Kubische Parabel
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Was ist eine kubische Parabel?
Diskussion der Beispielfunktion
Punktsymmetrie der kubischen Parabel
Nullstellen kubischer Parabeln
Extremstellen kubischer Parabeln
Wendestelle kubischer Parabeln
Funktion suchen
Normalform der kubischen Funktion
Kurven dritten Grades auf meiner Homepage
Kubische Parabeln im Internet.
Referenzen
.
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Was ist eine kubische Parabel?
...... Die kubische Parabel ist der Graph der Funktion mit f(x) = x³.

In Analogie zur (quadratischen) Normalparabel mit q(x) = x² könnte man die Kurve genauer kubische Normalparabel nennen. 


...... Die kubische Normalparabel reiht sich zwischen quadratischer Normalparabel und dem Graphen zu y=x4 ein.

Die Funktionsterme sind x2, |x|3 und x4.


...... Die kubische Parabel im weiteren Sinne ist der Graph der ganzrationalen Funktion mit 
f(x) = ax³+bx²+cx+d.
Man fordert a ungleich 0, damit die dritte Potenz nicht wegfällt.
Die Vorzahlen a, b, c und d stehen für reelle Zahlen.
Der größtmögliche Definitionsbereich ist D=|R, der Wertebereich ist dann auch W=|R.

Als ein Beispiel steht links ein Graph mit dem Funktionsterm 

f(x) = (1/4)(x+1)(x-2)(x-3) = (1/4)(x³-4x²+x+6) = (1/4)x³-x²+(1/4)x+3/2.

Diskussion der Beispielfunktion       top
Für eine Kurvendiskussion benötigt man die ersten drei Ableitungen.
f(x) = (1/4)x³-x²+(1/4)x+3/2
f '(x) = (3/4)x²-2x+1/4
f ''(x) = (3/2)x-2
f '''(x) = 3/2
Die Stammfunktion ist F(x) = (1/16)x4-(1/3)x3+(1/8)x2+(3/2)x+C. Es gilt F'(x)=f(x).


Nullstellen
Es gilt f(x) = 0 oder (1/4)x³-x²+(1/4)x+3/2 = 0.
Es ist kein großes Problem, die Gleichung zu lösen, da der Funktionsterm ursprünglich in der Produktform f(x) = (1/4)(x+1)(x-2)(x-3) gegeben war. Die Nullstellen sind x1 = -1,  x2 = 2 und x3 = 3. 
Der y-Achsen-Abschnitt ist f(0) = 3/2.


Extremstellen
Es gilt f'(x)=0.
(3/4)x²-2x+1/4=0 führt zu x²-8/3x+1/3 = 0 oder  x4 = 4/3+(1/3)sqrt(13) und  x5 = 4/3-(1/3)sqrt(13). 
Angenäherte Zahlen sind x4 = 2,535 und x5 =  0,131.
Es gilt f ''(x4) = f ''(2,535) = 1,5*2,535 -2 > 0 und f ''(x5) = f ''(0,131) = 1,5*0,131 -2 <0.
Damit ist x4 eine Minimalstelle und x5 ist eine Maximalstelle.

Wendestelle
Es gilt f ''(x) =0.
(3/2)x-2 = 0 führt zu x6 = 4/3. 
Da f '''(x) = 3/2 , also ungleich 0, ist, ist x6 = 4/3 eine Wendestelle.

Verhalten "im Unendlichen"
Geht x gegen Unendlich, so geht auch f(x) gegen Unendlich.
Geht x gegen - Unendlich, so geht auch f(x) gegen - Unendlich.

Eine Flächenberechnung
...... Für die gelbe Fläche gilt 


Graph der Funktion
 
 

Die Graphen der Funktion, ihrer Ableitungen und der Stammfunktion für C=0
f(x)

f '(x)

f ''(x)

F(x)

............................



Für die folgenden Überlegungen benötigt man die Ableitungen der allgemeinen kubischen Funktion.
f(x) =  ax³+bx²+cx+d   (a nicht gleich 0).
f '(x) = 3ax²+2bx+c
f ''(x) = 6ax+2b
f '''(x) = 6a

Punktsymmetrie der kubischen Parabel       top
Quadratische Parabel 
...... Die quadratische Parabel ist achsensymmetrisch bezüglich der Vertikalen durch den Scheitelpunkt. 


