(bx1+ay1). 
Dann sind nach y=(b/a)x die y-Werte yA=ab²/(bx1-ay1) und yB=ab²/(bx1+ay1). 
Aus den Koordinaten des Dreiecks NBA ergibt sich AD=(1/2)(xByA-yBxA)=ab. 


Ein Parallelogramm
...... Man zeichnet in das Dreieck NBA die drei Mittelparallelen. Dann entsteht das Parallelogramm NDPC. 

Das Parallelogramm hat den Flächeninhalt ab/2. Es ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks NBA. 
Der Flächeninhalt hängt somit nicht von der Lage des Berührpunktes P ab.

In der Zeichnung ist das Parallelogramm nur deshalb ein Rechteck, weil die Hyperbel gleichseitig ist und die Asymptoten orthogonal.


Zwei gleiche Strecken
...... Wenn eine Gerade die Hyperbel in den Punkten C und B schneidet und die Asymptoten in den Punkten D und A, so gilt DC=BA.

Zum Beweis:
Die Sekante ist durch y=mx+n und die Hyperbel durch x²/a²-y²/b²=1 beschrieben.
Man berechnet die Mittelpunkte der Strecken AD und CB und erhält in beiden Fällen nach längerer Rechnung 

xm=a²n/(b²-a²m²) und ym=b²n/(b²-a²m²).
Quelle (2) Aufgabe 988

Hyperbel als Bild einer Funktion    top
Entstehung
Dreht man (z.B. mit Irfan) das Bild einer Hyperbel mit senkrecht aufeinander stehenden Asymptoten um -45°, so werden die Asymptoten zu Achsen eines neuen Koordinatensystems und die Hyperbel wird zum Graph einer Funktion.


Einfache Hyperbel
Die einfachste Hyperbelgleichung dieser Art ist f(x)=1/x. 
Diese Hyperbel kann angesehen werden 
>als Graph der Stammbrüche 1, 1/2, 1/3, 1/4,...
>Zur Veranschaulichung der Nullfolge <1/n> (rot).
>Als Ort von Ecken der Rechtecke mit dem Flächeninhalt 1.

Antiproportionale Größen
...... Die Hyperbel veranschaulicht Dreisatzaufgaben vom Typ "je größer, desto kleiner". 

Beispiel: 
Die Länge a und die Breite b eines Rechtecks bei konstantem Flächeninhalt A, a=A/b
"Je größer die eine Seite des Rechtecks ist, desto kleiner wird die andere."
Länge und Breite sind produktgleich oder umgekehrt proportional oder antiproportional.
Aus y=1/x wird die Zuordnungsgleichung a=A/b. 
 


Abgeleitete Funktionen
Die Funktion mt f(x)=1/x führt zu folgenden drei neuen Funktionen.
>f(-x)=-1/x (Spiegelfunktion)
>f '(x)=-1/x² (Erste Ableitung)
>F(x)=ln(x) (Stammfunktion)

Die Umkehrfunktion von f(x)=1/x ist die Funktion selbst.
 


Zwei uneigentliche Integrale
Die Fläche unter der Hyperbel rechts von x=1 ist unendlich groß. 
...... Lässt man aber die Hyperbel um die x-Achse rotieren, so ist merkwürdigerweise das Volumen des ins Unendliche reichenden Rotationskörpers endlich und gleich pi.


Verallgemeinerungen
......
Den Funktionsterm 1/x kann man verallgemeinern zu der "gebrochenen linearen Funktion" f(x)=(a1x+b1)/(a2x+b2) mit D=a1b2-a2b1 ungleich Null und a2 ungleich Null. 

Näheres findet man im Bronstein (3) Seite 73f.


...... Bei meinen Recherchen stellte ich fest, dass die Graphen gebrochener rationaler nicht-linearer Funktionen nicht als Hyperbeln bezeichnet werden, obwohl sie wie die Hyperbeln oft asymptotisches Verhalten zeigen. 

