Uhren-Aufgaben 
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Was sind Uhren-Aufgaben?
Neun Aufgaben
Lösungen:
1) Zeiger liegen übereinander
2) Zeiger bilden eine Strecke
3) Winkel zwischen den Zeigern
4) Zeiger stehen aufeinander senkrecht
5) Drei Zeiger liegen übereinander
Lösungen:
6) Zeiger vertauschen
7) Vierteilung des Zifferblattes
8) Weg der Zeigerspitze
9) Himmelsrichtung mit der Uhr
Uhren-Aufgaben im Internet
Referenzen
.
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Was sind Uhren-Aufgaben?
...... Uhren-Aufgaben sind Denksportaufgaben, die vom Zifferblatt einer Uhr und den Zeigern handeln. 

Dabei werden ideale Uhren vorausgesetzt, also Uhren, deren Zeiger sich nicht wie üblich schrittweise weiter bewegen, sondern stetig.

Viele Aufgaben sind Klassiker der Unterhaltungsmathematik.


Neun Aufgaben werden gestellt      top

1) Zeiger liegen übereinander
Um 12 Uhr zeigen der große und der kleine Zeiger nach oben. 
Wann liegen die beiden Zeiger wieder übereinander?

Quelle: (2) Problem 43


2) Zeiger bilden eine Strecke
Um 6 Uhr zeigt der große Zeiger nach oben, der kleine nach unten. 
Wann bilden die beiden Zeiger wieder eine Gerade?

3) Winkel zwischen den Zeigern
Gegeben ist die Zeit 12:44 Uhr. Welchen Winkel bilden die beiden Zeiger?

4) Zeiger stehen aufeinander senkrecht
Um 3 Uhr bilden der große und der kleine Zeiger einen rechten Winkel. 
Wann bilden die beiden Zeiger wieder einen rechten Winkel? 

5) Drei Zeiger liegen übereinander
Um 12 Uhr liegen der große, der kleine und der Sekundenzeiger übereinander. Wann passiert dieses Ereignis wieder?

6) Zeiger vertauschen
Bei welchen Zeigerstellungen werden Zeiten angezeigt, die auch Uhrzeiten bedeuten, wenn man den Minuten- und den Stundenzeiger austauscht?

Quelle: (1) Problem 61


7) Vierteilung des Zifferblattes
...... Das nebenstehende Zifferblatt ist in vier Flächen aufgeteilt. In jeder ist die Summe der dort liegenden Zahlen eingetragen. 

Wie muss man das Zifferblatt aufteilen, damit in jeder Teilfläche die gleiche Summe erscheint?
(3)


8) Weg der Zeigerspitze
Der große Zeiger einer Armbanduhr hat die Länge von 1cm. Welchen Weg legt die Zeigerspitze in einem Jahr zurück?

9) Himmelsrichtung mit der Uhr
Wie kann man bei Sonnenschein die Richtung Süden mit einer Uhr feststellen?

Quelle: Volksgut


Weitere Aufgaben findet man z.B. als Aufgabe 57 bis 66 bei (1) im Kapitel Clock Puzzles

1) Zeiger liegen übereinander --- Lösung    top
Um 12 Uhr zeigen der große und der kleine Zeiger nach oben. Wann liegen die beiden Zeiger wieder übereinander? 