Kubische Parabel
In Analogie gilt die Aussage: Die kubische Parabel ist punktsymmetrisch bezüglich des Wendepunktes. 
Dazu folgen Überlegungen in vier Schritten.
1
...... Für den Wendepunkt muss gelten: f ''(x) = 0 und f '''(x) ungleich 0.
Das führt zu 6ax+2b = 0 oder x=-b/(3a). Die zweite Bedingung ist erfüllt.
Ergebnis: Die Wendestelle liegt bei x= -b/(3a).

2
Es gilt der Satz: Der Graph einer Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Nullpunkts, wenn für alle x gilt f(x) = -f(-x).
...... Um diesen Satz anwenden zu können, wird das Koordinatensystem so verschoben, dass der Wendepunkt Nullpunkt eines neuen x'-y'-Koordinatensystems wird.

Dazu setzt man x = [x'-b/(3a)] in den allgemeinen Funktionsterm f(x) =  ax³+bx²+cx+d ein 

.
Wie sich dann gleich zeigen wird, fällt dann der quadratische Term weg.

3
y = a[x'-b/(3a)]³+b[x'-b/(3a)]²+c[x'-b/(3a)]+d
= a{x'³-3x'²[b/(3a)]+3x'[b/(3a)]²-[b/(3a)]³}+b{x'²-2[b/(3a)]x'+[b/(3a)]²}+cx'-c[b/(3a)]+d
= ax'³-bx'²+(3ab²)/(9a²)x²-b³/(27a³)+bx'²-[(2b²)/(3a)]x'+b²/(9a²)+cx'-(bc)/(3a)+d
= ax'³+[(3b²)/(9a)-(2b²)/(3a)+c]x'+[-b³/(27a²)+b³/(9a²)-(bc)/(3a)+d]
= ax'³+[(3ac-b²)/(3a)]x'+[(2b³-9abc+27a²d)/(27a²)]
Der freie Term (2b³-9abc+27a²d)/(27a²) ist gerade f [-b/(3a)], also die Ordinate des Wendepunktes im x-y-Koordinatensystem.

4
Damit hat die Parabel im x'-y'-Koordinatensystem die Darstellung y' = ax'³+[(3ac-b²)/(3a)]x'.
Da nur die ungeraden Exponenten 1 und 3 im Funktionsterm vorkommen, gilt f(x) = -f(-x). Der Graph ist somit punktsymmetrisch bzgl. des neuen Nullpunkts und der Graph der gegebenen Funktion punktsymmetrisch bzgl. des Wendepunkts.

Nullstellen kubischer Parabeln        top
Lösen durch Probieren
Das soll am Beispiel f(x)=x³-x²-3x+3 erklärt werden.
Man berechnet f(x) für verschiedene Zahlen x und hofft, dass f(x)=0 wird. Gesteuert wird das durch die Aussage, dass x ein Teiler von 3 sein muss. Das sind hier die Zahlen -3, -1, 1, 3. 
Setzt man z.B. x=1, so gilt f(1)=1-1-3+3 = 0. Also ist x=1 eine Nullstelle. 
Durch die Polynomdivision (x³-x²-3x+3):(x-1) gelangt man zu x²-3 und zur quadratischen Gleichung x²-3=0.
Die Lösungen sind also x1=1, x2=sqrt(3) und x3=-sqrt(3).
Diese Methode gelingt nur, wenn es mindestens eine ganzzahlige Lösung gibt.


Vorbemerkung
Es geht darum, die allgemeine Gleichung ax³+bx²+cx+d = 0 zu lösen.
An dieser Stelle sollten eigentlich die Herleitung der Lösungsformeln von Cardano und die Überlegungen zum "Casus irreducilus" stehen. Das sind nämlich die Standardlösungen kubischer Gleichungen. Bei meinen Recherchen im Internet stellte ich fest, dass ich mir das schenken kann  ;-). Im Internet findet man eine Reihe ausführlicher Herleitungen. Ich nenne 
> den Aufsatz von Max Krause (URL unten).
> den Aufsatz bei Matroids Matheplanet (URL unten).
Lösung der quadratischen Gleichung

Ein besseres Verständnis für die Bestimmung der Nullstellen erhält man, wenn man sich die Lösung der allgemeinen quadratischen Gleichung ax²+bx+c=0 vergegenwärtigt und auf die kubische Gleichung überträgt. 
1.Schritt: 
Man dividiert beide Seiten der Gleichung durch die Vorzahl von x² und erhält die Normalform x²+px+q = 0 mit p=b/a und q=c/a.
2.Schritt:
Nach der p-q-Formel ist x1 = -p/2+sqrt(p²/4-q)  und x2 = -p/2-sqrt(p²/4-q). Dabei ist D = p²/4-q = (p²-4q)/4 = (b²-4ac)/(4a²) die Diskriminante.
Man bezeichnet oft auch den einfacheren Term im Zähler, nämlich p²-4q oder b²-4ac als Diskriminante.
...... Die Rechnung muss man so interpretieren. 
Es gibt für die quadratische Funktion drei Fälle bezüglich der Nullstellen. 
 