Für den Graphen der einfachsten Funktion dieser Art, nämlich f(x)=1/x² , ist allerdings der Name Hyperbel gebräuchlich. Dieser ist auch monoton und hat Asymptoten.


Hyperbel zeichnen  top
In älteren Büchern betont man Anleitungen, wie man eine Hyperbel zeichnen kann. [(1) Seite 165]
Gegeben sind jeweils die Brennpunkte F1 und F2 und die Entfernung der Scheitelpunkte 2a.
Punktweise Konstruktion
>Zeichne einen Kreis mit einem Radius r>F1F2.
>Bestimme die Strecke R=r-2a.
>Zeichne einen Kreis um F1 mit dem Radiur R.
Der Schnittpunkt P ist ein Punkt der Hyperbel.


Fadenkonstruktion
...... > Befestige ein Lineal drehbar im Brennpunkt F1
>Befestige das eine Ende eines Fadens in Brennpunkt F2, das andere am Ende des Lineals. 
>Wähle die Fadenlänge s so, dass sie gleich der Differenz aus der Länge des Lineals F1B=t und der gegebenen Strecke 2a ist. (D.h. t-s=2a).
>Eine Hyperbel ergibt sich, wenn man das Lineal um F1 dreht und dabei einen Bleistift gegen das Lineal und auf das Papier drückt und darauf achtet, dass der Faden gespannt bleibt.
Begründung
Es gilt F2A+AB=s und F1A+AB=t. Daraus folgt mit t-s=2a durch Differenzenbildung F1A-F2A=2a, wzbw.. 

Hyperbel als Kegelschnitt top
Kegelschnitte
...... Legt man durch einen geraden Doppelkegel ebene Schnittflächen, so entstehen im wesentlichen vier Arten von Linien. 
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel  erreicht, erzeugt eine Hyperbel
4 Ein Schnitt parallel zu einer Mantellinie ergibt eine Parabel

Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem.


Scheitelgleichungen der Kegelschnitte
Die Scheitelgleichung für Kegelschnitte lautet: y²=2px+(epsilon²-1)x²

Es ergeben sich 
> der Kreis für epsilon = 0
> die Ellipse für epsilon = 0,8
> die Parabel für epsilon = 1
> die Hyperbel für epsilon = 1,2.


Quadratische Gleichung mit zwei Variablen
......
Alle Kegelschnitte erfasst man auch durch die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0. 
Eine Hyperbel liegt vor, wenn im wesentlichen 4AC-B²<0 ist (3).

Die nebenstehende Hyperbel ist der Graph der Relation 4x²+24xy+11y²+144x-92y-140=0. 
Es ist 4AC-B²=4*4*11-24²=-400<0
Offensichtlich bewirkt der Term mit xy eine Neigung der Symmetrieachsen.

Quelle: (2) Aufgabe 991e



Hyperbel im Internet top

Deutsch

Wikipedia
Hyperbel (Mathematik)Hyperboloid
Dreisatz, Proportional, Antiproportionalität


Englisch

Gary S. Stoudt (Convergence MAA)
Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone?

Eric W. Weisstein (MathWorld) 
Hyperbola, Confocal Hyperbolas, Confocal Conics,   Rectangular Hyperbola
Ferner:  Stammler HyperbolaFeuerbach HyperbolaYff HyperbolaJerabek HyperbolaHyperbola Inverse CurveHyperbola Pedal Curve

John J O'Connor and Edmund F Robertson (The MacTutor History of Mathematics archive) 
Hyperbola

Xah Lee 
Hyperbola

Wikipedia
Hyperbola, Hyperbolic sector, Hyperbolic angle, Hyperbolic function, Hyperboloid
Rule of three (mathematics),   Proportionality (mathematics)


Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve) 
Hyperbole


Referenzen   top
(1) Otto Zoll: Mathematisches Lehr- und Arbeitsbuch für höhere Lehranstalten, Oberstufe, Braunschweig 1940
(2) Autorengemeinschaft:  Algebra und Geometrie für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966 [ISBN 978-3-87144-107-3]
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 


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©  2007 Jürgen Köller

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