Erste Lösung
Wenn der große Zeiger einmal das Zifferblatt umkreist, hat er einen Winkel von 360° überstrichen. In dieser Zeit hat sich der kleine Zeiger um eine Ziffer weiter bewegt, also um einen Winkel von 30°. Der große Zeiger ist also 12mal schneller als der kleine Zeiger. 
Ausgangszeit ist 12 Uhr. Der große und der kleine Zeiger decken sich. Bei einem vollen Umlauf des großen Zeigers in einer Stunde hat sich der kleine Zeiger um 1/12 weiter bewegt. Um ihn zu erreichen, muss der große Zeiger um 1/12 weiterdrehen. Dann ist der kleine Zeiger aber um 1/12 von 1/12, also um 1/12²  weitergewandert. Dem muss der große Zeiger folgen. Wieder bewegt sich der kleine Zeiger um 1/12 von 1/12² weiter, der große folgt und so fort. 
Der große Zeiger bewegt sich also um 1+1/12+1/12²+1/12³+... weiter. 
Das ist eine Summe mit beliebig vielen Summanden. Meist geht sie über alle Grenzen. In diesem Falle nähert sie sich einem Grenzwert.
Da es sich hier um eine geometrische Reihe mit a0=1 und q=1/12 handelt, ist er bekannt: s=a0/(1-q)=12/11.
Der große Zeiger bewegt sich also um 12/11 Stunden weiter, also um 1/11 mehr als um eine volle Drehung.
1/11 von 60 Minuten sind 60/11 min. Es gilt weiter 60/11 min=5 min + 27 s + 3/11 s.
Ergebnis: Zum Zeitpunkt 13:05:27 und 3/11s stehen die beiden Zeiger wieder übereinander.

Zweite Lösung
Der große Zeiger läuft 12mal schneller als der kleine Zeiger. 
Der große Zeiger überstreicht in der Zeit t den Winkel 360*t Grad, der kleine 30*t Grad. 
Übereinstimmung der Zeiger ist gegeben, wenn gilt 30t =360t-360n oder t=(12/11)n.
n ist die Anzahl der Umdrehungen.
Der große Zeiger bewegt sich also für n=1 um 12/11 Stunden weiter, also um 1/11 mehr als um eine volle Drehung.
1/11 von 60 Minuten sind 60/11 min. Es gilt weiter 60/11 min=5 min + 27 s + 3/11 s.
Ergebnis: Zum Zeitpunkt 13:05:27 und 3/11s stehen die beiden Zeiger wieder übereinander.

Verallgemeinerung
Für das n-te Treffen gilt (1/12)t = t - n oder t=(12/11)n. 
Zu folgenden Zeitpunkten liegen die Zeiger übereinander.
n= 01
n= 02
n= 03
n= 04
n= 05
n= 06
n= 07
n= 08
n= 09
n= 10
n= 11
12/11
24/11
36/11
48/11
60/11
72/11
84/11
96/11
108/11
120/11
132/11
1:05:27 Uhr und 3/11s
2:10:54 Uhr und 6/11s
3:16:21 Uhr und 9/11s
4:21:49 Uhr und 1/11s
5:27:16 Uhr und 4/11s
6:32:43 Uhr und 7/11s
7:38:10 Uhr und 10/11s
8:43:38 Uhr und 2/11s
9:49:05 Uhr und 5/11s
10:54:32 Uhr und 8/11s
12:00:00 Uhr 

2) Zeiger bilden eine Strecke --- Lösung    top
Um 6 Uhr zeigt der große Zeiger nach oben, der kleine nach unten. 
Wann bilden die beiden Zeiger wieder eine Gerade? 
Lösung
Hier trifft - leicht abgeändert - die Lösung der Aufgabe 1 zu. Die Zeit ist 7:05:27 und 3/11s.


3) Winkel zwischen Zeigern --- Lösung    top
Gegeben ist die Zeit 7:17 Uhr. Welchen Winkel alpha bilden die beiden Zeiger?
Lösung
Der Winkel zwischen der nach oben gerichteten Vertikalen und dem großen Zeiger ist 17*6°.
Der Winkel zwischen der Vertikalen und dem kleinen Zeiger ist 7*30°+(17/60)*30°.
Der gesuchte Winkel alpha ist gleich der Differenz der beiden Winkel.
alpha=[7*30°+(17/60)*30°]-17*6° = 116,5°


Verallgemeinerung
Die Zeit sei hh:mm. Es gilt hh*30°+(mm/60)*30°-mm*6° =hh*30°-mm*5,5°.
Der Winkel zwischen den Zeigern ist gleich dem Betrag des Terms: alpha=|hh*30°-mm*5,5°|.