1. Fall: D=0
Es gibt nur eine Nullstelle.
2. Fall: D>0
Es gibt zwei Nullstellen.
3. Fall: D<0
Es gibt keine Nullstelle.

Beispiele: 
Für f(x)=(x-1)² ist D=0. Für f(x)=(x-1)²-1 ist D=1>0. Für f(x)=(x-1)²+1 ist D=-1<0.

Lösung der kubischen Gleichung
...... Stellt man kubische Funktionen graphisch dar, so ergeben sich auch drei Fälle.

1. Fall: Es gibt drei Nullstellen (schwarze Kurve).
2. Fall: Es gibt zwei Nullstellen (grüne Kurve). Dabei ist eine Stelle eine doppelte Nullstelle.
3. Fall: Es gibt eine Nullstelle (rote Kurve).

Die Funktionsterme sind übrigens x(x+1)(x-1), x(x+1)(x-1)+1 und x(x+1)(x-1)+(2/9)sqrt(3).


...... Man sollte die Graphen ohne Extremwerte nicht vergessen, z.B. den zu f(x) = (1/4)(x³-3x²+4x+2)
Er ist monoton steigend. 

Verschiebt man ihn längs der y-Achse, so gibt es immer genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse. 

Wie im 3.Fall oben gibt es genau eine Nullstelle.


Wie bei der quadratischen Gleichung gibt es eine Diskriminante, die es erlaubt, die drei Fälle zu unterscheiden. 
Die Diskriminante zur kubischen Gleichung  ax³+bx²+cx+d = 0 ist im wesentlichen D = q²+4p³ mit p = 3ac-b² und q = 2b³-9abc+27a²d.

Fall 1: Ist D>0, so gibt es eine reelle Lösung. 
Fall 2: Ist D=0, so gibt es zwei reelle Lösungen, wobei eine Lösung eine doppelte Nullstelle ist.
Fall 3: Ist D<0, so gibt es drei reelle Lösungen.


Es ist heute kein Problem, kubische Gleichungen angenähert durch Dezimalzahlen zu lösen. Es gibt im Internet zahlreiche Applets unter dem Namen "cubic equation solver". Ich habe den von wolframalpha (URL unten) für die folgenden drei der vier typischen Funktionen verwendet.

Beispiel 1:  Eine reelle Nullstelle
Die Funktion sei f mit f(x)=(1/8)(x³-x²+x+1).
Die Diskriminante zu x³-x²+x+1 = 0 ist D = q²+4p³ = (2b³-9ab+27a²d)²+4(3ac-b²)³ = 34²-4*2³ >0.
Da D>0 ist, gibt es nur eine reelle Nullstelle.
...... Statt der Gleichung (1/8)(x³-x²+x+1) = 0 kann man auch x³-x²+x+1 = 0 lösen.
Die Berechnung überlasse ich besser dem "cubic equation solver".
Exakt:
Gerundet x = - 0,54369

Auch wenn man den Graphen in y-Richtung verschiebt, bleibt es bei einer Nullstelle. Das gilt nicht für die nächsten Beispiele.

Beispiel 2:  Eine reelle Nullstelle
Die Funktion sei f mit f(x)=x³+2x²+x-1.
Die Diskriminante ist D = q²+4p³ = (2b³-9abc+27a²d)²+4(3ac-b²)³ = (-29)²+4(-1)³ >0.
Da D>0 ist, gibt es nur eine reelle Nullstelle.
......
Die Berechnung überlasse ich wieder besser dem "cubic equation solver".

Angenähert: 0,46557
 
Exakt: 


Beispiel 3: Zwei reelle Nullstellen
Die Funktion sei f mit f(x)=x³-x²-x+1.
...... Die Diskriminante ist D = q²+4p³ = (2b³-9abc+27a²d)²+4(3ac-b²)³ = 16²+4*(-4)³ = 0.
Da D=0 ist, gibt es zwei reelle Nullstellen. 