4) Zeiger stehen aufeinander senkrecht --- Lösung  top
Um 3 Uhr bilden der große und der kleine Zeiger einen rechten Winkel.
Wann bilden die beiden Zeiger wieder einen rechten Winkel? 
Lösung
...... Es wird die Formel aus Aufgabe 3 vorausgesetzt: alpha=|hh*30°-mm*5,5°|. 
Es soll mit hh=03 gelten:  90°=5,5°*mm -3*30°. Daraus folgt 5,5°*mm=180° oder mm=180/5,5=360/11=32+8/11.
Ergebnis: Der nächste Zeitpunkt ist 3:32:43 und 7/11s.


5) Drei Zeiger liegen übereinander --- Lösung  top
Um 12 Uhr liegen der große, der kleine und der Sekundenzeiger übereinander. Wann passiert dieses Ereignis wieder?
In Aufgabe 1 (zweite Lösung) wird gezeigt, dass der Minuten- und der Stundenzeiger zur Zeit  t=(12/11)n übereinander liegen. Das folgt aus dem Ansatz 30t =360t-360n. 
Jetzt kommt noch der Sekundenzeiger hinzu.
Der Sekundenzeiger läuft 60-mal schneller als der Minutenzeiger und 1200-mal schneller als der Stundenzeiger. 
Der Stundenzeiger überstreicht in der Zeit t  30t Grad, der Minutenzeiger 360t Grad und der Sekundenzeiger 21600t Grad. 
Der Minuten- und der Sekundenzeiger stimmen überein, wenn 360t-360n=21600t-360m gilt (n und m sind ganze Zahlen).
Aus 360t-360n=21600t-360m folgt t=(1/59)(m-n).
Bei Übereinstimmung aller Zeiger muss gelten: t=(12/11)n /\ t=(1/59)(m-n) oder 719n=11m.
Diese Gleichung ist in ganzen Zahlen m und n nicht lösbar, schon da 11 und 719 Primzahlen sind. 
Ergebnis: Nur um 12 Uhr liegen die Zeiger übereinander. 


Bei Dr. Math (URL unten) kann man noch weiter nachlesen: "One could ask for the closest bunching not at 12 o'clock. I find that this occurs at about 5:27:27.3, when all the hands are within a 1.0014 degree sector."

6) Zeiger vertauschen --- Lösung    top
Bei welchen Zeigerstellungen werden Zeiten angezeigt, die auch Uhrzeiten bedeuten, wenn man den Minuten- und Stundenzeiger austauscht?
Lösung
In (1) wird nach den Zeigerstellungen zwischen 15 Uhr und Mitternacht gefragt und dafür werden 66 Zeit-Paare angegeben.

Eine nachvollziehbare Lösung bietet Manfred Börgens im Internet an (URL unten). 

Er findet 143 Zeit-Paare. Darunter sind die 11 Stellungen, bei denen beide Zeiger übereinanderliegen. 

Ist x die Zeigerstellung des Stundenzeigers, so gilt x = (12/143)j (j = 0,1,2,...,142). 


7) Vierteilung des Zifferblattes --- Lösung   top
...... Das nebenstehende Zifferblatt ist in vier Flächen aufgeteilt. In jeder ist die Summe der dort liegenden Zahlen eingetragen. 

Wie muss man das Zifferblatt aufteilen, damit in jeder Teilfläche die gleiche Summe erscheint?
(3)


Lösung
...... Das Zifferblatt einer Uhr hat, wenn sie mit römischen Ziffern versehen ist, üblicherweise das nebenstehende Aussehen. Die Zahlen werden von innen aus gelesen. Die Vier wird als IIII und nicht als IV geschrieben. Warum das so ist, ist ungeklärt. 
Zählt man die Werte zusammen, erhält man 1+2+...+12=78. Ordnet man die Ziffern um, erhält man XXXXVVVVIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Das ergibt den Wert 40+20+20=80.
Für eine Lösung kann man auch auf die Summe 80 kommen, wenn man bestimmte zusammengesetzte Darstellungen einer Zahl aufteilt. Das geschieht in den nächsten beiden Bildern. 

...... ... Die beiden Lösungen findet man in Martin Gardners Buch "Mathematischer Karneval" auf den Seiten 231ff. unter dem Namen Cooks (frei übersetzt: Irrtümer). 
Sie wurden von den beiden Pionieren der Unterhaltungsmathematik angegeben, von Dudeney (links) und Loyd. 
Ein Schönheitsfehler in Dudeneys Lösung liegt darin, dass man die IX von außen lesen muss, damit sie zu XI wird.
Gardner merkt noch an, dass Loyd mindestens 12 weitere Lösungen übersehen hat.

Anmerkung: 
Hier ist eine Stelle, einmal auf die beiden "Rätselerfinder" Sam Loyd (1841-1911) aus den USA und Henry Ernest Dudeney (1857-1930) aus England einzugehen. 
Beide waren Zeitgenossen und Berühmtheiten in ihrer Zeit. Dudeney war unter den beiden Puzzle-Experten derjenige mit den größeren mathematischen Fähigkeiten, Sam Loyd, ursprünglich nur Schachexperte, war ein gewiefterer Geschäftsmann.
Beide standen miteinander in Kontakt. Dudeney schickte eine große Anzahl seiner Puzzles zu Loyd, stellte das aber bald ein, als er bemerkte, dass dieser sie unter seinem eigenen Namen veröffentlichte. 

Die beiden verschiedenen Lösungen des obigen Problems "Vierteilung des Zifferblattes" mögen ein Beispiel dafür sein, dass sie oft ähnliche Rätsel veröffentlichten und dass sie sich gegenseitig zu übertreffen versuchten.

In Martin Gardners Buch (4) kann man mehr über die beiden nachlesen:
>Sam Loyd: Amerikas größter Rätselerfinder (Seite 40 bis 48)
>Henry Ernest Dudeney: Englands größter Rätselerfinder (Seite 70 bis 77) 


In meiner Homepage gehe ich auf einige berühmte Puzzles von Dudeney ein: 
Tangram, Zerschneidung eines Dreiecks, Fliege-Spinne-Problem, Crescent Puzzle, Send more money.
...SEND
+ MORE
= MONEY

Sam Loyd war auf meiner Homepage durch das Fünfzehnerspiel vertreten. Neuere Forschungen haben ergeben, dass er nicht der Erfinder dieses Puzzles war.

8) Weg der Zeigerspitze --- Lösung    top
Der große Zeiger einer Armbanduhr hat die Länge von 1cm. Welchen Weg s legt die Zeigerspitze in einem Jahr zurück?
Lösung
s=(2*pi*1cm)*60*24*365=33 km (gerundet auf zwei Stellen)


9) Himmelsrichtung mit der Uhr --- Lösung    top
Wie kann man bei Sonnenschein die Richtung Süden mit einer Uhr feststellen?
Lösung
Hält man die Uhr so, dass der Stundenzeiger auf die Sonne zeigt und halbiert dann den Winkel zwischen dem Stundenzeiger und der gedachten Linie der 12-Uhr-Anzeige, so ist die Halbierungslinie nach Süden gerichtet. 


Uhren-Aufgaben im Internet top

Deutsch

Manfred Börgens
Mathematische Probleme  # 44

Wikipedia
Samuel Loyd, Ernest Dudeney



Englisch

Doctor Rob, The Math Forum
Three Hands on a Clock

Gary Darby
Clock Angles

Henry Ernest Dudeney (Project Gutenberg Literary Archive Foundation)
Amusements in Mathematics

Jim Loy
A Clock Puzzle (answer), (second answer

National Library of Virtual Manipulatives - Utah State University 
Time - Analog and digital Clocks (Applet)

Wikipedia
Clock angle problemHenry DudeneySam Loyd


Referenzen     top
(1) Henry Ernest Dudeney: Amusements in Mathematics, Project Gutenberg (aus dem Internet herunterladen möglich)
(2) Sam Loyd: Mathematische Rätsel und Spiele, Köln 2003 [ISBN 3-8321-1049-6]
(3) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt/M, Berlin 1977 [ISBN 3 550 07675 4]
(4) Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Probleme, Braunschweig 1968 


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©  2008 Jürgen Köller

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