Es gilt f(x)=x³-x²-x+1 =(x-1)²(x+1).
Die Nullstellen sind also x1=-1 und x2=1.


Beispiel 4:  Drei reelle Nullstellen 
Die Funktion sei f mit f(x)=x³+2x²-x-1. Die Diskriminante ist D = q²+4p³ = (2b³-9abc+27a²d)²+4(3ac-b²)³ = 7²+4(-7)³ <0.
Da D<0 ist, gibt es drei reelle Nullstellen. Angenähert sind das x1=-2,2470, x2=-0,55496, x3=0,80194.
......  Der "cubic equation solver" gibt auch die folgenden genauen Lösungen an:
Es fällt auf, dass die Terme noch die imaginäre Zahl i=sqrt(-1) enthalten. Merkwürdigerweise bedeuten die Terme aber reelle Zahlen. 
Um sie zu bestimmen, müsste man noch cos(phi)=(-q)/[2*sqrt(-p³)] einführen (siehe z.B. Ende des Aufsatzes von Alf Krause, URL unten).
Das leistet das Programm "cubic equation solver" nicht.

Extremstellen kubischer Parabeln        top
Für eine Extremstelle muss gelten: f '(x) = 0 und f ''(x) ungleich 0.
f '(x) = 0 führt zu 3ax²+2bx+c =0  oder x²+(2b/3a)x+c/(3a)=0.
Die Lösungen sind x1 = -b/(3a)+sqrt[b²/(9a²)-c/(3a)] und x2 = -b/(3a)-sqrt[b²/(9a²)-c/(3a)].
Umgeformt x1 = [1/(3a)][-b+sqrt(b²-3ac)] und x2 = (1/(3a)[-b-sqrt(b²-3ac)].
Für die zweite Ableitung gilt f ''(x1) = 6ax1+2b = -2b+2sqrt(b²-3ac)+2b = 2sqrt(b²-3ac)>0 und f ''(x2) = -2sqrt(b²-3ac)<0. 
Ergebnisse: 
> Die beiden Nullstellen sind reell, wenn die Diskriminante D = b²-3ac>0 ist. 
> An der Stelle x1 = (1/(3a)[-b+sqrt(b²-3ac)] liegt ein Minimum.
> An der Stelle x2 = (1/(3a)[-b-sqrt(b²-3ac)] liegt ein Maximum.


Zwei typische Beispiele
f(x) = (1/4)x³-x²-(1/4)x+3/2 
x1 = 4/3+(1/3)sqrt(13) und  x2 = 4/3-(1/3)sqrt(13)
f(x) = -(1/4)x³+x²+(1/4)x-3/2 
x1 = 4/3+(1/3)sqrt(13) und  x2 = 4/3-(1/3)sqrt(13)

Wendestelle kubischer Parabeln        top
Oben wurde schon nachgewiesen, dass der Wendepunkt Symmetriezentrum der punktsymmetrischen kubischen Parabel ist.
Für eine Wendestelle muss gelten: f ''(x) = 0 und f '''(x) ungleich 0.
f ''(x) = 0 führt zu 6ax+2b = 0 oder zu der Lösung x = -b/(3a). 
Da die dritte Ableitung f '''(x) = 6a für alle x-Werte ungleich 0 ist, liegt wirklich eine Wendestelle vor.
Die Steigung im Wendepunkt ist f '(x) = 3ax²+2bx+c = (3ab²)/(9a²) -(2b²)/(3a)+c = c-b²/3a = (3ac-b²)/(3a).


Sattelpunkt
Ein besonderer Fall liegt vor, wenn die Steigung f '(x) = 0 ist. Das heißt 3ac-b² = 0 oder D=0. 
Dann heißt der Wendepunkt mit waagerechte Tangente Sattelpunkt.

Ergebnisse:
> An der Stelle x =  -b/(3a) liegt die einzige Wendestelle.
> Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn 3ac-b² = 0 ist.

Zwei typische Beispiele
f(x) = (1/4)(x³-3x²+4x+1)
Wendestelle in x= 1 mit der Steigung 1/4
f(x)=(x-1)³-1 = x³-3x²+3x. 
Sattelpunkt in x=1

Funktion suchen top
Eine Anwendung linearer Gleichungssysteme ist das Suchen von Funktionen dritten Grades. Man gibt Eigenschaften einer kubischen Parabel vor und soll dann ihre Funktionsgleichung finden. Dazu ein Beispiel.
Gegeben sei eine kubische Parabel mit den Nullstelle x1=-1. Eine zweite Nullstelle sei x=1 mit der Steigung 0. Sie schneide die y-Achse in y=1.
Lösung
Der Ansatz ist f(x) = ax³+bx²+cx+d. Dann ist f '(x) = 3ax²+2bx+c.
Es gilt 
f(1) = 0 oder a+b+c+d =0
f '(1) =0 oder 3a+2b+c = 0
f(-1) = 0 oder -a+b-c+d = 0
f(0) = 1 oder d=1.


Das führt zu den drei Gleichungen
(I) a+b+c=-1,
(II) 3a+2b+c = 0,
(III) -a+b-c = -1.
(II)+(III) ergibt 2a+3b = -1.
(I)-(II) ergibt -2a-b = -1.
Dann ist b=-1, a=1 und weiter c = -3a-2b = -1.
Ergebnis: Die Funktionsgleichung ist f(x) = x³-x²-x+1.

Normalform der kubischen Funktion        top
Oben wurde gezeigt, dass die kubische Funktionsgleichung durch eine Koordinatenverschiebung auf die Form y' = ax'³+[(3ac-b²)/(3a)]x' gebracht werden kann. Normiert man sie noch mit a=1, so erhält man die einfache Form f(x) = x³+kx. Das ist die Normalform. 
An ihr lassen sich einfacher wie oben Eigenschaften der kubischen Parabel ablesen.
Z.B. folgt aus der ersten Ableitung f '(x) = 3x²+k, dass eine kubische Parabel zwei Extrempunkte hat, wenn k=-1 ist. Es gibt keinen Extrempunkt, wenn k=1 ist. 


Kurven dritten Grades auf meiner Homepage      top
Auf verschieden Seiten meiner Homepage findet man Kurven dritten Grades. Sie werden durch die folgende Gleichung beschrieben.
f(x) = a1+a2y²x+a3yx²+a4+a5+a6yx+a7+a8y+a9x+a10
kurven.htm
y²=-x³+2x+10
kurven.htm
 
 


y²=-x³+2x+2
kurven.htm
 
 


y²=-x³+2x+1
kurven.htm
Kartesisches Blatt
 
 

x³+y³=3xy
parabel.htm
Neilsche Parabel

y²=x³


strophoide.htm
Gerade Strophoide

y²(1-x)-x²(1+x)=0
Tschirnhausen-Kubik
 

27ay²=x²(9a-x) mit a=-1
Konchoide von de Sluze

(x-1)(x²+y²)-a²x²=0 mit a=1
Trisectrix des Maclaurin
 
 
 

2x(x²+y²)+4(3x²-y²)

glockenkurve.htm
Versiera der Maria Agnesi
 
 
 
 
 
 
 
 


y=1/(x²+1)

Chonchoide von de Sluze 

(x-1)(x²+y²)=x²
Fermat-Kubik
 
 

 x³+y³=1

eilinien.htm
9x²+16y²+2xy²+y²-144=0
eilinien.htm

Linkes Ei: 
2y²=(x-1)(x-2)(x-3)
dreiteilung.htm

x³-3x-2a=0 
beweist die Unmöglichkeit
der Dreiteilung
eilinien.htm
Folium
 
 


r(t)=cos³t



Ausgangsfunktion: f(x) = x(x+1)(x-1)

Ausgangsfunktion: f(x) = (1/4)x(x²+1)

Referenzentop
(1) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 
(2) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987


Kubische Parabeln im Internet       top

Deutsch

Alf Krause
Lösung kubischer Gleichungen

Arndt Brünner
Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen    (Applet)

Jörg Meyer
DIE RÄUMLICHE PARABEL MIT DEM ALLGEMEINEN PUNKT (t,t²,t³)

Jutta Gut
Spitzen, Schlingen, Ostereier - Kurven dritten Grades

Martin_Infinite (Matroids Matheplanet)
Die kubische Gleichung

PhysikOnline, das eLearning-Portal des Fachbereichs Physik der Goethe Universität
Kurven dritter Ordnung

Wikipedia
Kubische Gleichung, Polynom, Ganzrationale FunktionPotenzfunktion, Elliptische Kurve

Englisch

Math Open Reference
Cubic Function Explorer   (Graphing tool)

Richard Parris
Winplot

Wikipedia
Cubic function, Polynomial, Polynomial, Power function, Elliptic curve, Cubic plane curve, Tschirnhausen cubicTwisted cubic

wolframalpha.com
Cubic equation solver


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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2014 Jürgen Köller

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